四川省成都市简阳实验学校（成都石室阳安学校）2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·简阳期中）（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·简阳期中）已知某扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
3．（2024高一下·简阳期中）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ）
A．、、三点共线 B．、、三点共线
C．、、三点共线 D．、、三点共线
4．（2024高一下·简阳期中）若向量，则（ ）
A． B．2 C．1 D．0
5．（2024高一下·简阳期中）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高一下·简阳期中）式子的值为（ ）
A． B． C． D．2
7．（2024高一下·简阳期中）在中，若，且，那么一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
8．（2024高一下·简阳期中）一半径为2m的水轮，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．如图所示，建立直角坐标系，将点P距离水面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数，记，则（ ）
A．0 B．1 C．3 D．4
9．（2024高一下·简阳期中）下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高一下·简阳期中）已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称
D．在区间上有两个零点
11．（2024高一下·简阳期中）下列说法中正确的有（ ）
A．
B．已知在上的投影向量为且，则
C．若非零向量满足，则与的夹角是
D．已知，，且与夹角为锐角，则的取值范围是
12．（2024高一下·简阳期中） 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．在锐角中，不等式恒成立
C．若，，且有两解，则b的取值范围是
D．若，的平分线交于点D，，则的最小值为9
13．（2024高一下·简阳期中）已知， 且，则 .
14．（2024高一下·简阳期中）若角的终边经过点，则 .
15．（2024高一下·简阳期中）正方形的面积为16，，点在线段上．若，则 ．
16．（2024高一下·简阳期中）岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度，他首先在处，测得楼顶的仰角为，然后沿方向行走22.5米至处，又测得楼顶的仰角为，则楼高为 米．
17．（2024高一下·简阳期中）已知平面向量，.
（1）求的值；
（2）求与夹角的余弦值.
18．（2024高一下·简阳期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，.
（1）若，，求；
（2）若的面积为，，求.
19．（2024高一下·简阳期中）如图，在中，，E是AD的中点，设，.
（1）试用，表示，；
（2）若，与的夹角为，求.
20．（2024高一下·简阳期中）已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）当时，求函数的值域．
21．（2024高一下·简阳期中）在中，角所对的边分别为，.
（1）求角的值；
（2）若，边上的中点为，求的长度.
22．（2024高一下·简阳期中）已知.
（1）若，求函数的零点；
（2）设的内角所对的边分别为，若且.求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：.
故选：A.
【分析】根据两角和的正弦公式即可求出结果.
2．【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设扇形的弧长为，半径为，根据已知的扇形的圆心角，面积，
由扇形的面积公式，得，解得，
由弧长公式，
故答案为：B
【分析】 根据扇形的圆心角和面积求出半径，再求扇形的弧长公式求出该扇形的弧长 .
3．【答案】C
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：A、因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故选项A错误；
B、因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故选项B错误；
C、因为，，则，故、、三点共线，故选项C正确；
D、因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故选项D错误.
故选：C.
【分析】根据，则向量共线，逐一判断分析即可.
4．【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：依题意得，
则.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和向量平行的坐标表示，从而得出m的值.
5．【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由图象可得，解得，
因为，所以，
又因为，所以，所以，
又因为函数过点，所以，
所以，所以，，解得，，
又因为，所以，所以.
故选：A.
【分析】根据函数图象可得，即可求出、，再结合图象求出周期T，进而求出，最后根据函数过点求出，即可求得函数的解析式.
6．【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，
所以，所以，
而，
所以，
故选：B.
【分析】由正余弦的倍角公式以及诱导公式化简即可求得式子的值 .
7．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：因为，
则，
因为，
则，所以，则，
又因为，，
则，
则，
即，即，
又因为，则，
所以，即.
则一定是等边三角形.
故答案为：D.
【分析】由两角和的正弦公式结合正弦定理可得的值，从而得出角的值，再由化简可得，从而得到，再结合三角形内角和定理得出角C的值，进而得出，从而判断出的形状.
8．【答案】C
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由题意设，则，，则，
当时，，取，
故，，，
故选：C
【分析】设，由三角函数的性质及图中的几何信息求解的具体表示，再代入题中所求特殊值计算即可．
9．【答案】A,B,C
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：A、，故选项A正确；
B、，故选项B正确；
C、，故选项C正确；
D、，故选项D错误.
故选：ABC.
【分析】根据诱导公式逐一分析判断即可求得答案.
10．【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数零点存在定理；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：对于A：因为，故A正确；
对于B：因为，故B正确；
对于C：因为，故C错误；
对于D：当时，，
则函数在上有两个零点，
所以在区间上有两个零点，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用余弦型函数的最小正周期公式判断出选项A；利用已知条件和换元法，则根据余弦函数的图象的对称性得出余弦型函数f(x)的对称轴和对称中心，则判断出选项B和选项C；将看成一个整体，通过函数的图象和函数的零点与函数与x轴的交点的横坐标的等价关系，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,B,C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、因为，
所以，故选项A正确；
B、由题可知，，又因为，所以，则，故选项B正确；
C、因为非零向量满足，所以，
所以，所以，
因为，所以与的夹角的余弦值为，
又因为，所以与的夹角为，故选项C正确；
D、因为，，所以，
因为与夹角为锐角，所以或与不平行，
当与平行时，，解得，
当的取值范围是 时，与的夹角不为锐角，故选项D错误.
故选：ABC.
【分析】利用向量数量积的定义可知，进而即可判断选项A；利用向量投影向量的定义在上的投影向量为，进而即可判断选项B；运用向量数量积的运算法则，结合夹角公式可判断选项C；根据与夹角为锐角，可知或与不平行，判断与平行时的取值即可判断选项D.
12．【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式；正弦函数的性质；余弦定理
【解析】【解答】解：A、若，则由余弦定理得，得
整理可得，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
B、若为锐角三角形，则，所以，
因为在上单调递增，所以，故B正确.
C、如图所示：
若有两解，则，
所以，则b的取值范围是，故C正确．
D、如图所示：
设的平分线交于点D，，
，即，得，得，
所以，（当且仅当，即时，取等号），故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】用余弦定理角化边化简判断A；由为锐角三角形，与正弦函数的单调性可判断B；结合图形，根据边角的关系与解的数量判断C；根据三角形面积可得到，利用1的妙用，即可得解.
13．【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：易知，
因为，所以，解得.
故答案为：.
【分析】由题意，易知，再根据向量垂直的坐标表示列式求解即可.
14．【答案】
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为角的终边经过点，所以，
所以.
故答案为：.
【分析】利用三角函数定义先求，利用齐次式可得，代入的值即可求得的值.
15．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，
由可知M为AB中点，又因为正方形的面积为16，
所以A(0，0)，，
设，所以，.
所以，即，解得，
所以.
故答案为：.
【分析】如图所示，建立直角坐标系，易得A(0，0)，，又设，后结合和平面向量的数量积坐标运算可求得t的值，进而根据向量的模长公式即可求得.
16．【答案】
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得，中，，所以，所以，
中，，所以，所以，
所以，解得
故答案为：.
【分析】在中，用表示，在中，用表示，根据即可求出的值.
17．【答案】（1）解：因为，
故.
（2）解：设与夹角为，
，
故与夹角的余弦值为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【分析】（1）利用已知条件和向量坐标运算以及向量的模的坐标表示，从而得出的值.
（2）利用数量积求向量夹角公式，从而得出与夹角的余弦值.
（1），
故；
（2）设与夹角为，
，
故与夹角的余弦值为
18．【答案】（1）解：在 中，因为，，且，所以，
由正弦定理，可得，
解得.
（2）解：由题意可得，，即，解得，
又因为，所以.
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由已知条件可得，根据正弦定理即可求出c的值；
（2）根据面积公式可得，进而即可求出b的值.
（1）因为，，，
所以，
由正弦定理得，
所以；
（2）因为，，所以，
因为，所以.
19．【答案】（1）解：因为，所以，
，
因为E是AD的中点，
所以
.
（2）解：因为，与的夹角为，
所以，
由（1）知，，，
所以
.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）利用向量加法、减法的三角形法则和数乘向量运算，从而用，表示，.
（2）根据（1）的结论结合数量积运算法则和数量积的定义，从而得出的值.
（1）因为，所以，
所以.
因为E是AD的中点，
所以
.
（2）因为，与的夹角为，
所以，
由（1）知，，，
所以
.
20．【答案】（1）解：因为，
所以最小正周期为
令，解得，
所以函数 的单调递减区间是.
（2）解：当时，，
又因为在单调递增，在单调递减；
所以当，即时，取得最小值1，
当，即时，取得最大值2，
所以当时，的值域为．
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将化简为三角函数的一般式，结合正弦型函数最小正周期以及单调区间的求解方法，即可求得函数的最小正周期和单调递减区间 ；
（2）根据的取值范围，进而求得的范围，结合正弦函数的单调性，即可求得函数的值域 .
（1），
所以最小正周期为；
由，解得单调递减区间是；
（2）当时，，又在单调递增，在单调递减；
则，即时，取得最小值1，
，即时，取得最大值2，
故当时，的值域为．
21．【答案】（1）解：，，
，
，
，，
又.
（2）解：是边上的中线，
，
，
.
【知识点】向量在几何中的应用；两角和与差的正弦公式
【解析】【分析】（1）先将原式中的正切化为正弦与余弦的商，进而进行通分化简可得，利用两角和的正弦公式以及诱导公式化简可求得cosB，即可求得角B的值；
（2）由平面向量的线性运算可得，进而利用平面向量数量积可求出 的长度 .
（1），，
，，
，，
.
（2）是边上的中线，
，
，
.
22．【答案】（1）解：因为，
所以，
令，即，
所以或，
解得或，
当时，或，
又因为，
所以函数在上的零点为，.
（2）解：由，得，
又因为，所以，
所以，所以，
又因为，由正弦定理得：，
所以，
所以
，
又因为，
所以，
所以，
则的取值范围为．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由数量积的坐标运算和三角恒等变换，从而化简函数的解析式，令得到，结合换元法和正弦函数的图象以及x的取值范围，再根据函数的零点与函数与x轴交点的横坐标的等价关系，从而得出函数的零点.
（2）先求出角的值，再由正弦定理和两角查的正弦公式以及辅助角公式，从而可得，再结合角A的取值范围和不等式的基本性质，利用余弦型函数的图象求值域的方法，从而得出的取值范围．
（1）因为，
所以，
令，即，所以或，
解得或，
当时或，
又，所以函数在上的零点为，.
（2）由，得，又，所以，所以.
所以，又，
由正弦定理，
所以，
所以
，
又，所以，
所以，即的取值范围为．
1 / 1四川省成都市简阳实验学校（成都石室阳安学校）2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·简阳期中）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：.
故选：A.
【分析】根据两角和的正弦公式即可求出结果.
2．（2024高一下·简阳期中）已知某扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设扇形的弧长为，半径为，根据已知的扇形的圆心角，面积，
由扇形的面积公式，得，解得，
由弧长公式，
故答案为：B
【分析】 根据扇形的圆心角和面积求出半径，再求扇形的弧长公式求出该扇形的弧长 .
3．（2024高一下·简阳期中）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ）
A．、、三点共线 B．、、三点共线
C．、、三点共线 D．、、三点共线
【答案】C
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：A、因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故选项A错误；
B、因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故选项B错误；
C、因为，，则，故、、三点共线，故选项C正确；
D、因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故选项D错误.
故选：C.
【分析】根据，则向量共线，逐一判断分析即可.
4．（2024高一下·简阳期中）若向量，则（ ）
A． B．2 C．1 D．0
【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：依题意得，
则.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和向量平行的坐标表示，从而得出m的值.
5．（2024高一下·简阳期中）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由图象可得，解得，
因为，所以，
又因为，所以，所以，
又因为函数过点，所以，
所以，所以，，解得，，
又因为，所以，所以.
故选：A.
【分析】根据函数图象可得，即可求出、，再结合图象求出周期T，进而求出，最后根据函数过点求出，即可求得函数的解析式.
6．（2024高一下·简阳期中）式子的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，
所以，所以，
而，
所以，
故选：B.
【分析】由正余弦的倍角公式以及诱导公式化简即可求得式子的值 .
7．（2024高一下·简阳期中）在中，若，且，那么一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：因为，
则，
因为，
则，所以，则，
又因为，，
则，
则，
即，即，
又因为，则，
所以，即.
则一定是等边三角形.
故答案为：D.
【分析】由两角和的正弦公式结合正弦定理可得的值，从而得出角的值，再由化简可得，从而得到，再结合三角形内角和定理得出角C的值，进而得出，从而判断出的形状.
8．（2024高一下·简阳期中）一半径为2m的水轮，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．如图所示，建立直角坐标系，将点P距离水面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数，记，则（ ）
A．0 B．1 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由题意设，则，，则，
当时，，取，
故，，，
故选：C
【分析】设，由三角函数的性质及图中的几何信息求解的具体表示，再代入题中所求特殊值计算即可．
9．（2024高一下·简阳期中）下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：A、，故选项A正确；
B、，故选项B正确；
C、，故选项C正确；
D、，故选项D错误.
故选：ABC.
【分析】根据诱导公式逐一分析判断即可求得答案.
10．（2024高一下·简阳期中）已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称
D．在区间上有两个零点
【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数零点存在定理；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：对于A：因为，故A正确；
对于B：因为，故B正确；
对于C：因为，故C错误；
对于D：当时，，
则函数在上有两个零点，
所以在区间上有两个零点，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用余弦型函数的最小正周期公式判断出选项A；利用已知条件和换元法，则根据余弦函数的图象的对称性得出余弦型函数f(x)的对称轴和对称中心，则判断出选项B和选项C；将看成一个整体，通过函数的图象和函数的零点与函数与x轴的交点的横坐标的等价关系，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．（2024高一下·简阳期中）下列说法中正确的有（ ）
A．
B．已知在上的投影向量为且，则
C．若非零向量满足，则与的夹角是
D．已知，，且与夹角为锐角，则的取值范围是
【答案】A,B,C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、因为，
所以，故选项A正确；
B、由题可知，，又因为，所以，则，故选项B正确；
C、因为非零向量满足，所以，
所以，所以，
因为，所以与的夹角的余弦值为，
又因为，所以与的夹角为，故选项C正确；
D、因为，，所以，
因为与夹角为锐角，所以或与不平行，
当与平行时，，解得，
当的取值范围是 时，与的夹角不为锐角，故选项D错误.
故选：ABC.
【分析】利用向量数量积的定义可知，进而即可判断选项A；利用向量投影向量的定义在上的投影向量为，进而即可判断选项B；运用向量数量积的运算法则，结合夹角公式可判断选项C；根据与夹角为锐角，可知或与不平行，判断与平行时的取值即可判断选项D.
12．（2024高一下·简阳期中） 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．在锐角中，不等式恒成立
C．若，，且有两解，则b的取值范围是
D．若，的平分线交于点D，，则的最小值为9
【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式；正弦函数的性质；余弦定理
【解析】【解答】解：A、若，则由余弦定理得，得
整理可得，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
B、若为锐角三角形，则，所以，
因为在上单调递增，所以，故B正确.
C、如图所示：
若有两解，则，
所以，则b的取值范围是，故C正确．
D、如图所示：
设的平分线交于点D，，
，即，得，得，
所以，（当且仅当，即时，取等号），故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】用余弦定理角化边化简判断A；由为锐角三角形，与正弦函数的单调性可判断B；结合图形，根据边角的关系与解的数量判断C；根据三角形面积可得到，利用1的妙用，即可得解.
13．（2024高一下·简阳期中）已知， 且，则 .
【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：易知，
因为，所以，解得.
故答案为：.
【分析】由题意，易知，再根据向量垂直的坐标表示列式求解即可.
14．（2024高一下·简阳期中）若角的终边经过点，则 .
【答案】
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为角的终边经过点，所以，
所以.
故答案为：.
【分析】利用三角函数定义先求，利用齐次式可得，代入的值即可求得的值.
15．（2024高一下·简阳期中）正方形的面积为16，，点在线段上．若，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，
由可知M为AB中点，又因为正方形的面积为16，
所以A(0，0)，，
设，所以，.
所以，即，解得，
所以.
故答案为：.
【分析】如图所示，建立直角坐标系，易得A(0，0)，，又设，后结合和平面向量的数量积坐标运算可求得t的值，进而根据向量的模长公式即可求得.
16．（2024高一下·简阳期中）岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度，他首先在处，测得楼顶的仰角为，然后沿方向行走22.5米至处，又测得楼顶的仰角为，则楼高为 米．
【答案】
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得，中，，所以，所以，
中，，所以，所以，
所以，解得
故答案为：.
【分析】在中，用表示，在中，用表示，根据即可求出的值.
17．（2024高一下·简阳期中）已知平面向量，.
（1）求的值；
（2）求与夹角的余弦值.
【答案】（1）解：因为，
故.
（2）解：设与夹角为，
，
故与夹角的余弦值为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【分析】（1）利用已知条件和向量坐标运算以及向量的模的坐标表示，从而得出的值.
（2）利用数量积求向量夹角公式，从而得出与夹角的余弦值.
（1），
故；
（2）设与夹角为，
，
故与夹角的余弦值为
18．（2024高一下·简阳期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，.
（1）若，，求；
（2）若的面积为，，求.
【答案】（1）解：在 中，因为，，且，所以，
由正弦定理，可得，
解得.
（2）解：由题意可得，，即，解得，
又因为，所以.
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由已知条件可得，根据正弦定理即可求出c的值；
（2）根据面积公式可得，进而即可求出b的值.
（1）因为，，，
所以，
由正弦定理得，
所以；
（2）因为，，所以，
因为，所以.
19．（2024高一下·简阳期中）如图，在中，，E是AD的中点，设，.
（1）试用，表示，；
（2）若，与的夹角为，求.
【答案】（1）解：因为，所以，
，
因为E是AD的中点，
所以
.
（2）解：因为，与的夹角为，
所以，
由（1）知，，，
所以
.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）利用向量加法、减法的三角形法则和数乘向量运算，从而用，表示，.
（2）根据（1）的结论结合数量积运算法则和数量积的定义，从而得出的值.
（1）因为，所以，
所以.
因为E是AD的中点，
所以
.
（2）因为，与的夹角为，
所以，
由（1）知，，，
所以
.
20．（2024高一下·简阳期中）已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）当时，求函数的值域．
【答案】（1）解：因为，
所以最小正周期为
令，解得，
所以函数 的单调递减区间是.
（2）解：当时，，
又因为在单调递增，在单调递减；
所以当，即时，取得最小值1，
当，即时，取得最大值2，
所以当时，的值域为．
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将化简为三角函数的一般式，结合正弦型函数最小正周期以及单调区间的求解方法，即可求得函数的最小正周期和单调递减区间 ；
（2）根据的取值范围，进而求得的范围，结合正弦函数的单调性，即可求得函数的值域 .
（1），
所以最小正周期为；
由，解得单调递减区间是；
（2）当时，，又在单调递增，在单调递减；
则，即时，取得最小值1，
，即时，取得最大值2，
故当时，的值域为．
21．（2024高一下·简阳期中）在中，角所对的边分别为，.
（1）求角的值；
（2）若，边上的中点为，求的长度.
【答案】（1）解：，，
，
，
，，
又.
（2）解：是边上的中线，
，
，
.
【知识点】向量在几何中的应用；两角和与差的正弦公式
【解析】【分析】（1）先将原式中的正切化为正弦与余弦的商，进而进行通分化简可得，利用两角和的正弦公式以及诱导公式化简可求得cosB，即可求得角B的值；
（2）由平面向量的线性运算可得，进而利用平面向量数量积可求出 的长度 .
（1），，
，，
，，
.
（2）是边上的中线，
，
，
.
22．（2024高一下·简阳期中）已知.
（1）若，求函数的零点；
（2）设的内角所对的边分别为，若且.求的取值范围．
【答案】（1）解：因为，
所以，
令，即，
所以或，
解得或，
当时，或，
又因为，
所以函数在上的零点为，.
（2）解：由，得，
又因为，所以，
所以，所以，
又因为，由正弦定理得：，
所以，
所以
，
又因为，
所以，
所以，
则的取值范围为．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由数量积的坐标运算和三角恒等变换，从而化简函数的解析式，令得到，结合换元法和正弦函数的图象以及x的取值范围，再根据函数的零点与函数与x轴交点的横坐标的等价关系，从而得出函数的零点.
（2）先求出角的值，再由正弦定理和两角查的正弦公式以及辅助角公式，从而可得，再结合角A的取值范围和不等式的基本性质，利用余弦型函数的图象求值域的方法，从而得出的取值范围．
（1）因为，
所以，
令，即，所以或，
解得或，
当时或，
又，所以函数在上的零点为，.
（2）由，得，又，所以，所以.
所以，又，
由正弦定理，
所以，
所以
，
又，所以，
所以，即的取值范围为．
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