12.1三角形同步练习（含解析）
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12.1三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一副三角板如图所示摆放，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．小枣一笔画成了如图所示的图形，若∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
3．如图，D是△ABC的边AC上一点，E为BD上一点，则∠A，∠1，∠2之间的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．在一个三角形中，若其中一个内角等于另外两个内角的差，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能
7．如图是脊柱侧弯的检查示意图，其中角是评估脊柱侧弯严重程度的一个重要指标．在体检时为方便测出角的大小，需将转化为与它相等的角，图中与相等的角是（ ）．
A． B． C． D．
8．用直角三角板，作 的高，下列作法正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．在中，，，的三个内角度数之比为，则（ ）
A． B． C． D．
10．中，，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图所示，为中边上一点，，，，是上一点，且的面积等于面积的倍，则的长为（ ）
A． B． C． D．
12．中，，，则（ ）
A．66° B．36° C．56° D．46°
二、填空题
13．如图，在三角形中，，垂足为D，，则 ．
14．如图所示，在中，，，，，则边上的高的长为 ．
15．如图，A岛在B岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏东方向，A岛在C岛北偏西，从A岛看B，C两岛的视角是 度．
16．如图，物理课上，老师和同学们做了如下实验：平面镜A与B之间的夹角为，光线经平面镜A反射到平面镜B上，再反射出去，若，则的度数为 ．
17．如图，、的角平分线交于点，若，，则 ．
三、解答题
18．下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由．
(1)．
(2)．
(3)．
19．已知：如图，在中，D是AB上一点，，．求证：是直角三角形．
20．如图①，在 中，与的平分线相交于点P．
(1)如果，求的度数；
(2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系．
(3)如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数．
21．概念认识：如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”．
【问题解决】
(1)如图①，，，是的“三分线”，则 ______ ；
(2)如图②，在中，，，若的三分线交于点，则 ______ ；
(3)如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数；
(4)【延伸推广】
在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点若，，直接写出的度数用含、的代数式表示
22．（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：．
（2）如图（2），分别平分，若．求的度数．
（3）如图（3），直线平分平分的外角，猜想与的数量关系是______；
（4）如图（4），直线平分的外角平分的外角，猜想与的数量关系是______．
23．如图①，我们知道，光线射向一个平面镜被反射后，两条光线与平面镜的夹角相等（）．如图②，光线照射到平面镜甲上，会反射到平面镜乙，然后光线又会射到平面镜甲上，…．若，，求的度数．
24．如图，已知．
(1)如图①，点D在线段的延长线上．试说明：；
(2)若将图①改为图②，即点D不在线段BA的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．
《12.1三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B D B A C D C B
题号 11 12
答案 B B
1．C
【分析】求角度的问题，主要涉及到三角形内角和定理与三角形外角性质，根据图形，结合已知角度即可得到结论．
【详解】解：如图所示：
根据题意可知，
是的一个外角，
，
，,
,
,
是的一个外角，
,
故选：C．
【点睛】本题考查在三角板背景下的求角度问题，涉及到三角形内角和定理、三角形外角性质，看懂图形，找准已知角与所求角度之间的关系是解决问题的关键．
2．B
【分析】根据三角形内角和定理与内角与外角的关系求出，由此得出，进而求出，即可求出∠D+∠E
【详解】解：如图，
∵∠A＝60°，∠B＝40°，
∴∠BGF＝∠C+∠AFC＝∠A+∠B＝100°，
∵∠C＝30°，
∴∠AFC＝100°﹣30°＝70°，
∴∠EFD＝∠AFC＝70°，
∵∠E+∠D+∠EFD＝180°，
∴∠D+∠E＝180°﹣70°＝110°，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理与内角与外角的关系，知道两内角之和为不相邻的外角是解题关键．
3．B
【分析】根据三角形外角和性质，分别表示出角来比较大小即可．
【详解】根据三角形外角和性质可得：
，
∴
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形的外角和性质，解题的关键是利用外角和定理分别把角表示出来．
4．D
【分析】本题主要考查三角板中特殊角度，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键；
根据三角板中特殊角度，利用三角形内角和定理解答即可．
【详解】解：如图，进行标注；
根据三角板的特殊角度，可知：，，
；
故选：D．
5．B
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故选：B．
6．A
【分析】根据三角形的内角和可求解的一内角为，进而可判断三角形的形状．
【详解】解：设这个三角形为，且，
则，
∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大角的度数是解此题的关键．
7．C
【分析】本题考查三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可得，同理可得，由对顶角得，即可得到，即可解答．
【详解】解：根据题意可得：，，
，
同理可得，
，
，
故选：C．
8．D
【分析】本题考查的是作图基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．根据高线的定义即可得出结论．
【详解】解：A、B、C选项均不是高线，D选项是高线．
故选：D．
9．C
【分析】本题考查三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度，结合三个内角度数之比即可求解．
【详解】解：，，的三个内角度数之比为，，
，
故选C．
10．B
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度进行求解即可．
【详解】解：∵中，，
∴，
故选：B．
11．B
【分析】本题考查三角形的面积（三角形的面积等于底与高乘积的一半），设，根据三角形面积公式，利用得到，则，所以，再根据三角形面积公式即可求出的长．解题的关键是掌握三角形的面积公式及同高三角形的面积的转化．
【详解】解：设，
∵，，即，
∵和同高，设高为，
∴，
∵的面积等于面积的倍，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，和同高，设高为，
∴，
∴．
故选：B．
12．B
【分析】设，利用直角三角形的两锐角互余列方程解题即可．
【详解】解：设，则，根据直角三角形的两锐角互余可得：
，
解得，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查直角三角形的两锐角互余，掌握运用方程解比例式的题目是解题的关键．
13．
【分析】本题考查与三角形高的相关计算，熟记三角形面积公式是解题的关键．由三角形面积公式得，则，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】利用三角形的等面积法即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的高，熟练掌握等面积法求三角形的高是解题的关键．
15．70
【分析】此题考查方位角，三角形内角和定理，利用方位角的概念结合图形解答．解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，再结合三角形的内角和定理与平行线的性质解答．
【详解】解：∵A岛在B岛的北偏东方向，即，
∵C岛在B岛的北偏东方向，即；
∵A岛在C岛北偏西，即，
∴；
在中，，
∴，
故答案为70．
16．
【分析】根据反射角入射角，推出，利用三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：如图，由题意，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，反射定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．/度
【分析】延长交于点，根据角平分线的定义，得，，根据三角形的外角和，得，，根据等量代换，；根据，，根据等量代换，得，联立，即可求出．
【详解】延长交于点，
∵、的角平分线交于点，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
由得，，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形的外角和，解题的关键是掌握角平分线的定义，三角形的外角和．
18．(1)这三条线段能组成三角形，理由见解析
(2)这三条线段不能组成三角形，理由见解析
(3)这三条线段不能组成三角形，理由见解析
【分析】根据构成三角形的条件进行逐一判断即可．
【详解】（1）解；这三条线段能组成三角形，理由如下：
∵，
∴这三条线段能组成三角形；
（2）解；这三条线段不能组成三角形，理由如下：
∵，
∴这三条线段不能组成三角形；
（3）解；这三条线段不能组成三角形，理由如下：
∵，
∴这三条线段不能组成三角形．
【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
19．见解析
【分析】利用三角形内角和定理可得，据此即可证明是直角三角形．
【详解】解：在中，D是AB上一点，，，
∵，
∴，即，
∴，
∴是直角三角形．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，掌握“三角形三个内角和等于”是解题的关键．
20．(1)
(2)
(3)的度数是或或或
【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，熟练掌握知识点及运用分类讨论思想是解题的关键．
（1）在中，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得出，，求出，再在中，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据三角形外角性质得出，，求出，根据角平分线的定义得出，，求出，根据三角形内角和定理求出即可；
（3）根据角平分线的定义得出，，根据三角形外角性质得出，求出，求出，分为四种情况：①，②，③，④，再求出答案即可．
【详解】（1），
，
点是和的角平分线的交点，
，，
，
；
（2），，
，
点是和的角平分线的交点，
，，
，
；
（3）延长得射线，
为的外角的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
是的外角的平分线，
，
平分，
，
，
，
即，
，
，
即，
，
如果中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么分为四种情况：
①，则，；
②，则，，；
③，则，；
④，则，，
综合上述，的度数是或或或．
21．(1)
(2)或
(3)
(4)的度数是或或或或
【分析】（1）是“邻三分线”时，是“邻三分线”时，根据三角形的三分线求出即可；
（2）分情况讨论如图当是“邻三分线”时，；当是“邻三分线”时，即可得答案；
（3）求出，根据、分别是邻三分线和邻三分线求出，，求出，再求出即可；
（4）画出符合的所有情况，①当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，②当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，③当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，④当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，再根据三角形的外角性质求出答案即可．
【详解】（1）解：，，是的“三分线”，
，
，
故答案为：；
（2）如图，
当是“邻三分线”时，
，，
；
当是“邻三分线”时，
，，
；
综上所述，或，
故答案为：或；
（3）如图，
，
，
，
、分别是邻三分线和邻三分线，
，，
，
，
；
（4）分为四种情况：
情况一：如图，
当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，
由外角可得：，
；
情况二：如图，
当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，
由外角可知：，
；
情况三、
当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，
当时，如图，
由外角可得：，
；
当时，如图，
由外角及对顶角可得：，
；
情况四、如图，
当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，
由外角可得：，
；
综合上述：的度数是或或或或．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理，数形结合，准确运用分类讨论思想分析是解题的关键．
22．（1）见解析；
（2）；
（3）；
（4）
【分析】（1）根据三角形的内角和等于和对顶角的性质即可得证；
（2）设，，解方程即可得到答案；
（3）根据直线平分，平分的外角，得到
，从而可以得到，再根据，得到即可求解；
（4）连接,求得，，再根据，，，，即可求解．
【详解】解：（1）如图.
，，
．
，
；
（2）如图.
，分别平分，，设，，
则有，
，
（3）如图.
直线平分，平分的外角，
，，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴，
即．
（4）连接
直线平分的外角，平分的外角，
，，
∵，
∴
同理得到：
∴
∴
∵180°，
∴，
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
23．
【分析】根据题意可得，，，利用三角形内角和定理求出的度数，再结合平角的定义求解．
【详解】解：如图，由题意知：，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
答：的度数为．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，正确理解题意，求出的度数是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)（1）中的结论仍成立，见解析
【分析】该题考查了平行线的判定问题；解题的关键是灵活运用三角形的内角和定理，结合平行线的判定定理来分析、判断、解答．
（1）首先证明，进而证明，即可解决问题．
（2）连接，证明，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，，，
，
，
；
，
，
．
（2）解：成立．如图，连接；
，，且，
；
，
，
，
即
，
即（1）中的结论仍成立．
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12.1三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一副三角板如图所示摆放，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．小枣一笔画成了如图所示的图形，若∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
3．如图，D是△ABC的边AC上一点，E为BD上一点，则∠A，∠1，∠2之间的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．在一个三角形中，若其中一个内角等于另外两个内角的差，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能
7．如图是脊柱侧弯的检查示意图，其中角是评估脊柱侧弯严重程度的一个重要指标．在体检时为方便测出角的大小，需将转化为与它相等的角，图中与相等的角是（ ）．
A． B． C． D．
8．用直角三角板，作 的高，下列作法正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．在中，，，的三个内角度数之比为，则（ ）
A． B． C． D．
10．中，，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图所示，为中边上一点，，，，是上一点，且的面积等于面积的倍，则的长为（ ）
A． B． C． D．
12．中，，，则（ ）
A．66° B．36° C．56° D．46°
二、填空题
13．如图，在三角形中，，垂足为D，，则 ．
14．如图所示，在中，，，，，则边上的高的长为 ．
15．如图，A岛在B岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏东方向，A岛在C岛北偏西，从A岛看B，C两岛的视角是 度．
16．如图，物理课上，老师和同学们做了如下实验：平面镜A与B之间的夹角为，光线经平面镜A反射到平面镜B上，再反射出去，若，则的度数为 ．
17．如图，、的角平分线交于点，若，，则 ．
三、解答题
18．下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由．
(1)．
(2)．
(3)．
19．已知：如图，在中，D是AB上一点，，．求证：是直角三角形．
20．如图①，在 中，与的平分线相交于点P．
(1)如果，求的度数；
(2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系．
(3)如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数．
21．概念认识：如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”．
【问题解决】
(1)如图①，，，是的“三分线”，则 ______ ；
(2)如图②，在中，，，若的三分线交于点，则 ______ ；
(3)如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数；
(4)【延伸推广】
在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点若，，直接写出的度数用含、的代数式表示
22．（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：．
（2）如图（2），分别平分，若．求的度数．
（3）如图（3），直线平分平分的外角，猜想与的数量关系是______；
（4）如图（4），直线平分的外角平分的外角，猜想与的数量关系是______．
23．如图①，我们知道，光线射向一个平面镜被反射后，两条光线与平面镜的夹角相等（）．如图②，光线照射到平面镜甲上，会反射到平面镜乙，然后光线又会射到平面镜甲上，…．若，，求的度数．
24．如图，已知．
(1)如图①，点D在线段的延长线上．试说明：；
(2)若将图①改为图②，即点D不在线段BA的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．
《12.1三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B D B A C D C B
题号 11 12
答案 B B
1．C
【分析】求角度的问题，主要涉及到三角形内角和定理与三角形外角性质，根据图形，结合已知角度即可得到结论．
【详解】解：如图所示：
根据题意可知，
是的一个外角，
，
，,
,
,
是的一个外角，
,
故选：C．
【点睛】本题考查在三角板背景下的求角度问题，涉及到三角形内角和定理、三角形外角性质，看懂图形，找准已知角与所求角度之间的关系是解决问题的关键．
2．B
【分析】根据三角形内角和定理与内角与外角的关系求出，由此得出，进而求出，即可求出∠D+∠E
【详解】解：如图，
∵∠A＝60°，∠B＝40°，
∴∠BGF＝∠C+∠AFC＝∠A+∠B＝100°，
∵∠C＝30°，
∴∠AFC＝100°﹣30°＝70°，
∴∠EFD＝∠AFC＝70°，
∵∠E+∠D+∠EFD＝180°，
∴∠D+∠E＝180°﹣70°＝110°，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理与内角与外角的关系，知道两内角之和为不相邻的外角是解题关键．
3．B
【分析】根据三角形外角和性质，分别表示出角来比较大小即可．
【详解】根据三角形外角和性质可得：
，
∴
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形的外角和性质，解题的关键是利用外角和定理分别把角表示出来．
4．D
【分析】本题主要考查三角板中特殊角度，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键；
根据三角板中特殊角度，利用三角形内角和定理解答即可．
【详解】解：如图，进行标注；
根据三角板的特殊角度，可知：，，
；
故选：D．
5．B
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故选：B．
6．A
【分析】根据三角形的内角和可求解的一内角为，进而可判断三角形的形状．
【详解】解：设这个三角形为，且，
则，
∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大角的度数是解此题的关键．
7．C
【分析】本题考查三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可得，同理可得，由对顶角得，即可得到，即可解答．
【详解】解：根据题意可得：，，
，
同理可得，
，
，
故选：C．
8．D
【分析】本题考查的是作图基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．根据高线的定义即可得出结论．
【详解】解：A、B、C选项均不是高线，D选项是高线．
故选：D．
9．C
【分析】本题考查三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度，结合三个内角度数之比即可求解．
【详解】解：，，的三个内角度数之比为，，
，
故选C．
10．B
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度进行求解即可．
【详解】解：∵中，，
∴，
故选：B．
11．B
【分析】本题考查三角形的面积（三角形的面积等于底与高乘积的一半），设，根据三角形面积公式，利用得到，则，所以，再根据三角形面积公式即可求出的长．解题的关键是掌握三角形的面积公式及同高三角形的面积的转化．
【详解】解：设，
∵，，即，
∵和同高，设高为，
∴，
∵的面积等于面积的倍，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，和同高，设高为，
∴，
∴．
故选：B．
12．B
【分析】设，利用直角三角形的两锐角互余列方程解题即可．
【详解】解：设，则，根据直角三角形的两锐角互余可得：
，
解得，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查直角三角形的两锐角互余，掌握运用方程解比例式的题目是解题的关键．
13．
【分析】本题考查与三角形高的相关计算，熟记三角形面积公式是解题的关键．由三角形面积公式得，则，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】利用三角形的等面积法即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的高，熟练掌握等面积法求三角形的高是解题的关键．
15．70
【分析】此题考查方位角，三角形内角和定理，利用方位角的概念结合图形解答．解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，再结合三角形的内角和定理与平行线的性质解答．
【详解】解：∵A岛在B岛的北偏东方向，即，
∵C岛在B岛的北偏东方向，即；
∵A岛在C岛北偏西，即，
∴；
在中，，
∴，
故答案为70．
16．
【分析】根据反射角入射角，推出，利用三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：如图，由题意，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，反射定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．/度
【分析】延长交于点，根据角平分线的定义，得，，根据三角形的外角和，得，，根据等量代换，；根据，，根据等量代换，得，联立，即可求出．
【详解】延长交于点，
∵、的角平分线交于点，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
由得，，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形的外角和，解题的关键是掌握角平分线的定义，三角形的外角和．
18．(1)这三条线段能组成三角形，理由见解析
(2)这三条线段不能组成三角形，理由见解析
(3)这三条线段不能组成三角形，理由见解析
【分析】根据构成三角形的条件进行逐一判断即可．
【详解】（1）解；这三条线段能组成三角形，理由如下：
∵，
∴这三条线段能组成三角形；
（2）解；这三条线段不能组成三角形，理由如下：
∵，
∴这三条线段不能组成三角形；
（3）解；这三条线段不能组成三角形，理由如下：
∵，
∴这三条线段不能组成三角形．
【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
19．见解析
【分析】利用三角形内角和定理可得，据此即可证明是直角三角形．
【详解】解：在中，D是AB上一点，，，
∵，
∴，即，
∴，
∴是直角三角形．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，掌握“三角形三个内角和等于”是解题的关键．
20．(1)
(2)
(3)的度数是或或或
【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，熟练掌握知识点及运用分类讨论思想是解题的关键．
（1）在中，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得出，，求出，再在中，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据三角形外角性质得出，，求出，根据角平分线的定义得出，，求出，根据三角形内角和定理求出即可；
（3）根据角平分线的定义得出，，根据三角形外角性质得出，求出，求出，分为四种情况：①，②，③，④，再求出答案即可．
【详解】（1），
，
点是和的角平分线的交点，
，，
，
；
（2），，
，
点是和的角平分线的交点，
，，
，
；
（3）延长得射线，
为的外角的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
是的外角的平分线，
，
平分，
，
，
，
即，
，
，
即，
，
如果中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么分为四种情况：
①，则，；
②，则，，；
③，则，；
④，则，，
综合上述，的度数是或或或．
21．(1)
(2)或
(3)
(4)的度数是或或或或
【分析】（1）是“邻三分线”时，是“邻三分线”时，根据三角形的三分线求出即可；
（2）分情况讨论如图当是“邻三分线”时，；当是“邻三分线”时，即可得答案；
（3）求出，根据、分别是邻三分线和邻三分线求出，，求出，再求出即可；
（4）画出符合的所有情况，①当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，②当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，③当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，④当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，再根据三角形的外角性质求出答案即可．
【详解】（1）解：，，是的“三分线”，
，
，
故答案为：；
（2）如图，
当是“邻三分线”时，
，，
；
当是“邻三分线”时，
，，
；
综上所述，或，
故答案为：或；
（3）如图，
，
，
，
、分别是邻三分线和邻三分线，
，，
，
，
；
（4）分为四种情况：
情况一：如图，
当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，
由外角可得：，
；
情况二：如图，
当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，
由外角可知：，
；
情况三、
当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，
当时，如图，
由外角可得：，
；
当时，如图，
由外角及对顶角可得：，
；
情况四、如图，
当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，
由外角可得：，
；
综合上述：的度数是或或或或．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理，数形结合，准确运用分类讨论思想分析是解题的关键．
22．（1）见解析；
（2）；
（3）；
（4）
【分析】（1）根据三角形的内角和等于和对顶角的性质即可得证；
（2）设，，解方程即可得到答案；
（3）根据直线平分，平分的外角，得到
，从而可以得到，再根据，得到即可求解；
（4）连接,求得，，再根据，，，，即可求解．
【详解】解：（1）如图.
，，
．
，
；
（2）如图.
，分别平分，，设，，
则有，
，
（3）如图.
直线平分，平分的外角，
，，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴，
即．
（4）连接
直线平分的外角，平分的外角，
，，
∵，
∴
同理得到：
∴
∴
∵180°，
∴，
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
23．
【分析】根据题意可得，，，利用三角形内角和定理求出的度数，再结合平角的定义求解．
【详解】解：如图，由题意知：，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
答：的度数为．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，正确理解题意，求出的度数是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)（1）中的结论仍成立，见解析
【分析】该题考查了平行线的判定问题；解题的关键是灵活运用三角形的内角和定理，结合平行线的判定定理来分析、判断、解答．
（1）首先证明，进而证明，即可解决问题．
（2）连接，证明，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，，，
，
，
；
，
，
．
（2）解：成立．如图，连接；
，，且，
；
，
，
，
即
，
即（1）中的结论仍成立．
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