四川省成都七中万达学校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题
1．（2024高一下·金牛期中）已知复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2024高一下·金牛期中）在复平面内，复数，则等于（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2024高一下·金牛期中）已知向量，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·金牛期中）下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高一下·金牛期中）已知是两个非零向量，同时满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·金牛期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·金牛期中）满足（其中分别为角所对的边）的三角形有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
8．（2024高一下·金牛期中）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则( )
A． B． C． D．
9．（2024高一下·金牛期中）对于非零向量，，，给出下列结论，其中正确的有（ ）
A．若，，则；
B．若，则；
C．；
D．
10．（2024高一下·金牛期中）在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为等腰直角三角形
C．
D．若，则为钝角三角形
11．（2024高一下·金牛期中）已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为等边三角形
C．若，则为的垂心
D．若，则点的轨迹经过的重心
12．（2024高一下·金牛期中）函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．的表达式可以写成
B．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
C．在区间上单调递增
D．若方程在上有且只有6个根，则
13．（2024高一下·金牛期中）已知向量，，且，则实数
14．（2024高一下·金牛期中）函数的部分图像如图所示，则 .
15．（2024高一下·金牛期中）一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度CD= m
16．（2024高一下·金牛期中）如图，在等腰梯形中，，，F为的中点，点P在以A为圆心，为半径的圆弧上变动，E为圆弧与的交点．若，其中，则的取值范围是 ．
17．（2024高一下·金牛期中）如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求：
（1）对角线所表示的复数；
（2）求点对应的复数.
18．（2024高一下·金牛期中）已知向量，．
（1）若向量与垂直，求k的值
（2）若向量与的夹角为锐角，求k的取值范围
19．（2024高一下·金牛期中）高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B、E、F为山脚两侧共线的三点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为、、，计划沿直线BF开通穿山隧道，现已测得BC、DE、EF三段线段的长度分别为3、1、2.
（1）求出线段AE的长度；
（2）求出隧道CD的长度.
20．（2024高一下·金牛期中）已知向量.
（1）若，求的值；
（2）当时，求函数的值域.
21．（2024高一下·金牛期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若为锐角三角形，，求b的取值范围．
22．（2024高一下·金牛期中）设是单位圆上不同的两个定点，点为圆心，点是单位圆上的动点，点满足（为锐角）线段交于点（不包括），点在射线上运动且在圆外，过作圆的两条切线，为切点.
（1）证明：，并求的取值范围；
（2）求的最小值；
（3）若，求的最小值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：由题意可知，则复数z的虚部为.
故答案为：A.
【分析】根据复数的几何意义写出复数的标准式，再结合复数的虚部的定义可得答案.
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题意可得：，
所以.
故答案为：D.
【分析】先根据复数的除法运算法则求出复数，再结合复数的模长公式，从而得出复数z的模.
3．【答案】A
【知识点】平面向量加、减运算的坐标表示；平面向量数乘运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可知，，
故选：A.
【分析】利用向量的坐标加减运算即可求得 .
4．【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：A、，故选项A错误；
B、，故选项B正确；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D错误；
故选：B.
【分析】利用二倍角的正弦公式，余弦公式以及两角差的余弦公式逐一判断分析即可.
5．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：设（），
则，所以，即，解得.
所以，，
所以，
又因为，所以.
故选：D.
【分析】设，由可求出，进而求得以及，再利用向量的夹角公式可求得与的夹角 .
6．【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由题意可知，，
即，
若，则或，此时的正切不存在，不合题意；
所以，所以，所以，
故选：C.
【分析】利用两角和差的余弦公式可得，进而结合商数关系式可求得 的值.
7．【答案】A
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理，得，无解．
故选：A.
【分析】由正弦定理求得sinB的值，判断B的解的个数，进而可知对应三角形的个数.
8．【答案】A
【知识点】向量在几何中的应用；简单的三角恒等变换
【解析】【解答】解：∵，
∴
如图所示，延长交与点，
∵是的垂心，
∴，
同理可得，∴：，
∴，
不妨设，其中，
∵，
∴，解得或，
当时，此时，则都是钝角，则，矛盾.
故，则，∴是锐角，，
于是，解得.
故选：A.
【分析】由O是垂心，结合已知条件可得：，进而可得，设，其中，根据三角形内角和为π，结合正切的和差角公式求得k的值，即可求得tanB，进而求得cosB.
9．【答案】A,D
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：A、因为，，是非零向量，，，所以与，与方向相同或相反，所以与方向相同或相反，所以，故选项A正确；
B、因为，所以，所以，所以不一定成立，故选项B错误；
C、由三角形的性质，模的几何意义得，故选项C错误；
D、，故选项D正确．
故选：AD．
【分析】由非零向量平行的性质即可判断选项A；B选项，由平面向量运算法则和性质得到时也满足要求即可判断选项B；由三角形性质和平面向量模的意义即可判断选项C；利用向量运算法则计算即可判断选项D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理
【解析】【解答】对于A，若，所以，利用正弦定理可得，所以，A符合题意；
对于B，由于，利用正弦定理可得，整理得，即，所以或，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，B不符合题意；
对于C，由正弦定理，所以，C符合题意；
对于D，由于，
所以
，
因为，所以中必有一个钝角，故为钝角三角形，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形的面积公式，比例的等比性质的应用判断结论.
11．【答案】C,D
【知识点】向量在几何中的应用；解三角形
【解析】【解答】解：A、如图所示，设线段的中点为点，在线段上取点，使得，连接，
因为，所以，所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，故选项A错误；
B、因为，所以，所以，
所以，所以，
又，所以，所以为等腰三角形，故选项B错误；
C、因为，所以，所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，所以，所以为的垂心，故选项C正确；
D、设的中点为，则，
由正弦定理可得，所以（为中边上的高），
所以，所以，所以，
又为公共起点，所以三点共线，所以点的轨迹经过的重心，故选项D正确.
故选：CD.
【分析】设线段的中点为点，在线段上取点，使得，根据向量加法的平行四边形法则及三角形的面积公式即可判断选项A；由题意可得，再根据数量积的定义及诱导公式可得，进而即可判断选项B；根据向量的线性运算以及数量积的运算律可得，进而即可判断选项C；设的中点为，可得，再根据正弦定理可得，结合平面向量共线定理即可判断选项D.
12．【答案】A,B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：A、因为的图象过点，即，所以，即，又，所以，所以
又的图象过点，则，即，
所以，解得，，又，所以，
所以，故选项A正确；
B、向右平移个单位后得，为奇函数，故选项B正确；
C、当时，，所以在区间单调递减，故选项C错误；
D、因为，所以，解得或，，
方程在上有6个根，从小到大依次为：，而第7个根为，所以，故选项D正确.
故选：ABD.
【分析】根据图象过点和结合正弦函数的性质求得，可求得函数的解析式，即可判断选项A；根据三角函数的平移变换和函数的奇偶性即可判断选项B；根据余弦函数的性质即可判断选项C，D.
13．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可知，，解得.
故答案为：.
【分析】根据平行向量的坐标表示列式求出x的值即可.
14．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为函数的最大值为，最小值为，
由图象可得点的纵坐标为，点的纵坐标为，
令，可得，，
所以，结合图象可得点的坐标为，
令，可得，，
所以，结合图象可得点的坐标为，
所以，，
所以.
故答案为：.
【分析】由函数解析式结合函数的图象求出点的坐标，再结合数量积的坐标运算，从而得出的值.
15．【答案】
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设此山的高度，
因为，所以在中，，所以，
又因为，，所以，
由正弦定理可得：，即，解得.
故答案为：.
【分析】设山的高度，结合已知条件可知，，再由正弦定理，列式求得x的值，即可求得此山的高度CD.
16．【答案】
【知识点】平面向量的正交分解及坐标表示
【解析】【解答】解：如图所示，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
由题意可知，，，，，，，
设，其中，
所以，，．
因为，所以，
所以，解得，所以．
又因为，所以．
故答案为：．
【分析】以A为坐标原点建立平面直角坐标系，设，其中，写出其余各点坐标，由，可知，列方程求得的表达式，进而可得出的表达式，利用正弦函数的性质即可求得其取值范围.
17．【答案】（1）解：由题意可知，O(0，0)，A(4，3)，C(-3，5)
所以，
所以所表示的复数为.
（2）解：因为，所以点B坐标为(1，8)，
所以点对应的复数为.
【知识点】复数在复平面中的表示；平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据复数的坐标表示可求得点O、A、C的坐标，从而得到，进而可求得对角线所表示的复数 ；
（2）根据向量的线性运算可得，即可的坐标，进而可求得点B的坐标，即可求得点对应的复数 .
（1）因为，
所以所表示的复数为.
（2）因为，
所以所表示的复数为，
即点对应的复数为.
18．【答案】（1）解：由题意可知，，，
因为向量与垂直，所以
即，解得．
（2）解：因为向量与的夹角为锐角，
所以且．
解得且.
所以k的取值范围是．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）先求得向量与 的坐标，进而由垂直关系可知，列出方程，求出k的值即可；
（2）根据两向量夹角为锐角，可知且向量与 不共线，列式求得k的取值范围即可.
（1）依题意得：，，
∵向量与垂直，
∴，解得．
（2）由（1），，
∵向量与的夹角为锐角，
∴且．
解得且.
∴k的取值范围是．
19．【答案】解：（1）由已知可得EF＝2，∠F＝45°，∠EAF＝60°－45°＝15°，
在△AEF中，由正弦定理得：，
即，解得.
（2）由已知可得∠BAE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
在Rt△ABE中，，
所以隧道长度．
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）由已知条件结合正弦定理，从而得出AE的长.
（2）由已知可得∠BAE的值，在Rt△ABE中结合中点的性质可得BE的长，则根据CD＝BE﹣BC﹣DE得出隧道CD的长度．
20．【答案】（1）解：，，
，
，即，
，
．
（2）解：因为，
所以，
，
，
，
，
当时，的值域为．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）利用数量积的坐标表示得到，由得到的值，再利用二倍角的余弦公式结合商数关系，从而得出的值.
（2）利用辅助角公式将化简，即可得到函数的解析式，由的取值范围求出的取值范围，再利用正弦型函数的图象求值域的方法，从而得出函数的值域.
（1）解：，，
，
，即，
，
．
（2）解：因为，
所以，
，
，
，
，
当时，的值域为．
21．【答案】（1）解：在中，由和正弦定理，
得，
则，
即，
因为，
所以，
又因为，
所以.
（2）解：由（1）知，，由正弦定理得：，
由为锐角三角形，
得，解得，
则，，
则，
所以b的取值范围是.
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据已知条件和正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式和，从而得出角A的正切值，再利用三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
（2）利用正弦定理、两角和的正弦公式化简，再利用正切函数的取值范围得出b的取值范围.
（1）在中，由及正弦定理，
得，
则，
即，而，于是，
又，所以.
（2）由（1）知，，由正弦定理得，
由为锐角三角形，得，解得，
则，，则，
所以b的取值范围是.
22．【答案】（1）证明：因为，
所以，
又因为为锐角，所以，所以，所以；
因为
，
解法一：取的中点为，
因为，
且，所以，
所以的取值范围为；
解法二：如图所示，以为原点，以为轴建立直角坐标系，
由题意可知，，
所以，
所以
，
因为，所以，所以，
所以，
所以的取值范围为.
（2）解法一：因为，所以，
所以
，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
解法二：以为原点，以为轴建立直角坐标系，
设点，则，，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
（3）解法一：因为，所以，
所以，，
所以，
所以，即，
令，则原式
当且仅当即，等号成立，的最小值为
解法二：由题意知：以为原点，以为轴建立直角坐标系，
因为，且三点共线，
所以，所以，
又因为，所以，
且，
所以，
所以
，
所以当时，取得最大值，即
取得最小值，
所以的最小值.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）根据题意结合数量积的运算律可得，即可证得 ；整理可得，解法一：根据中点的性质结合数量积的运算律分析求得的取值范围 ；解法二：建立直角坐标系，设，结合三角恒等变换可得，结合正弦的函数分析可求得的取值范围 ；
（2）解法一：根据切线的性质结合向量的运算律和二倍角的余弦公式可得，再利用基本不等式运算即可求得的最小值 ；解法二：建立直角坐标系，设点，根据向量的数量积运算和二倍角的余弦公式可得，再利用基本不等式运算求得的最小值 ；
（3）解法一：根据向量的线性运算可得，换元令，可得，结合基本不等式运算即可求得的最小值 ；解法二：建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得，结合正弦函数的性质分析即可求得的最小值 .
（1）因为，
可得，
又因为为锐角，则，可得，所以；
因为
，
解法一：取的中点为，
可得，
且，可得，
所以的取值范围为；
解法二：以为原点，以为轴，建立直角坐标系，
则，
可得，
则
，
且，则，
可得，即，
所以的取值范围为.
（2）解法一：由题意知：因为，则，
则
，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为；
解法二：由题意知：
以为原点，以为轴，建立直角坐标系设点，
则，，
可得
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
（3）解法一：因为，即，
整理得，，
则，
可得，即，
令，则原式
当且仅当即，等号成立，的最小值为
解法二：由题意知：以为原点，以为轴，建立直角坐标系，
因为，且三点共线，
则，可得，
又因为，则，
且，则，
可得
，
可知当时，取得最大值，
此时取得最小值，
所以的最小值.
1 / 1四川省成都七中万达学校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题
1．（2024高一下·金牛期中）已知复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：由题意可知，则复数z的虚部为.
故答案为：A.
【分析】根据复数的几何意义写出复数的标准式，再结合复数的虚部的定义可得答案.
2．（2024高一下·金牛期中）在复平面内，复数，则等于（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题意可得：，
所以.
故答案为：D.
【分析】先根据复数的除法运算法则求出复数，再结合复数的模长公式，从而得出复数z的模.
3．（2024高一下·金牛期中）已知向量，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量加、减运算的坐标表示；平面向量数乘运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可知，，
故选：A.
【分析】利用向量的坐标加减运算即可求得 .
4．（2024高一下·金牛期中）下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：A、，故选项A错误；
B、，故选项B正确；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D错误；
故选：B.
【分析】利用二倍角的正弦公式，余弦公式以及两角差的余弦公式逐一判断分析即可.
5．（2024高一下·金牛期中）已知是两个非零向量，同时满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：设（），
则，所以，即，解得.
所以，，
所以，
又因为，所以.
故选：D.
【分析】设，由可求出，进而求得以及，再利用向量的夹角公式可求得与的夹角 .
6．（2024高一下·金牛期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由题意可知，，
即，
若，则或，此时的正切不存在，不合题意；
所以，所以，所以，
故选：C.
【分析】利用两角和差的余弦公式可得，进而结合商数关系式可求得 的值.
7．（2024高一下·金牛期中）满足（其中分别为角所对的边）的三角形有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【答案】A
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理，得，无解．
故选：A.
【分析】由正弦定理求得sinB的值，判断B的解的个数，进而可知对应三角形的个数.
8．（2024高一下·金牛期中）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】向量在几何中的应用；简单的三角恒等变换
【解析】【解答】解：∵，
∴
如图所示，延长交与点，
∵是的垂心，
∴，
同理可得，∴：，
∴，
不妨设，其中，
∵，
∴，解得或，
当时，此时，则都是钝角，则，矛盾.
故，则，∴是锐角，，
于是，解得.
故选：A.
【分析】由O是垂心，结合已知条件可得：，进而可得，设，其中，根据三角形内角和为π，结合正切的和差角公式求得k的值，即可求得tanB，进而求得cosB.
9．（2024高一下·金牛期中）对于非零向量，，，给出下列结论，其中正确的有（ ）
A．若，，则；
B．若，则；
C．；
D．
【答案】A,D
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：A、因为，，是非零向量，，，所以与，与方向相同或相反，所以与方向相同或相反，所以，故选项A正确；
B、因为，所以，所以，所以不一定成立，故选项B错误；
C、由三角形的性质，模的几何意义得，故选项C错误；
D、，故选项D正确．
故选：AD．
【分析】由非零向量平行的性质即可判断选项A；B选项，由平面向量运算法则和性质得到时也满足要求即可判断选项B；由三角形性质和平面向量模的意义即可判断选项C；利用向量运算法则计算即可判断选项D.
10．（2024高一下·金牛期中）在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为等腰直角三角形
C．
D．若，则为钝角三角形
【答案】A,C,D
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理
【解析】【解答】对于A，若，所以，利用正弦定理可得，所以，A符合题意；
对于B，由于，利用正弦定理可得，整理得，即，所以或，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，B不符合题意；
对于C，由正弦定理，所以，C符合题意；
对于D，由于，
所以
，
因为，所以中必有一个钝角，故为钝角三角形，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形的面积公式，比例的等比性质的应用判断结论.
11．（2024高一下·金牛期中）已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为等边三角形
C．若，则为的垂心
D．若，则点的轨迹经过的重心
【答案】C,D
【知识点】向量在几何中的应用；解三角形
【解析】【解答】解：A、如图所示，设线段的中点为点，在线段上取点，使得，连接，
因为，所以，所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，故选项A错误；
B、因为，所以，所以，
所以，所以，
又，所以，所以为等腰三角形，故选项B错误；
C、因为，所以，所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，所以，所以为的垂心，故选项C正确；
D、设的中点为，则，
由正弦定理可得，所以（为中边上的高），
所以，所以，所以，
又为公共起点，所以三点共线，所以点的轨迹经过的重心，故选项D正确.
故选：CD.
【分析】设线段的中点为点，在线段上取点，使得，根据向量加法的平行四边形法则及三角形的面积公式即可判断选项A；由题意可得，再根据数量积的定义及诱导公式可得，进而即可判断选项B；根据向量的线性运算以及数量积的运算律可得，进而即可判断选项C；设的中点为，可得，再根据正弦定理可得，结合平面向量共线定理即可判断选项D.
12．（2024高一下·金牛期中）函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．的表达式可以写成
B．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
C．在区间上单调递增
D．若方程在上有且只有6个根，则
【答案】A,B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：A、因为的图象过点，即，所以，即，又，所以，所以
又的图象过点，则，即，
所以，解得，，又，所以，
所以，故选项A正确；
B、向右平移个单位后得，为奇函数，故选项B正确；
C、当时，，所以在区间单调递减，故选项C错误；
D、因为，所以，解得或，，
方程在上有6个根，从小到大依次为：，而第7个根为，所以，故选项D正确.
故选：ABD.
【分析】根据图象过点和结合正弦函数的性质求得，可求得函数的解析式，即可判断选项A；根据三角函数的平移变换和函数的奇偶性即可判断选项B；根据余弦函数的性质即可判断选项C，D.
13．（2024高一下·金牛期中）已知向量，，且，则实数
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可知，，解得.
故答案为：.
【分析】根据平行向量的坐标表示列式求出x的值即可.
14．（2024高一下·金牛期中）函数的部分图像如图所示，则 .
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为函数的最大值为，最小值为，
由图象可得点的纵坐标为，点的纵坐标为，
令，可得，，
所以，结合图象可得点的坐标为，
令，可得，，
所以，结合图象可得点的坐标为，
所以，，
所以.
故答案为：.
【分析】由函数解析式结合函数的图象求出点的坐标，再结合数量积的坐标运算，从而得出的值.
15．（2024高一下·金牛期中）一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度CD= m
【答案】
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设此山的高度，
因为，所以在中，，所以，
又因为，，所以，
由正弦定理可得：，即，解得.
故答案为：.
【分析】设山的高度，结合已知条件可知，，再由正弦定理，列式求得x的值，即可求得此山的高度CD.
16．（2024高一下·金牛期中）如图，在等腰梯形中，，，F为的中点，点P在以A为圆心，为半径的圆弧上变动，E为圆弧与的交点．若，其中，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】平面向量的正交分解及坐标表示
【解析】【解答】解：如图所示，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
由题意可知，，，，，，，
设，其中，
所以，，．
因为，所以，
所以，解得，所以．
又因为，所以．
故答案为：．
【分析】以A为坐标原点建立平面直角坐标系，设，其中，写出其余各点坐标，由，可知，列方程求得的表达式，进而可得出的表达式，利用正弦函数的性质即可求得其取值范围.
17．（2024高一下·金牛期中）如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求：
（1）对角线所表示的复数；
（2）求点对应的复数.
【答案】（1）解：由题意可知，O(0，0)，A(4，3)，C(-3，5)
所以，
所以所表示的复数为.
（2）解：因为，所以点B坐标为(1，8)，
所以点对应的复数为.
【知识点】复数在复平面中的表示；平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据复数的坐标表示可求得点O、A、C的坐标，从而得到，进而可求得对角线所表示的复数 ；
（2）根据向量的线性运算可得，即可的坐标，进而可求得点B的坐标，即可求得点对应的复数 .
（1）因为，
所以所表示的复数为.
（2）因为，
所以所表示的复数为，
即点对应的复数为.
18．（2024高一下·金牛期中）已知向量，．
（1）若向量与垂直，求k的值
（2）若向量与的夹角为锐角，求k的取值范围
【答案】（1）解：由题意可知，，，
因为向量与垂直，所以
即，解得．
（2）解：因为向量与的夹角为锐角，
所以且．
解得且.
所以k的取值范围是．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）先求得向量与 的坐标，进而由垂直关系可知，列出方程，求出k的值即可；
（2）根据两向量夹角为锐角，可知且向量与 不共线，列式求得k的取值范围即可.
（1）依题意得：，，
∵向量与垂直，
∴，解得．
（2）由（1），，
∵向量与的夹角为锐角，
∴且．
解得且.
∴k的取值范围是．
19．（2024高一下·金牛期中）高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B、E、F为山脚两侧共线的三点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为、、，计划沿直线BF开通穿山隧道，现已测得BC、DE、EF三段线段的长度分别为3、1、2.
（1）求出线段AE的长度；
（2）求出隧道CD的长度.
【答案】解：（1）由已知可得EF＝2，∠F＝45°，∠EAF＝60°－45°＝15°，
在△AEF中，由正弦定理得：，
即，解得.
（2）由已知可得∠BAE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
在Rt△ABE中，，
所以隧道长度．
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）由已知条件结合正弦定理，从而得出AE的长.
（2）由已知可得∠BAE的值，在Rt△ABE中结合中点的性质可得BE的长，则根据CD＝BE﹣BC﹣DE得出隧道CD的长度．
20．（2024高一下·金牛期中）已知向量.
（1）若，求的值；
（2）当时，求函数的值域.
【答案】（1）解：，，
，
，即，
，
．
（2）解：因为，
所以，
，
，
，
，
当时，的值域为．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）利用数量积的坐标表示得到，由得到的值，再利用二倍角的余弦公式结合商数关系，从而得出的值.
（2）利用辅助角公式将化简，即可得到函数的解析式，由的取值范围求出的取值范围，再利用正弦型函数的图象求值域的方法，从而得出函数的值域.
（1）解：，，
，
，即，
，
．
（2）解：因为，
所以，
，
，
，
，
当时，的值域为．
21．（2024高一下·金牛期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若为锐角三角形，，求b的取值范围．
【答案】（1）解：在中，由和正弦定理，
得，
则，
即，
因为，
所以，
又因为，
所以.
（2）解：由（1）知，，由正弦定理得：，
由为锐角三角形，
得，解得，
则，，
则，
所以b的取值范围是.
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据已知条件和正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式和，从而得出角A的正切值，再利用三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
（2）利用正弦定理、两角和的正弦公式化简，再利用正切函数的取值范围得出b的取值范围.
（1）在中，由及正弦定理，
得，
则，
即，而，于是，
又，所以.
（2）由（1）知，，由正弦定理得，
由为锐角三角形，得，解得，
则，，则，
所以b的取值范围是.
22．（2024高一下·金牛期中）设是单位圆上不同的两个定点，点为圆心，点是单位圆上的动点，点满足（为锐角）线段交于点（不包括），点在射线上运动且在圆外，过作圆的两条切线，为切点.
（1）证明：，并求的取值范围；
（2）求的最小值；
（3）若，求的最小值.
【答案】（1）证明：因为，
所以，
又因为为锐角，所以，所以，所以；
因为
，
解法一：取的中点为，
因为，
且，所以，
所以的取值范围为；
解法二：如图所示，以为原点，以为轴建立直角坐标系，
由题意可知，，
所以，
所以
，
因为，所以，所以，
所以，
所以的取值范围为.
（2）解法一：因为，所以，
所以
，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
解法二：以为原点，以为轴建立直角坐标系，
设点，则，，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
（3）解法一：因为，所以，
所以，，
所以，
所以，即，
令，则原式
当且仅当即，等号成立，的最小值为
解法二：由题意知：以为原点，以为轴建立直角坐标系，
因为，且三点共线，
所以，所以，
又因为，所以，
且，
所以，
所以
，
所以当时，取得最大值，即
取得最小值，
所以的最小值.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）根据题意结合数量积的运算律可得，即可证得 ；整理可得，解法一：根据中点的性质结合数量积的运算律分析求得的取值范围 ；解法二：建立直角坐标系，设，结合三角恒等变换可得，结合正弦的函数分析可求得的取值范围 ；
（2）解法一：根据切线的性质结合向量的运算律和二倍角的余弦公式可得，再利用基本不等式运算即可求得的最小值 ；解法二：建立直角坐标系，设点，根据向量的数量积运算和二倍角的余弦公式可得，再利用基本不等式运算求得的最小值 ；
（3）解法一：根据向量的线性运算可得，换元令，可得，结合基本不等式运算即可求得的最小值 ；解法二：建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得，结合正弦函数的性质分析即可求得的最小值 .
（1）因为，
可得，
又因为为锐角，则，可得，所以；
因为
，
解法一：取的中点为，
可得，
且，可得，
所以的取值范围为；
解法二：以为原点，以为轴，建立直角坐标系，
则，
可得，
则
，
且，则，
可得，即，
所以的取值范围为.
（2）解法一：由题意知：因为，则，
则
，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为；
解法二：由题意知：
以为原点，以为轴，建立直角坐标系设点，
则，，
可得
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
（3）解法一：因为，即，
整理得，，
则，
可得，即，
令，则原式
当且仅当即，等号成立，的最小值为
解法二：由题意知：以为原点，以为轴，建立直角坐标系，
因为，且三点共线，
则，可得，
又因为，则，
且，则，
可得
，
可知当时，取得最大值，
此时取得最小值，
所以的最小值.
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