10.3乘法公式同步练习（含解析）
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10.3乘法公式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．计算：（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算中：①；②；③；④；⑤；不正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．如图，四个等腰直角三角形拼成一个正方形，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪成一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分、从左图到右图）的面积，验证的公式为（ ）
A． B．
C． D．
6．计算（ ）
A．2023 B．2024 C． D．1
7．如图①所示，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成一个②所示的矩形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列运算正确的是……（ ）
A．a +a =a6 B．（ab）2 =ab2 C．（a+b） =a +b D．（a+b）（a-b）=a -b2
9．已知，，那么的值为（ ）
A．16 B．19 C．20 D．22
10．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，则正图乙的边长为（ ）
A．7 B．8 C．5.6 D．10
12．下列运算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知，，则 ．
14．如果多项式，则的最小值是 ．
15．把写成公式的形式： ．
16．若，，则
17．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证了公式 ．
三、解答题
18．先化简，再求值：，其中，．
19．计算：
(1)；
(2)；
(3).
20．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
21．计算：
(1)；
(2)．
22．已知，求的值．
23．利用乘法公式简化运算：
(1)；
(2)．
24．运用完全平方公式，解决下列问题：
(1)已知求的值．
(2)已知求的值．
《10.3乘法公式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C C C D A D B B
题号 11 12
答案 B D
1．B
【分析】本题考查了平方差公式的结构，根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握平方差公式的结构是解此题的关键．
【详解】解：A，C，D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；
B中两项互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．
故选 B．
2．A
【分析】根据完全平方公式展开即可．
【详解】解：原式=
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
3．C
【分析】此题考查了整式的乘法运算和乘法公式，根据运算法则和乘法公式进行计算后即可得到结论.
【详解】解：①；故选项不正确；
②；故选项不正确；
③；故选项不正确；
④；故选项不正确；
⑤；故选项正确；
则不正确的个数有4个，
故选：C
4．C
【分析】利用正方形的面积减去四个三角形的面积即可得到．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式与面积的关系，解题的关键是通过数形结合的思想求解．
5．C
【分析】利用正方形的面积公式可知剩下的面积，而新形成的矩形长是，宽是，根据两者面积相等，即可验证平方差公式．
【详解】解：由题意得：
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式，解决本题的关键是比较两个图形分别表示出面积．
6．D
【分析】利用平方差公式计算即可．
【详解】解：
，
故选D．
【点睛】本题考查了平方差公式．熟练掌握平方差公式是解决本题的关键，即．
7．A
【分析】此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，根据题意分别表示出两个图形中阴影部分的面积即可．
【详解】解：图1中阴影部分的面积表示为：，图2中阴影部分的面积表示为：，
，
故选：A．
8．D
【分析】根据整式加法判定A；运用积的乘方计算关判定B；运用完全平方公式计算并判定C；运用平方差公式计算并判定D．
【详解】解：A.a +a 没有同类项不能合并，故此选项不符合题意；
B.（ab）2 =a2b2，故此选项不符合题意；
C.（a+b） =a +2ab+b ，故此选项不符合题意
D.（a+b）（a-b）=a -b2，故此选项符合题意
故选：D．
【点睛】本题考查整理式加法，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
9．B
【分析】本题考查了完全平方公式变形，根据完全平方公式，再根据已知条件整体代入即可得的值，解题关键是掌握完全平方公式．
【详解】解：，
，
，
，
故选：B．
10．B
【分析】此题考查了整式的计算，根据单项式乘以单项式，平方差公式，单项式乘以多项式法则依次计算判断，熟练掌握整式的计算法则是解题的关键．
【详解】解：，故A选项不符合题意；
利用平方差公式，，故B选项符合题意；
利用乘法公式，，故C选项不符合题意；
，故D选项不符合题意．
故选：B．
11．B
【分析】设正方形Ａ的边长是，正方形的边长是，根据图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，列出等式求得图乙的面积，最后求得图乙的边长．
【详解】解：设正方形Ａ的边长是，正方形的边长是，
由题可得图甲中阴影部分的面积是，
图乙中阴影部分的面积是，
图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，
，，
图乙面积为：
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，根据图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和列出等式是解题的关键．
12．D
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘除法和完全平方公式逐项计算判断即可．
【详解】解：A. ，原式计算错误，此选项不符合题意；
B. ，原式计算错误，此选项不符合题意；
C. ，原式计算错误，此选项不符合题意；
D. ，计算正确，此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘除法和完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
13．4
【分析】根据，再把，，代入求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，即，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
14．2015
【分析】根据完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．
【详解】解：
=
=
的最小值是
故答案为：．
【点睛】本题考查配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题关键．
15．
【分析】利用平方差公式变形即可，平方差公式是．
【详解】解：=，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平方差公式的应用，熟知平方差公式是解题的关键．
16．7
【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，通过对完全平方公式变形求值等知识点，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．
根据同底数幂相乘和幂的乘方的运算法则，可得，，再通过对完全平方公式变形求值即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴．
故答案为：7．
17．
【分析】分别求出左右两边图形中阴影部分的面积，即可求解．
【详解】解：左边图形中阴影部分的面积为，
右边图形中阴影部分的面积为，
∴验证了公式．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平方差公式与面积恒等式，利用数形结合思想解答是解题的关键．
18．，．
【分析】利用完全平方公式和平方差公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，把字母的值代入化简结果即可．
【详解】解：原式．
当，时，
原式．
【点睛】此题考查了整式的化简求值，熟练掌握乘法公式和准确计算是解题的关键．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】根据完全平方公式可进行求解各个小题．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
20．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）（3）先根据同底数幂的除法法则，（3）再按完全平方公式计算即可；
（2）（4）根据同底数幂的除法法则以及积的乘方运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式 ；
（4）解：原式 ．
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式，掌握相关的运算法则以及公式是解题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】题目主要考查完全平方公式及平方差公式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）直接利用完全平方公式计算即可；
（2）先计算中括号内的完全平方公式，然后合并同类项，再利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：
（2）
22．49
【分析】本题主要考查完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式的变形计算方法是解题的关键．
根据题意，则，再根据完全平方公式展开，代入计算即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
23．(1)
(2)
【分析】此题考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是；平方差公式是．
（1）把原式变形为，把其中的作为一个整体看成完全平方公式中的“”，把看成完全平方公式中的“”，这样本小题就转化为与这两项的和的平方的形式了．
（2）包含相同项：．符号相反的项：与；与．把转化为，即可转化为与这两项的差乘这两项的和的形式．
【详解】（1）
．
（2）
．
24．(1)
(2)
【分析】（1）根据公式先求出，再开方即可；
（2）设，再利用完全平方公式变形即可求解．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）设，
，
．
【点睛】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．
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10.3乘法公式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．计算：（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算中：①；②；③；④；⑤；不正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．如图，四个等腰直角三角形拼成一个正方形，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪成一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分、从左图到右图）的面积，验证的公式为（ ）
A． B．
C． D．
6．计算（ ）
A．2023 B．2024 C． D．1
7．如图①所示，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成一个②所示的矩形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列运算正确的是……（ ）
A．a +a =a6 B．（ab）2 =ab2 C．（a+b） =a +b D．（a+b）（a-b）=a -b2
9．已知，，那么的值为（ ）
A．16 B．19 C．20 D．22
10．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，则正图乙的边长为（ ）
A．7 B．8 C．5.6 D．10
12．下列运算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知，，则 ．
14．如果多项式，则的最小值是 ．
15．把写成公式的形式： ．
16．若，，则
17．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证了公式 ．
三、解答题
18．先化简，再求值：，其中，．
19．计算：
(1)；
(2)；
(3).
20．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
21．计算：
(1)；
(2)．
22．已知，求的值．
23．利用乘法公式简化运算：
(1)；
(2)．
24．运用完全平方公式，解决下列问题：
(1)已知求的值．
(2)已知求的值．
《10.3乘法公式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C C C D A D B B
题号 11 12
答案 B D
1．B
【分析】本题考查了平方差公式的结构，根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握平方差公式的结构是解此题的关键．
【详解】解：A，C，D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；
B中两项互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．
故选 B．
2．A
【分析】根据完全平方公式展开即可．
【详解】解：原式=
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
3．C
【分析】此题考查了整式的乘法运算和乘法公式，根据运算法则和乘法公式进行计算后即可得到结论.
【详解】解：①；故选项不正确；
②；故选项不正确；
③；故选项不正确；
④；故选项不正确；
⑤；故选项正确；
则不正确的个数有4个，
故选：C
4．C
【分析】利用正方形的面积减去四个三角形的面积即可得到．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式与面积的关系，解题的关键是通过数形结合的思想求解．
5．C
【分析】利用正方形的面积公式可知剩下的面积，而新形成的矩形长是，宽是，根据两者面积相等，即可验证平方差公式．
【详解】解：由题意得：
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式，解决本题的关键是比较两个图形分别表示出面积．
6．D
【分析】利用平方差公式计算即可．
【详解】解：
，
故选D．
【点睛】本题考查了平方差公式．熟练掌握平方差公式是解决本题的关键，即．
7．A
【分析】此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，根据题意分别表示出两个图形中阴影部分的面积即可．
【详解】解：图1中阴影部分的面积表示为：，图2中阴影部分的面积表示为：，
，
故选：A．
8．D
【分析】根据整式加法判定A；运用积的乘方计算关判定B；运用完全平方公式计算并判定C；运用平方差公式计算并判定D．
【详解】解：A.a +a 没有同类项不能合并，故此选项不符合题意；
B.（ab）2 =a2b2，故此选项不符合题意；
C.（a+b） =a +2ab+b ，故此选项不符合题意
D.（a+b）（a-b）=a -b2，故此选项符合题意
故选：D．
【点睛】本题考查整理式加法，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
9．B
【分析】本题考查了完全平方公式变形，根据完全平方公式，再根据已知条件整体代入即可得的值，解题关键是掌握完全平方公式．
【详解】解：，
，
，
，
故选：B．
10．B
【分析】此题考查了整式的计算，根据单项式乘以单项式，平方差公式，单项式乘以多项式法则依次计算判断，熟练掌握整式的计算法则是解题的关键．
【详解】解：，故A选项不符合题意；
利用平方差公式，，故B选项符合题意；
利用乘法公式，，故C选项不符合题意；
，故D选项不符合题意．
故选：B．
11．B
【分析】设正方形Ａ的边长是，正方形的边长是，根据图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，列出等式求得图乙的面积，最后求得图乙的边长．
【详解】解：设正方形Ａ的边长是，正方形的边长是，
由题可得图甲中阴影部分的面积是，
图乙中阴影部分的面积是，
图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，
，，
图乙面积为：
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，根据图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和列出等式是解题的关键．
12．D
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘除法和完全平方公式逐项计算判断即可．
【详解】解：A. ，原式计算错误，此选项不符合题意；
B. ，原式计算错误，此选项不符合题意；
C. ，原式计算错误，此选项不符合题意；
D. ，计算正确，此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘除法和完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
13．4
【分析】根据，再把，，代入求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，即，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
14．2015
【分析】根据完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．
【详解】解：
=
=
的最小值是
故答案为：．
【点睛】本题考查配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题关键．
15．
【分析】利用平方差公式变形即可，平方差公式是．
【详解】解：=，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平方差公式的应用，熟知平方差公式是解题的关键．
16．7
【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，通过对完全平方公式变形求值等知识点，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．
根据同底数幂相乘和幂的乘方的运算法则，可得，，再通过对完全平方公式变形求值即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴．
故答案为：7．
17．
【分析】分别求出左右两边图形中阴影部分的面积，即可求解．
【详解】解：左边图形中阴影部分的面积为，
右边图形中阴影部分的面积为，
∴验证了公式．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平方差公式与面积恒等式，利用数形结合思想解答是解题的关键．
18．，．
【分析】利用完全平方公式和平方差公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，把字母的值代入化简结果即可．
【详解】解：原式．
当，时，
原式．
【点睛】此题考查了整式的化简求值，熟练掌握乘法公式和准确计算是解题的关键．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】根据完全平方公式可进行求解各个小题．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
20．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）（3）先根据同底数幂的除法法则，（3）再按完全平方公式计算即可；
（2）（4）根据同底数幂的除法法则以及积的乘方运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式 ；
（4）解：原式 ．
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式，掌握相关的运算法则以及公式是解题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】题目主要考查完全平方公式及平方差公式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）直接利用完全平方公式计算即可；
（2）先计算中括号内的完全平方公式，然后合并同类项，再利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：
（2）
22．49
【分析】本题主要考查完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式的变形计算方法是解题的关键．
根据题意，则，再根据完全平方公式展开，代入计算即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
23．(1)
(2)
【分析】此题考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是；平方差公式是．
（1）把原式变形为，把其中的作为一个整体看成完全平方公式中的“”，把看成完全平方公式中的“”，这样本小题就转化为与这两项的和的平方的形式了．
（2）包含相同项：．符号相反的项：与；与．把转化为，即可转化为与这两项的差乘这两项的和的形式．
【详解】（1）
．
（2）
．
24．(1)
(2)
【分析】（1）根据公式先求出，再开方即可；
（2）设，再利用完全平方公式变形即可求解．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）设，
，
．
【点睛】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．
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