广东省广州市南沙东涌中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·南沙期中）化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：
故选：C.
【分析】利用向量的线性运算化简即可求得答案.
2．（2024高一下·南沙期中）在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】在中，由正弦定理得，
，即，
解得：.
故答案为：A.
【分析】由已知结合正弦定理即可求出答案.
3．（2024高一下·南沙期中）复数z =（a2-1）+（a+1）i，（a∈R）为纯虚数，则的取值是
A．3 B．-2 C．-1 D．1
【答案】D
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：依题意可得，，解得，
故：D.
【分析】根据纯虚数的概念实部为0，虚部不为0，求解即可得a的取值.
4．（2024高一下·南沙期中）已知非零向量满足，且，则与的夹角为
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，所以=0，
所以，则=，
所以与的夹角为.
故答案为：B．
【分析】利用已知条件和两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的运算法则，从而得出，再结合数量积求向量夹角公式，从而得出与的夹角．
5．（2024高一下·南沙期中）若向量，，，且∥，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：∵∥，∴，解得
∴，
∴在上的投影向量，
故选：A.
【分析】结合已知条件和平行向量的坐标表示求得x，进而求得的坐标，再根据投影向量的概念即可求得在上的投影向量 .
6．（2024高一下·南沙期中）已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可知，，
所以.
故选：C．
【分析】先根据三角函数定义得到，再利用二倍角公式计算得到答案．
7．（2024高一下·南沙期中）如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为为平行四边形对角线上一点，交于点，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】由得，再根据向量的加减法运算法则，从而用把表示出来，则求出的值，进而得出的值.
8．（2024高一下·南沙期中）如图，在等腰梯形ABCD中，，，，E为BC边上一点，且满足，若，则（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意可知，
则，从而得出，
，
．
故.
故答案为：B．
【分析】由已知条件和平面向量的基本定理与数量积的运算法则，从而得出的值.
9．（2024高一下·南沙期中）已知是虚数单位，，则下列说法正确的是（ ）
A．复数对应的点位于第二象限 B．
C．复数的共轭复数是 D．复数的虚部是
【答案】A,B
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：A、因为，所以复数对应的点为，在第二象限，故选项A正确；
B、，故选项B正确；
C、复数的共轭复数为，故选项C错误；
D、复数的虚部为1，故选项D错误；
故选：AB．
【分析】根据复数的除法运算法则求得复数，根据复数在平面内的表示，复数的模，共轭复数以及虚部的定义逐一分析即可求得答案．
10．（2024高一下·南沙期中），，是空间三条不同的直线，则下列结论错误的是（ ）
A．，
B．，
C．，，共面
D．，，共点，，共面
【答案】A,C,D
【知识点】平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、因为，，所以、平行或异面，故选项A错误；
B、因为，，所以，故选项B正确；
C、当时，，，不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，互相平行但不共面，故选项C错误；
D、当，，共点时，，，不一定共面，如三棱柱共顶点的三条棱不共面，故选项D错误；
故选：ACD.
【分析】根据线线的位置关系，结合平面的基本性质逐一判断分析即可求得答案.
11．（2024高一下·南沙期中）已知 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】∵ ， ，且
解得：
∴ ，A符合题意；
，B不符合题意；
，C符合题意；
∵ ，∴ .
∵ ，∴ ，D不符合题意.
故答案为：AC
【分析】 根据题意将已知等式两边平方，由同角三角函数的基本关系及二倍角的正弦即可求得sin2θ，从而判断选项A；求出，结合已知即可求得sinθ，cosθ，从而可判断选项B，C；利用二倍角的余弦公式可求得，即可判断选项D，从而得出答案。
12．（2024高一下·南沙期中）已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为 ．
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：设球体的半径为，
由题意可知，，解得.
故答案为：.
【分析】根据球体的体积和表面积数值相等的条件可得，解方程即可求出球的半径
13．（2024高一下·南沙期中）已知正四棱台的下底面边长为4，上底面边长和侧棱长均为2，则该四棱台的体积为 ．
【答案】
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图所示，
由题意可知，
连接，得，
过作，过作，
所以，所以，
在直角三角形中，由勾股定理可得，
即正四棱台的高，
所以体积
故答案为：.
【分析】作图，结合图形先求出棱台的高，进而利用棱台体积公式即可求得该四棱台的体积.
14．（2024高一下·南沙期中）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ，B=60°，a2+c2=3ac，则b= .
【答案】
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】
于是
【分析】根据面积的值，计算出ac，再由余弦定理求解。
15．（2024高一下·南沙期中）已知向量，，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解： 解：由 ， 得2λ=3，解得λ=，则，
（2）解： 由已知 ， ，
又 ，
∴(2k+1)×2+1×(k+2)=0 ，解得 .
【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）由向量平行得出λ ，进而由模长公式的得出 的值；
（2）根据向量垂直的坐标表示得出k 的值．
16．（2024高一下·南沙期中）已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值．
【答案】（1）解：由题意可知，，
所以的最小正周期.
（2）解：因为，所以，
所以当，即时，.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）根据二倍角的正弦公式、降幂公式以及辅助角公式化简函数f(x)，进而利用周期公式即可求得的最小正周期；
（2）由的范围得到的范围，再根据正弦函数的图象可得在区间上的最大值 .
（1），
所以的最小正周期.
（2）∵，∴，
当，即时，.
17．（2024高一下·南沙期中）在中，内角所对的边分别为，已知， ，且.
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求的周长
【答案】解：（1）
由正弦定理可得，
即
又
（2）
由余弦定理得，
的周长
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】(1)根据 ，可得，利用正弦定理、两角和的正弦公式诱导公式可知，可求得cosA的值，进而求出A的值；(2)利用三角形的面积公式，求出bc的值，进而利用余弦定理求得a的值，即可求得的周长 .
18．（2024高一下·南沙期中）正三棱柱中，，，点分别为的中点．
（1）求证：面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明：如图所示，取中点，连接，
分别为中点，且，
为中点，四边形为平行四边形，且，
且，四边形为平行四边形，，
又∵平面，平面，平面.
（2）解：取中点，连接，
三棱柱为正三棱柱，为正三角形，
∵平面，AG平面ABC ∴，
又，平面，平面，
，
∵，
.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）取中点，可证得四边形为平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理可证得面 ；
（2）取中点，根据线面垂直的判定定理可证得平面，即AG为三棱锥A-C1CD的高，利用计算即可求得三棱锥的体积 .
（1）取中点，连接，
分别为中点，且，
为中点，四边形为平行四边形，且，
且，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面.
（2）取中点，连接，
三棱柱为正三棱柱，为正三角形，平面，
，，又，平面，
平面，
，，
.
19．（2024高一下·南沙期中）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝，(，)．
（1）当cos＝时，求小路AC的长度；
（2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度．
【答案】解：（1）在中，由余弦定理得，
即，∴．
∵∴
由正弦定理，可得，解得：，
∵是以为直角顶点的等腰直角三角形 ∴且
∴
在中，由余弦定理可得，
所以
（2）由（1）得：，
，此时，，且
当时，四边形的面积最大，即，此时，
∴，即
答：当时，小路的长度为百米；草坪的面积最大时，小路的长度为百米．
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）在△ABD中，先由余弦定理可求BD的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinθ，根据正弦定理可求sin∠ADB，进而可求cos∠ADC的值，而在△ACD中，利用余弦定理即可求AC的值；
（2）结合三角形面积公式，三角函数恒等变换可知SABCD＝7sin（θ﹣φ），根据正弦函数的性质可知当θ﹣φ时，四边形ABCD的面积最大，即θ＝φ，此时，，代入BD2＝14﹣6cosθ，即可求BD的值．
1 / 1广东省广州市南沙东涌中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·南沙期中）化简（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·南沙期中）在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·南沙期中）复数z =（a2-1）+（a+1）i，（a∈R）为纯虚数，则的取值是
A．3 B．-2 C．-1 D．1
4．（2024高一下·南沙期中）已知非零向量满足，且，则与的夹角为
A． B． C． D．
5．（2024高一下·南沙期中）若向量，，，且∥，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·南沙期中）已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·南沙期中）如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·南沙期中）如图，在等腰梯形ABCD中，，，，E为BC边上一点，且满足，若，则（ ）
A． B． C．4 D．8
9．（2024高一下·南沙期中）已知是虚数单位，，则下列说法正确的是（ ）
A．复数对应的点位于第二象限 B．
C．复数的共轭复数是 D．复数的虚部是
10．（2024高一下·南沙期中），，是空间三条不同的直线，则下列结论错误的是（ ）
A．，
B．，
C．，，共面
D．，，共点，，共面
11．（2024高一下·南沙期中）已知 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024高一下·南沙期中）已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为 ．
13．（2024高一下·南沙期中）已知正四棱台的下底面边长为4，上底面边长和侧棱长均为2，则该四棱台的体积为 ．
14．（2024高一下·南沙期中）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ，B=60°，a2+c2=3ac，则b= .
15．（2024高一下·南沙期中）已知向量，，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
16．（2024高一下·南沙期中）已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值．
17．（2024高一下·南沙期中）在中，内角所对的边分别为，已知， ，且.
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求的周长
18．（2024高一下·南沙期中）正三棱柱中，，，点分别为的中点．
（1）求证：面；
（2）求三棱锥的体积．
19．（2024高一下·南沙期中）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝，(，)．
（1）当cos＝时，求小路AC的长度；
（2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：
故选：C.
【分析】利用向量的线性运算化简即可求得答案.
2．【答案】A
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】在中，由正弦定理得，
，即，
解得：.
故答案为：A.
【分析】由已知结合正弦定理即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：依题意可得，，解得，
故：D.
【分析】根据纯虚数的概念实部为0，虚部不为0，求解即可得a的取值.
4．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，所以=0，
所以，则=，
所以与的夹角为.
故答案为：B．
【分析】利用已知条件和两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的运算法则，从而得出，再结合数量积求向量夹角公式，从而得出与的夹角．
5．【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：∵∥，∴，解得
∴，
∴在上的投影向量，
故选：A.
【分析】结合已知条件和平行向量的坐标表示求得x，进而求得的坐标，再根据投影向量的概念即可求得在上的投影向量 .
6．【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可知，，
所以.
故选：C．
【分析】先根据三角函数定义得到，再利用二倍角公式计算得到答案．
7．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为为平行四边形对角线上一点，交于点，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】由得，再根据向量的加减法运算法则，从而用把表示出来，则求出的值，进而得出的值.
8．【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意可知，
则，从而得出，
，
．
故.
故答案为：B．
【分析】由已知条件和平面向量的基本定理与数量积的运算法则，从而得出的值.
9．【答案】A,B
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：A、因为，所以复数对应的点为，在第二象限，故选项A正确；
B、，故选项B正确；
C、复数的共轭复数为，故选项C错误；
D、复数的虚部为1，故选项D错误；
故选：AB．
【分析】根据复数的除法运算法则求得复数，根据复数在平面内的表示，复数的模，共轭复数以及虚部的定义逐一分析即可求得答案．
10．【答案】A,C,D
【知识点】平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、因为，，所以、平行或异面，故选项A错误；
B、因为，，所以，故选项B正确；
C、当时，，，不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，互相平行但不共面，故选项C错误；
D、当，，共点时，，，不一定共面，如三棱柱共顶点的三条棱不共面，故选项D错误；
故选：ACD.
【分析】根据线线的位置关系，结合平面的基本性质逐一判断分析即可求得答案.
11．【答案】A,C
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】∵ ， ，且
解得：
∴ ，A符合题意；
，B不符合题意；
，C符合题意；
∵ ，∴ .
∵ ，∴ ，D不符合题意.
故答案为：AC
【分析】 根据题意将已知等式两边平方，由同角三角函数的基本关系及二倍角的正弦即可求得sin2θ，从而判断选项A；求出，结合已知即可求得sinθ，cosθ，从而可判断选项B，C；利用二倍角的余弦公式可求得，即可判断选项D，从而得出答案。
12．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：设球体的半径为，
由题意可知，，解得.
故答案为：.
【分析】根据球体的体积和表面积数值相等的条件可得，解方程即可求出球的半径
13．【答案】
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图所示，
由题意可知，
连接，得，
过作，过作，
所以，所以，
在直角三角形中，由勾股定理可得，
即正四棱台的高，
所以体积
故答案为：.
【分析】作图，结合图形先求出棱台的高，进而利用棱台体积公式即可求得该四棱台的体积.
14．【答案】
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】
于是
【分析】根据面积的值，计算出ac，再由余弦定理求解。
15．【答案】（1）解： 解：由 ， 得2λ=3，解得λ=，则，
（2）解： 由已知 ， ，
又 ，
∴(2k+1)×2+1×(k+2)=0 ，解得 .
【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）由向量平行得出λ ，进而由模长公式的得出 的值；
（2）根据向量垂直的坐标表示得出k 的值．
16．【答案】（1）解：由题意可知，，
所以的最小正周期.
（2）解：因为，所以，
所以当，即时，.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）根据二倍角的正弦公式、降幂公式以及辅助角公式化简函数f(x)，进而利用周期公式即可求得的最小正周期；
（2）由的范围得到的范围，再根据正弦函数的图象可得在区间上的最大值 .
（1），
所以的最小正周期.
（2）∵，∴，
当，即时，.
17．【答案】解：（1）
由正弦定理可得，
即
又
（2）
由余弦定理得，
的周长
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】(1)根据 ，可得，利用正弦定理、两角和的正弦公式诱导公式可知，可求得cosA的值，进而求出A的值；(2)利用三角形的面积公式，求出bc的值，进而利用余弦定理求得a的值，即可求得的周长 .
18．【答案】（1）证明：如图所示，取中点，连接，
分别为中点，且，
为中点，四边形为平行四边形，且，
且，四边形为平行四边形，，
又∵平面，平面，平面.
（2）解：取中点，连接，
三棱柱为正三棱柱，为正三角形，
∵平面，AG平面ABC ∴，
又，平面，平面，
，
∵，
.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）取中点，可证得四边形为平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理可证得面 ；
（2）取中点，根据线面垂直的判定定理可证得平面，即AG为三棱锥A-C1CD的高，利用计算即可求得三棱锥的体积 .
（1）取中点，连接，
分别为中点，且，
为中点，四边形为平行四边形，且，
且，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面.
（2）取中点，连接，
三棱柱为正三棱柱，为正三角形，平面，
，，又，平面，
平面，
，，
.
19．【答案】解：（1）在中，由余弦定理得，
即，∴．
∵∴
由正弦定理，可得，解得：，
∵是以为直角顶点的等腰直角三角形 ∴且
∴
在中，由余弦定理可得，
所以
（2）由（1）得：，
，此时，，且
当时，四边形的面积最大，即，此时，
∴，即
答：当时，小路的长度为百米；草坪的面积最大时，小路的长度为百米．
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）在△ABD中，先由余弦定理可求BD的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinθ，根据正弦定理可求sin∠ADB，进而可求cos∠ADC的值，而在△ACD中，利用余弦定理即可求AC的值；
（2）结合三角形面积公式，三角函数恒等变换可知SABCD＝7sin（θ﹣φ），根据正弦函数的性质可知当θ﹣φ时，四边形ABCD的面积最大，即θ＝φ，此时，，代入BD2＝14﹣6cosθ，即可求BD的值．
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