第十一章因式分解同步练习（含解析）
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第十一章因式分解
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是( )
A． B． C． D．
2．是下列哪一个多项式分解因式后所得的结果（ ）
A． B． C． D．
3．一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题，其中没有分解彻底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知正方形的边长为，长方形的相邻两边长分别为，则正方形与长方形的面积之和等于（ ）
A．边长为的正方形的面积
B．相邻两边长分别为的长方形的面积
C．相邻两边长分别为的长方形的面积
D．相邻两边长分别为的长方形的面积
5．多项式分解因式的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．下列由左边到右边的变形，属于分解因式的是( )
A． B．
C． D．
7．对于下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
① ② ③ ④
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
8．下列各因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．计算的值为（ ）．
A． B． C． D．
10．已知，，，则代数式的值为（ ）
A．4 B．10 C．8 D．6
11．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知，，计算：等于（ ）
A． B．6 C．5 D．
二、填空题
13．用完全平方公式填空： ．
14．（1）若是完全平方式，则 ；
（2）若是完全平方式，则 ．
15．已知，，则的值为 ．
16．分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
17．已知：a2+a﹣1＝0，则a4+2a3+a2+2000的值是 ．
三、解答题
18．因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
19．小亮在课余时间写了三个算式：．通过观察，小亮发现任意两个连续奇数的平方差是8的倍数
(1)的结果是8的几倍？
(2)设两个连续奇数为（n为正整数），写出它们的平方差，并判断其结果是否是8的倍数
20．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：．
原式
②若，利用配方法求M的最小值：
∵，，
∴当时，M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______．
(2)若，求M的最小值．
(3)已知，求的值．
21．把下列各式因式分解：
(1)；
(2)；
(3).
22．因式分解
(1)；
(2)；
23．解下列各题：
(1)分解因式：；
(2)利用因式分解简便计算：．
24．因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
《第十一章因式分解》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A D C D D C C D
题号 11 12
答案 B A
1．C
【分析】】根据平方差公式解决此题．
【详解】A．无法分解因式，故此选项不合题意；
B．无法分解因式，故此选项不合题意；
C．，故此选项符合题意；
D．无法分解因式，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
2．C
【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解，根据平方差公式计算出的结果即可得到答案．
【详解】解：，
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键．
利用综合提公因式和公式法进行因式分解对各选项判断作答即可．
【详解】解：解：A中，没有分解彻底，故符合要求；
B中，分解彻底，故不符合要求；
C中，分解彻底，故不符合要求；
D中，分解彻底，故不符合要求；
故选：A．
4．D
【分析】求出两个图形的面积和，将其因式分解即可得到答案．
【详解】解：根据题意，可得．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，正确理解题意，得到表示面积的关系式是解题的关键．
5．C
【分析】根据平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）进行分解即可求得答案．
【详解】解：x2-y2=（x+y）（x-y），
故选：C．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，关键是看准式子特点，正确运用平方差公式进行因式分解．
6．D
【分析】根据因式分解的定义逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，是整式乘法，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，不是多项式的乘积的形式，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，属于因式分解，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，解题的关键是熟练掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
7．D
【分析】本题考查了多项式的因式分解，根据平方差公式的形式：逐项判断即得答案．
【详解】解：①不能用平方差公式进行因式分解，
②，能用平方差公式进行因式分解，
③，能用平方差公式进行因式分解，
④不能用平方差公式进行因式分解，
故选：D．
8．C
【分析】直接利用完全平方公式以及提取公因式法以及平方差公式分解因式判断即可．
【详解】A．，故此选项错误；
B．无法分解因式，故此选项错误；
C．，正确；
D．，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】此题考查了完全平方公式以及提取公因式法以及平方差公式分解因式，解题的关键是正确应用公式．
9．C
【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．
【详解】原式，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．
10．D
【分析】先分别计算a-b，a-c，b-c，再将多项式根据完全平方公式分解因式后代入计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴a-b=m+2020-m-2021=-1，a-c=m+2020-m-2022=-2，b-c=m+2021-m-2022=-1，
∴
=
=
=
=1+4+1
=6，
故选：D．
【点睛】此题考查了完全平方公式分解因式，正确掌握完全平方公式分解因式的方法是解题的关键．
11．B
【分析】通过查看等式左右两边是否相等，即可判断因式分解正确与否．
【详解】A项：右边= 左边，错误；
B项：左边等于右边，正确，故为本题答案；
C项：右边= 左边，错误；
D项：右边= 左边，错误；
故本题答案为：B．
【点睛】本题考查因式分解，关键要牢记其运算方法并灵活运用．
12．A
【分析】先提取公因式，再化为，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：A
【点睛】本题考查的是因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“提公因式分解因式”是解本题的关键．
13．
【分析】运用完全平方公式，结合“整体”思想．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式；掌握完全平方公式的特征是解题的关键．
14． 9
【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值；
（2）利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
【详解】解：（1）∵，
而，
∴；
（2）∵，
而，，
∴．
故答案为：（1）9；（2）．
【点睛】本题主要考查了运用完全平方公式分解因式，熟记完全平方公式的结构特征是解题关键．
15．6
【分析】将因式分解，然后代入已知条件即可求值．
【详解】解：
．
故答案为：6
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
16．
【分析】（1）提取公因式x即可；
（2）提取公因式即可；
（3）提取公因式a即可；
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
故答案为：，，
【点睛】本题考查的是提取公因式法分解因式，熟练的确定公因式是解本题的关键．
17．2001
【分析】由已知条件可得a2= a+1，再把原式变形并用所得式子代入即可求得结果的值．
【详解】∵a2+a﹣1=0，
∴a2= a+1，
∴
=2001．
故答案为：2001．
【点睛】本题考查了求代数式的值，提公因式法的应用，运用了整体代入思想，通过多次代入实现降次，变形较灵活．
18．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
（3）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（4）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【详解】（1）
,
；
（2）
,
；
（3）
，
；
（4）
，
．
【点睛】本题考查因式分解，注意有公因式先提取公因式，再运用公式，最后分解到每个因式都不能再分解为止．
19．(1)的结果是8的4倍
(2)，两个连续奇数的平方差是8的倍数
【分析】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是在有理数的运算和整式的运算中熟练应用完全平方公式和平方差公式．
（1）通过计算即可得出答案；
（2）应用因式分解的方法计算，据此可得出结论．
【详解】（1）解：．
故的结果是8的4倍．
（2）解：
．
故两个连续奇数的平方差是8的倍数．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据完全平方公式的结构即可求解；
（2）类比例题求M的最小值即可；
（3）先根据完全平方公式因式分解，然后根据非负数之和为0，求得的值，继而即可求解．
【详解】（1）解：∵，
故答案为：．
（2）解：
∵，
∴当时，有最小值为；
（3）解：
，
即，
∴，
解得：，
∴
【点睛】本题考查了完全平方公式，因式分解的应用及偶次方的非负性，掌握完全平方公式是解题的关键．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握利用公式法分解因式是解本题的关键.
（）用完全平方公式进行因式分解即可；
（）先用平方差公式分解，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（）先将常数项去括号，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解，
（1）先提公因式，然后根据平方差公式因式分解；
（2）先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
23．(1)（x-y）（x+1）（x-1）；
(2)1．
【分析】（1）根据提公因式法和公式法可以将式子因式分解；
（2）根据完全平方公式解答即可．
【详解】（1）解： x2（x-y）+（y-x）
=（x-y）（x2-1）
=（x-y）（x+1）（x-1）；
（2）解：20222-2022×4042+20212
=20222-2×2022×2021+20212
=（2022-2021）2
=12
=1．
【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式的简便运算，解答本题的关键是掌握完全平方公式的结构特征．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查利用平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式因式分解是解题的关键．
（1）连续两次利用平方差公式因式分解即可；
（2）连续两次利用平方差公式因式分解即可；
（3）直接利用平方差公式因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
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第十一章因式分解
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是( )
A． B． C． D．
2．是下列哪一个多项式分解因式后所得的结果（ ）
A． B． C． D．
3．一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题，其中没有分解彻底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知正方形的边长为，长方形的相邻两边长分别为，则正方形与长方形的面积之和等于（ ）
A．边长为的正方形的面积
B．相邻两边长分别为的长方形的面积
C．相邻两边长分别为的长方形的面积
D．相邻两边长分别为的长方形的面积
5．多项式分解因式的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．下列由左边到右边的变形，属于分解因式的是( )
A． B．
C． D．
7．对于下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
① ② ③ ④
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
8．下列各因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．计算的值为（ ）．
A． B． C． D．
10．已知，，，则代数式的值为（ ）
A．4 B．10 C．8 D．6
11．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知，，计算：等于（ ）
A． B．6 C．5 D．
二、填空题
13．用完全平方公式填空： ．
14．（1）若是完全平方式，则 ；
（2）若是完全平方式，则 ．
15．已知，，则的值为 ．
16．分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
17．已知：a2+a﹣1＝0，则a4+2a3+a2+2000的值是 ．
三、解答题
18．因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
19．小亮在课余时间写了三个算式：．通过观察，小亮发现任意两个连续奇数的平方差是8的倍数
(1)的结果是8的几倍？
(2)设两个连续奇数为（n为正整数），写出它们的平方差，并判断其结果是否是8的倍数
20．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：．
原式
②若，利用配方法求M的最小值：
∵，，
∴当时，M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______．
(2)若，求M的最小值．
(3)已知，求的值．
21．把下列各式因式分解：
(1)；
(2)；
(3).
22．因式分解
(1)；
(2)；
23．解下列各题：
(1)分解因式：；
(2)利用因式分解简便计算：．
24．因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
《第十一章因式分解》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A D C D D C C D
题号 11 12
答案 B A
1．C
【分析】】根据平方差公式解决此题．
【详解】A．无法分解因式，故此选项不合题意；
B．无法分解因式，故此选项不合题意；
C．，故此选项符合题意；
D．无法分解因式，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
2．C
【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解，根据平方差公式计算出的结果即可得到答案．
【详解】解：，
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键．
利用综合提公因式和公式法进行因式分解对各选项判断作答即可．
【详解】解：解：A中，没有分解彻底，故符合要求；
B中，分解彻底，故不符合要求；
C中，分解彻底，故不符合要求；
D中，分解彻底，故不符合要求；
故选：A．
4．D
【分析】求出两个图形的面积和，将其因式分解即可得到答案．
【详解】解：根据题意，可得．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，正确理解题意，得到表示面积的关系式是解题的关键．
5．C
【分析】根据平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）进行分解即可求得答案．
【详解】解：x2-y2=（x+y）（x-y），
故选：C．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，关键是看准式子特点，正确运用平方差公式进行因式分解．
6．D
【分析】根据因式分解的定义逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，是整式乘法，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，不是多项式的乘积的形式，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，属于因式分解，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，解题的关键是熟练掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
7．D
【分析】本题考查了多项式的因式分解，根据平方差公式的形式：逐项判断即得答案．
【详解】解：①不能用平方差公式进行因式分解，
②，能用平方差公式进行因式分解，
③，能用平方差公式进行因式分解，
④不能用平方差公式进行因式分解，
故选：D．
8．C
【分析】直接利用完全平方公式以及提取公因式法以及平方差公式分解因式判断即可．
【详解】A．，故此选项错误；
B．无法分解因式，故此选项错误；
C．，正确；
D．，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】此题考查了完全平方公式以及提取公因式法以及平方差公式分解因式，解题的关键是正确应用公式．
9．C
【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．
【详解】原式，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．
10．D
【分析】先分别计算a-b，a-c，b-c，再将多项式根据完全平方公式分解因式后代入计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴a-b=m+2020-m-2021=-1，a-c=m+2020-m-2022=-2，b-c=m+2021-m-2022=-1，
∴
=
=
=
=1+4+1
=6，
故选：D．
【点睛】此题考查了完全平方公式分解因式，正确掌握完全平方公式分解因式的方法是解题的关键．
11．B
【分析】通过查看等式左右两边是否相等，即可判断因式分解正确与否．
【详解】A项：右边= 左边，错误；
B项：左边等于右边，正确，故为本题答案；
C项：右边= 左边，错误；
D项：右边= 左边，错误；
故本题答案为：B．
【点睛】本题考查因式分解，关键要牢记其运算方法并灵活运用．
12．A
【分析】先提取公因式，再化为，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：A
【点睛】本题考查的是因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“提公因式分解因式”是解本题的关键．
13．
【分析】运用完全平方公式，结合“整体”思想．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式；掌握完全平方公式的特征是解题的关键．
14． 9
【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值；
（2）利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
【详解】解：（1）∵，
而，
∴；
（2）∵，
而，，
∴．
故答案为：（1）9；（2）．
【点睛】本题主要考查了运用完全平方公式分解因式，熟记完全平方公式的结构特征是解题关键．
15．6
【分析】将因式分解，然后代入已知条件即可求值．
【详解】解：
．
故答案为：6
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
16．
【分析】（1）提取公因式x即可；
（2）提取公因式即可；
（3）提取公因式a即可；
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
故答案为：，，
【点睛】本题考查的是提取公因式法分解因式，熟练的确定公因式是解本题的关键．
17．2001
【分析】由已知条件可得a2= a+1，再把原式变形并用所得式子代入即可求得结果的值．
【详解】∵a2+a﹣1=0，
∴a2= a+1，
∴
=2001．
故答案为：2001．
【点睛】本题考查了求代数式的值，提公因式法的应用，运用了整体代入思想，通过多次代入实现降次，变形较灵活．
18．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
（3）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（4）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【详解】（1）
,
；
（2）
,
；
（3）
，
；
（4）
，
．
【点睛】本题考查因式分解，注意有公因式先提取公因式，再运用公式，最后分解到每个因式都不能再分解为止．
19．(1)的结果是8的4倍
(2)，两个连续奇数的平方差是8的倍数
【分析】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是在有理数的运算和整式的运算中熟练应用完全平方公式和平方差公式．
（1）通过计算即可得出答案；
（2）应用因式分解的方法计算，据此可得出结论．
【详解】（1）解：．
故的结果是8的4倍．
（2）解：
．
故两个连续奇数的平方差是8的倍数．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据完全平方公式的结构即可求解；
（2）类比例题求M的最小值即可；
（3）先根据完全平方公式因式分解，然后根据非负数之和为0，求得的值，继而即可求解．
【详解】（1）解：∵，
故答案为：．
（2）解：
∵，
∴当时，有最小值为；
（3）解：
，
即，
∴，
解得：，
∴
【点睛】本题考查了完全平方公式，因式分解的应用及偶次方的非负性，掌握完全平方公式是解题的关键．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握利用公式法分解因式是解本题的关键.
（）用完全平方公式进行因式分解即可；
（）先用平方差公式分解，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（）先将常数项去括号，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解，
（1）先提公因式，然后根据平方差公式因式分解；
（2）先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
23．(1)（x-y）（x+1）（x-1）；
(2)1．
【分析】（1）根据提公因式法和公式法可以将式子因式分解；
（2）根据完全平方公式解答即可．
【详解】（1）解： x2（x-y）+（y-x）
=（x-y）（x2-1）
=（x-y）（x+1）（x-1）；
（2）解：20222-2022×4042+20212
=20222-2×2022×2021+20212
=（2022-2021）2
=12
=1．
【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式的简便运算，解答本题的关键是掌握完全平方公式的结构特征．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查利用平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式因式分解是解题的关键．
（1）连续两次利用平方差公式因式分解即可；
（2）连续两次利用平方差公式因式分解即可；
（3）直接利用平方差公式因式分解即可．
【详解】（1）解：
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（2）解：
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（3）解：
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