11.3公式法同步练习（含解析）
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
11.3公式法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则代数式的值是（ ）
A．2019 B．2017 C．2024 D．2023
2．因式分解的结果是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知当和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于（ ）
A． B． C．3 D．11
4．下列各式能够用完全平方公式因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则代数式应为（ ）
A． B． C． D．
6．下列多项式分解因式后，含有因式：的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知、、为一个三角形的三边长，则的值为（ ）
A．恒为正 B．恒为负 C．可正可负 D．非负
8．若，则值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
9．多项式与的公因式是（ ）
A． B． C． D．
10．多项式因式分解的结果是( )
A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2
11．已知，，则代数式的值为（ ）
A． B．2 C．22 D．
12．运用公式直接对整式进行因式分解，公式中的a可以是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．分解因式： ．
14．分解因式： ．
15．在实数范围内分解因式： ．
16．设为正整数，且，则等于 ．
17．分解因式 ．
三、解答题
18．做一做计算： 探究归纳，如图甲、图乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为．
(1)根据图甲、图乙的特征用不同的方法计算长方形的面积，得到关于字母 x 的系数是 1 的 两个一次式相乘的计算规律，用数学式表达式为 ．
尝试运用，利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用上述表达式得到一些二次三项 式的因式分解．
(2)若，则 ．
(3)若可以分解成关于 x 的两个一次式乘积的形式，则整数 p 的值一定是 ．
(4)若 可以分解成关于 x 的两个一次式乘积的形式，则整数 q 的值一定是 ．
A．4 B．0 C．有限个 D．有无数个
19．已知整式，，．
(1)若，且与互为相反数，计算的结果；
(2)若，且可因式分解为，求的值；
(3)若，求的值．
20．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的___________．
A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式
(2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
21．分解因式：
(1)；
(2)．
22．(1)计算 ：
(2)简便计算：．
23．（1）计算：．
（2）简便计算：．
24．分解因式：
(1)；
(2)．
《11.3公式法》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C B A C A A D D
题号 11 12
答案 D A
1．D
【分析】把所给代数式变形后把代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故选D．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算，也可以运用整体代入的思想，本题就利用了整体代入进行计算．
2．C
【分析】利用平方差公式对多项式进行分解因式即可得到答案．
【详解】解：
，
故选C．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知平方差公式是解题的关键．
3．C
【分析】根据和时，多项式的值相等，得到或，由，得到，推出，即可得解．
【详解】∵和时，多项式的值相等，
∴，
∴，
∴
∴，
即：，
∴或，
∵，
∴，
当时，，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查代数式求值．解题的关键是利用整体思想，求出的值．
4．B
【分析】本题考查了公式法分解因式，掌握是解题的关键．
【详解】解：A.，不符合完全平方公式的特征，故不合题意；
B.符合完全平方公式的特征，故符合题意；
C.，不符合完全平方公式的特征，故不合题意；
D.，不符合完全平方公式的特征，故不合题意；
故选：B．
5．A
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，根据平方差公式把原式变形为，由此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选A．
6．C
【分析】先把各个多项式分解因式，再根据求出的结果找出选项即可．本题考查了分解因式，能选择适当的方法分解因式是解此题的关键，分解因式的方法有提取公因式法，公式法，因式分解法，分组分解法等．
【详解】解：A．，故原式不含有因式，故本选项不符合题意；
B．
，
故原式不含有因式，故本选项不符合题意；
C．
，
故原式含有因式，故本选项符合题意；
D．，故原式不含有因式，故本选项不符合题意；
故选：C．
7．A
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，三角形三边的关系，把原式因式分解为，根据三角形三边的关系得到，则，据此可得答案．
【详解】解：
，
∵、、为一个三角形的三边长，
∴，
∴
∴的值恒为正．
故选：．
8．A
【分析】利用完全平方公式和绝对值的非负性求出x、y值即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，解得，
故答案为：2．
【点睛】本题考查完全平方公式、绝对值的非负性，会利用非负数的非负性求解是解答的关键．
9．D
【分析】先对多项式 与进行因式分解，再根据公因式的定义解决此题．
【详解】解：∵，
，
∴ 与 的公因式为 ；
故选：D．
【点睛】本题主要考查因式分解以及公因式的定义，熟练掌握运用公式法进行因式分解以及公因式的定义是解决本题的关键．
10．D
【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了公式法分解因式，理解完全平方公式是解答关键．
11．D
【分析】将已知条件转换为a-b=，利用提公因式后进行完全平方公式的变形使所求代数式含有a-b的式子即可求解．
【详解】解：∵，
∴a-b=，
∴
=
，
故选：D．
【点睛】本题考查了提公因式法和完全平方公式法因式分解，能把所求式子用a- b表示是解题关键．
12．A
【分析】直接利用完全平方公式得出答案．
【详解】解：，
∴对上式进行因式分解，公式中的a可以是：．
故选：A．
【点睛】本题考查了公式法分解因式，正确运用完全平方公式是解答本题的关键．
13．
【分析】本题考查了因式分解，先把，写成，，然后利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
15．
【分析】先利用完全平方公式进行配方，再根据平方差公式进行因式分解即可.
【详解】解：.
故答案为：.
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握用公式法进行因式分解是解题的关键，实数范围内的因式分解技巧：若，则.
16．
【分析】将，转化为关于同一底数幂的形式，再代入中试解即可．
【详解】解：因为，所以只能是，只能是．（为整数）
同理，（为整数）．
由，得
，
，
故，，
所以，．
因此，，．，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了整数问题的综合运用，将题目条件进行转化，再进行试解是解题的关键，体现了转化思想在解题中的应用．
17．
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
18．(1)
(2)
(3)0或
(4)D
【分析】（1）根据多项式乘多项式的法则，即可求解；
（2）把展开，即可求解；
（3）由，进而即可求解；
（4）根据“和为的两个整数有无数组”，进而即可求解．
【详解】（1）∵，，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
故答案为：；
（3）∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式，
∴，
∴或，
故答案为：或
（4）∵和为的两个整数有无数组，
∴整数的值有无数个，
故选D．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式的运算法则，因式分解，通过题目得到结论：是解题的关键．
19．(1)
(2)
(3)0
【分析】（1）首先根据相反数的概念得到，然后利用整式的混合运算法则求解即可；
（2）首先根据多项式乘多项式的运算法则求解，然后根据“可因式分解为”得到，将代入即可求出b的值；
（3）首先根据得到，然后整体代入求解即可．
【详解】（1）∵，且与互为相反数，
∴
∴
；
（2）∵
∵且可因式分解为，
∴
∴
∵
∴，解得；
（3）∵
∴
∴
∴
∴．
【点睛】此题考查了相反数的概念，整式乘法的混合运算，代数式求值，因式分解等知识，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
20．(1)C
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式即可解答；
（2）设，则原式转化为，分解因式得，最后回代即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴该同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式．
故选：C
（2）解：设，
原式
．
【点睛】本题考查了利用完全平方公式因式分解，换元法等知识，熟知完全平方公式，理解题目中示例是解题关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
22．（1）；（2）
【分析】（1）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解；
（2）根据平方差公式进行计算即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了完全平方公式与平方差公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键．
23．（1）；（2）
【分析】（1）提取公因数17进行分解因式，然后按照有理数的四则运算法则求解即可；
（2）提取公因数进行分解因式，然后按照有理数的四则运算法则求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，熟知提公因式（数）法分解因式是解题的关键．
24．(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了分解因式，分解因式应首先观察多项式中是否有公因式，如果有公因式要先提公因式，然后再考虑是否能运用公式法分解因式，分解因式一定要分解到不能再分解为止．
（1）先提出公因式，然后再用完全平方公式分解因式；
（2）首先把多项式中的整体作为公因式提出来，然后再利用平方差公式继续分解因式．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
11.3公式法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则代数式的值是（ ）
A．2019 B．2017 C．2024 D．2023
2．因式分解的结果是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知当和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于（ ）
A． B． C．3 D．11
4．下列各式能够用完全平方公式因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则代数式应为（ ）
A． B． C． D．
6．下列多项式分解因式后，含有因式：的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知、、为一个三角形的三边长，则的值为（ ）
A．恒为正 B．恒为负 C．可正可负 D．非负
8．若，则值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
9．多项式与的公因式是（ ）
A． B． C． D．
10．多项式因式分解的结果是( )
A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2
11．已知，，则代数式的值为（ ）
A． B．2 C．22 D．
12．运用公式直接对整式进行因式分解，公式中的a可以是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．分解因式： ．
14．分解因式： ．
15．在实数范围内分解因式： ．
16．设为正整数，且，则等于 ．
17．分解因式 ．
三、解答题
18．做一做计算： 探究归纳，如图甲、图乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为．
(1)根据图甲、图乙的特征用不同的方法计算长方形的面积，得到关于字母 x 的系数是 1 的 两个一次式相乘的计算规律，用数学式表达式为 ．
尝试运用，利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用上述表达式得到一些二次三项 式的因式分解．
(2)若，则 ．
(3)若可以分解成关于 x 的两个一次式乘积的形式，则整数 p 的值一定是 ．
(4)若 可以分解成关于 x 的两个一次式乘积的形式，则整数 q 的值一定是 ．
A．4 B．0 C．有限个 D．有无数个
19．已知整式，，．
(1)若，且与互为相反数，计算的结果；
(2)若，且可因式分解为，求的值；
(3)若，求的值．
20．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的___________．
A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式
(2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
21．分解因式：
(1)；
(2)．
22．(1)计算 ：
(2)简便计算：．
23．（1）计算：．
（2）简便计算：．
24．分解因式：
(1)；
(2)．
《11.3公式法》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C B A C A A D D
题号 11 12
答案 D A
1．D
【分析】把所给代数式变形后把代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故选D．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算，也可以运用整体代入的思想，本题就利用了整体代入进行计算．
2．C
【分析】利用平方差公式对多项式进行分解因式即可得到答案．
【详解】解：
，
故选C．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知平方差公式是解题的关键．
3．C
【分析】根据和时，多项式的值相等，得到或，由，得到，推出，即可得解．
【详解】∵和时，多项式的值相等，
∴，
∴，
∴
∴，
即：，
∴或，
∵，
∴，
当时，，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查代数式求值．解题的关键是利用整体思想，求出的值．
4．B
【分析】本题考查了公式法分解因式，掌握是解题的关键．
【详解】解：A.，不符合完全平方公式的特征，故不合题意；
B.符合完全平方公式的特征，故符合题意；
C.，不符合完全平方公式的特征，故不合题意；
D.，不符合完全平方公式的特征，故不合题意；
故选：B．
5．A
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，根据平方差公式把原式变形为，由此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选A．
6．C
【分析】先把各个多项式分解因式，再根据求出的结果找出选项即可．本题考查了分解因式，能选择适当的方法分解因式是解此题的关键，分解因式的方法有提取公因式法，公式法，因式分解法，分组分解法等．
【详解】解：A．，故原式不含有因式，故本选项不符合题意；
B．
，
故原式不含有因式，故本选项不符合题意；
C．
，
故原式含有因式，故本选项符合题意；
D．，故原式不含有因式，故本选项不符合题意；
故选：C．
7．A
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，三角形三边的关系，把原式因式分解为，根据三角形三边的关系得到，则，据此可得答案．
【详解】解：
，
∵、、为一个三角形的三边长，
∴，
∴
∴的值恒为正．
故选：．
8．A
【分析】利用完全平方公式和绝对值的非负性求出x、y值即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，解得，
故答案为：2．
【点睛】本题考查完全平方公式、绝对值的非负性，会利用非负数的非负性求解是解答的关键．
9．D
【分析】先对多项式 与进行因式分解，再根据公因式的定义解决此题．
【详解】解：∵，
，
∴ 与 的公因式为 ；
故选：D．
【点睛】本题主要考查因式分解以及公因式的定义，熟练掌握运用公式法进行因式分解以及公因式的定义是解决本题的关键．
10．D
【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了公式法分解因式，理解完全平方公式是解答关键．
11．D
【分析】将已知条件转换为a-b=，利用提公因式后进行完全平方公式的变形使所求代数式含有a-b的式子即可求解．
【详解】解：∵，
∴a-b=，
∴
=
，
故选：D．
【点睛】本题考查了提公因式法和完全平方公式法因式分解，能把所求式子用a- b表示是解题关键．
12．A
【分析】直接利用完全平方公式得出答案．
【详解】解：，
∴对上式进行因式分解，公式中的a可以是：．
故选：A．
【点睛】本题考查了公式法分解因式，正确运用完全平方公式是解答本题的关键．
13．
【分析】本题考查了因式分解，先把，写成，，然后利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
15．
【分析】先利用完全平方公式进行配方，再根据平方差公式进行因式分解即可.
【详解】解：.
故答案为：.
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握用公式法进行因式分解是解题的关键，实数范围内的因式分解技巧：若，则.
16．
【分析】将，转化为关于同一底数幂的形式，再代入中试解即可．
【详解】解：因为，所以只能是，只能是．（为整数）
同理，（为整数）．
由，得
，
，
故，，
所以，．
因此，，．，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了整数问题的综合运用，将题目条件进行转化，再进行试解是解题的关键，体现了转化思想在解题中的应用．
17．
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
18．(1)
(2)
(3)0或
(4)D
【分析】（1）根据多项式乘多项式的法则，即可求解；
（2）把展开，即可求解；
（3）由，进而即可求解；
（4）根据“和为的两个整数有无数组”，进而即可求解．
【详解】（1）∵，，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
故答案为：；
（3）∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式，
∴，
∴或，
故答案为：或
（4）∵和为的两个整数有无数组，
∴整数的值有无数个，
故选D．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式的运算法则，因式分解，通过题目得到结论：是解题的关键．
19．(1)
(2)
(3)0
【分析】（1）首先根据相反数的概念得到，然后利用整式的混合运算法则求解即可；
（2）首先根据多项式乘多项式的运算法则求解，然后根据“可因式分解为”得到，将代入即可求出b的值；
（3）首先根据得到，然后整体代入求解即可．
【详解】（1）∵，且与互为相反数，
∴
∴
；
（2）∵
∵且可因式分解为，
∴
∴
∵
∴，解得；
（3）∵
∴
∴
∴
∴．
【点睛】此题考查了相反数的概念，整式乘法的混合运算，代数式求值，因式分解等知识，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
20．(1)C
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式即可解答；
（2）设，则原式转化为，分解因式得，最后回代即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴该同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式．
故选：C
（2）解：设，
原式
．
【点睛】本题考查了利用完全平方公式因式分解，换元法等知识，熟知完全平方公式，理解题目中示例是解题关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
22．（1）；（2）
【分析】（1）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解；
（2）根据平方差公式进行计算即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了完全平方公式与平方差公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键．
23．（1）；（2）
【分析】（1）提取公因数17进行分解因式，然后按照有理数的四则运算法则求解即可；
（2）提取公因数进行分解因式，然后按照有理数的四则运算法则求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，熟知提公因式（数）法分解因式是解题的关键．
24．(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了分解因式，分解因式应首先观察多项式中是否有公因式，如果有公因式要先提公因式，然后再考虑是否能运用公式法分解因式，分解因式一定要分解到不能再分解为止．
（1）先提出公因式，然后再用完全平方公式分解因式；
（2）首先把多项式中的整体作为公因式提出来，然后再利用平方差公式继续分解因式．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
同课章节目录