山东省青岛市四校联考2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·青岛期中）设全集，集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】并集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：由题意可得，全集，
所以，所以.
故选：B.
【分析】先求出全集U，进而利用补集、并集的定义即可求得.
2．（2024高一下·青岛期中）存在函数满足：对任意都有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，故选项A错误；
B、令，解得或，所以的值为0或者4，不唯一，故选项B错误；
C、令，解得或，所以的值为0或者2，不唯一，故选项C错误；
D、，令，则，所以，故选项D正确；
故选：D.
【分析】利用函数的定义一 一判断即可得到答案.
3．（2024高一下·青岛期中）已知是奇函数，则（ ）
A．2 B． C．1 D．-2
【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：因为函数是奇函数，
所以满足，即，
化简为，得，，
此时，函数的定义域为.
故答案为：A.
【分析】根据奇函数的定义，从而得出参数的值.
4．（2024高一下·青岛期中）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数函数单调性的应用；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由题意得，，，
又因为，，
所以，所以，所以，
故选：B.
【分析】利用指数幂的运算法则结合对数函数的单调性，利用中间值1进行比较求解即可得到，，的大小关系 .
5．（2024高一下·青岛期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】对于A： 若， 取，则，故A错误；
对于B： 若，则 ，故B正确；
对于CD： 若， 例如，则，
可得，，故CD错误；
故答案为：B.
【分析】对于ACD：举反例说明即可；对于B：根据不等式的性质分析判断.
6．（2024高一下·青岛期中）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由题意易知，函数的定义域为，
因为，
所以为奇函数，排除选项B，D.
又当时，则，可得，
所以，排除选项A.
故选：C.
【分析】根据函数奇偶性图象对称可以先排除选项B，D，进而结合x>0时的函数值的正负分析得到正确选项.
7．（2024高一下·青岛期中）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】由 得 或
所以 的定义域为
因为 在 上单调递增
所以 在 上单调递增
所以
故答案为：D
【分析】 首先求出f(x) 的定义域，然后求出的单调递增区间即可。
8．（2024高一下·青岛期中）定义 表示不超过的最大整数.例如：，则（ ）
A． B．
C． 是偶函数 D． 是增函数
【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、取，则，，显然，故选项A错误；
B、设表示不超过的最大整数，所以，所以，所以，所以，即，所以，所以，故选项B正确；
C、，因为，
所以，所以不是偶函数，故选项C错误；
D、因为，所以，所以不是增函数，故选项D错误.
故选：B.
【分析】直接取特殊值即可判断选项A；设表示不超过的最大整数，可得与的关系，可得，即可判断选项B选；直接取特殊值，利用偶函数定义验证即可判断选项C；取特殊值，判断出函数不是增函数即可判断选项D.
9．（2024高一下·青岛期中）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：由题意可知，在上单调递减，上单调递增，在上单调递减，所以，，
因为的大小无法确定，所以的大小无法确定，
而，，，
故选：B.
【分析】先利用奇偶函数的单调性的关系确定两函数的单调性，再结合，逐一分析判断即可.
10．（2024高一下·青岛期中）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式
【解析】【解答】对于A， ，
当且仅当 时，等号成立，A符合题意；
对于B， ，所以 ，B符合题意；
对于C， ，
当且仅当 时，等号成立，C不正确；
对于D，因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，D符合题意；
故答案为：ABD
【分析】根据 ，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
11．（2024高一下·青岛期中）已知函数的定义域为R，且为偶函数，则（ ）
A． B．为偶函数
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质；函数的周期性
【解析】【解答】对于A，因为，
令，则，故，则，A符合题意；
对于B，因为的定义域为，关于原点对称，
令，则，又不恒为0，故，
所以为奇函数，B不符合题意；
对于C，因为为偶函数，所以，
令，则，故，
令，则，故，
又为奇函数，故，
所以，即，C符合题意；
对于D，由C可知，
所以，故的一个周期为6，
因为，所以，
对于，
令，得，则，
令，得，则，
令，得，
令，得，
令，得，
所以，
又，
所以由的周期性可得：
，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用赋值法即可判断A；利用赋值法与函数奇偶性的定义即可判断B；利用换元法结合f (x)的奇偶性即可判断C；先推得f (x)的一个周期为6，再依次求得f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、 f(5)、f (6)，从而利用f (x)的周期性即可判断D.
12．（2024高一下·青岛期中）已知函数的定义域为，则的定义域为 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；抽象函数及其应用；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：函数的定义域为， 要使函数有意义，则，解得，
故函数的定义域为.
故答案为：.
【分析】根据抽象函数求定义域的方法结合函数有意义，列不等式组求解即可.
13．（2024高一下·青岛期中）已知函数，若，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意可知，，定义域为，
因为，所以为偶函数，
在上，令，且，
所以，
因为，所以，所以函数在上单调递增，
而在定义域上单调递增，所以在上单调递增，所以在上单调递减，
由，可得，所以，
即，解得.
故答案为：
【分析】利用对数式的运算性质将函数化简为，根据奇偶性及复合函数单调性判断单调性，再由性质可得，解不等式即可求得 实数的取值范围 .
14．（2024高一下·青岛期中）设，函数，若恰有两个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：（1）当时，，
即，
若时，，此时成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即且；
若方程有一根为，则，解得：且；
若时，，此时成立．
（2）当时，，
即，
若时，，显然不成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即；
若方程有一根为，则，解得：；
若时，，显然不成立；
综上所述，当时，零点为，；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，零点为．
所以，当函数有两个零点时，且．
故答案为：．
【分析】利用已知条件结合绝对值的定义，再利用分类讨论的方法和函数的零点与方程的根的等价关系，从而得出实数a的取值范围.
15．（2024高一下·青岛期中）求值：
（1）；
（2） ．
【答案】（1）解：
.
（2）解：原式
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【分析】直接利用指对幂的运算规则计算即可.
（1）
；
（2）原式；
综上，（1）原式=3；（2）原式=10.
16．（2024高一下·青岛期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．
【答案】解：设，上底，
分别过点作下底的垂线，垂足分别为，
则，，下底，
该等腰梯形的面积，
所以，
则，
所用篱笆长为
，
当且仅当，即，时取等号，
所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】以实际应用问题为情境建立函数关系，再利用等腰梯形的面积公式和已知条件，再结合基本不等式求最值的方法，从而得出所用篱笆长度的最小值，并求出此时对应的等腰梯形的腰长.
17．（2024高一下·青岛期中）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根.
（1）若，求出实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为，
所以，
又因为的两根分别为，
所以，
故.
（2）解：因为，所以，
又因为的两根分别为，
所以，解得，
故实数的取值范围是.
【知识点】集合相等；集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）先根据得到的值，再结合方程的两根得出的值.
（2）利用得出的取值范围，再结合方程的两根得出关于m的不等式组，则解不等式组得出m的取值范围.
（1）因为，故，
又的两根分别为，
故，
故；
（2）因为，故，
又的两根分别为，
故，解得，
故实数的取值范围是.
18．（2024高一下·青岛期中）已知函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）设，，若对任意的，存在，使得，求的取值范围.
【答案】（1）解：因为是偶函数，
所以，
即，
，
，
，
，
，
，
，
所以，即.
（2）解：，
因为对任意的 ，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以，
因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，解得，
所以的取值范围为.
【知识点】函数的最大（小）值；奇函数与偶函数的性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义结合对数运算性质化简即可求解的值；
（2）由题意可得，分别求出和的最小值，即可求解m的取值范围.
19．（2024高一下·青岛期中）离散对数在密码学中有重要的应用．设是素数，集合，若，记为除以的余数，为除以的余数；设，两两不同，若，则称是以为底的离散对数，记为．
（1）若，求；
（2）对，记为除以的余数（当能被整除时，）．证明：，其中；
（3）已知．对，令．证明：．
【答案】（1）解：若，又注意到，
所以.
（2）解：当时，此时，此时，，
故，
此时.
当时，因相异，故，
而，故互质.
设
记，
则，使得，
故，故，
设，则，
因为除以的余数两两相异，
且除以的余数两两相异，
故，故，
故，而其中，
故即.
（3）解：当时，由（2）可得，若，则也成立.
因为，所以.
另一方面，
.
由于，所以.
【知识点】带余除法；同余的性质；同余的概念及一次同余方程；信息的加密与去密
【解析】【分析】 (1) 根据题意直接代入求解即可；
(2) 分和两种情况，结合题意 以及带余除法和费马小定理分析证明；
(3) 分和两种情况，转化可得，根据题意分析证明即可.
1 / 1山东省青岛市四校联考2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·青岛期中）设全集，集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·青岛期中）存在函数满足：对任意都有（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·青岛期中）已知是奇函数，则（ ）
A．2 B． C．1 D．-2
4．（2024高一下·青岛期中）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·青岛期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．（2024高一下·青岛期中）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高一下·青岛期中）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·青岛期中）定义 表示不超过的最大整数.例如：，则（ ）
A． B．
C． 是偶函数 D． 是增函数
9．（2024高一下·青岛期中）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高一下·青岛期中）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高一下·青岛期中）已知函数的定义域为R，且为偶函数，则（ ）
A． B．为偶函数
C． D．
12．（2024高一下·青岛期中）已知函数的定义域为，则的定义域为 ．
13．（2024高一下·青岛期中）已知函数，若，则实数的取值范围为 ．
14．（2024高一下·青岛期中）设，函数，若恰有两个零点，则的取值范围为 ．
15．（2024高一下·青岛期中）求值：
（1）；
（2） ．
16．（2024高一下·青岛期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．
17．（2024高一下·青岛期中）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根.
（1）若，求出实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
18．（2024高一下·青岛期中）已知函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）设，，若对任意的，存在，使得，求的取值范围.
19．（2024高一下·青岛期中）离散对数在密码学中有重要的应用．设是素数，集合，若，记为除以的余数，为除以的余数；设，两两不同，若，则称是以为底的离散对数，记为．
（1）若，求；
（2）对，记为除以的余数（当能被整除时，）．证明：，其中；
（3）已知．对，令．证明：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】并集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：由题意可得，全集，
所以，所以.
故选：B.
【分析】先求出全集U，进而利用补集、并集的定义即可求得.
2．【答案】D
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，故选项A错误；
B、令，解得或，所以的值为0或者4，不唯一，故选项B错误；
C、令，解得或，所以的值为0或者2，不唯一，故选项C错误；
D、，令，则，所以，故选项D正确；
故选：D.
【分析】利用函数的定义一 一判断即可得到答案.
3．【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：因为函数是奇函数，
所以满足，即，
化简为，得，，
此时，函数的定义域为.
故答案为：A.
【分析】根据奇函数的定义，从而得出参数的值.
4．【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数函数单调性的应用；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由题意得，，，
又因为，，
所以，所以，所以，
故选：B.
【分析】利用指数幂的运算法则结合对数函数的单调性，利用中间值1进行比较求解即可得到，，的大小关系 .
5．【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】对于A： 若， 取，则，故A错误；
对于B： 若，则 ，故B正确；
对于CD： 若， 例如，则，
可得，，故CD错误；
故答案为：B.
【分析】对于ACD：举反例说明即可；对于B：根据不等式的性质分析判断.
6．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由题意易知，函数的定义域为，
因为，
所以为奇函数，排除选项B，D.
又当时，则，可得，
所以，排除选项A.
故选：C.
【分析】根据函数奇偶性图象对称可以先排除选项B，D，进而结合x>0时的函数值的正负分析得到正确选项.
7．【答案】D
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】由 得 或
所以 的定义域为
因为 在 上单调递增
所以 在 上单调递增
所以
故答案为：D
【分析】 首先求出f(x) 的定义域，然后求出的单调递增区间即可。
8．【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、取，则，，显然，故选项A错误；
B、设表示不超过的最大整数，所以，所以，所以，所以，即，所以，所以，故选项B正确；
C、，因为，
所以，所以不是偶函数，故选项C错误；
D、因为，所以，所以不是增函数，故选项D错误.
故选：B.
【分析】直接取特殊值即可判断选项A；设表示不超过的最大整数，可得与的关系，可得，即可判断选项B选；直接取特殊值，利用偶函数定义验证即可判断选项C；取特殊值，判断出函数不是增函数即可判断选项D.
9．【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：由题意可知，在上单调递减，上单调递增，在上单调递减，所以，，
因为的大小无法确定，所以的大小无法确定，
而，，，
故选：B.
【分析】先利用奇偶函数的单调性的关系确定两函数的单调性，再结合，逐一分析判断即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式
【解析】【解答】对于A， ，
当且仅当 时，等号成立，A符合题意；
对于B， ，所以 ，B符合题意；
对于C， ，
当且仅当 时，等号成立，C不正确；
对于D，因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，D符合题意；
故答案为：ABD
【分析】根据 ，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质；函数的周期性
【解析】【解答】对于A，因为，
令，则，故，则，A符合题意；
对于B，因为的定义域为，关于原点对称，
令，则，又不恒为0，故，
所以为奇函数，B不符合题意；
对于C，因为为偶函数，所以，
令，则，故，
令，则，故，
又为奇函数，故，
所以，即，C符合题意；
对于D，由C可知，
所以，故的一个周期为6，
因为，所以，
对于，
令，得，则，
令，得，则，
令，得，
令，得，
令，得，
所以，
又，
所以由的周期性可得：
，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用赋值法即可判断A；利用赋值法与函数奇偶性的定义即可判断B；利用换元法结合f (x)的奇偶性即可判断C；先推得f (x)的一个周期为6，再依次求得f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、 f(5)、f (6)，从而利用f (x)的周期性即可判断D.
12．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；抽象函数及其应用；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：函数的定义域为， 要使函数有意义，则，解得，
故函数的定义域为.
故答案为：.
【分析】根据抽象函数求定义域的方法结合函数有意义，列不等式组求解即可.
13．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意可知，，定义域为，
因为，所以为偶函数，
在上，令，且，
所以，
因为，所以，所以函数在上单调递增，
而在定义域上单调递增，所以在上单调递增，所以在上单调递减，
由，可得，所以，
即，解得.
故答案为：
【分析】利用对数式的运算性质将函数化简为，根据奇偶性及复合函数单调性判断单调性，再由性质可得，解不等式即可求得 实数的取值范围 .
14．【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：（1）当时，，
即，
若时，，此时成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即且；
若方程有一根为，则，解得：且；
若时，，此时成立．
（2）当时，，
即，
若时，，显然不成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即；
若方程有一根为，则，解得：；
若时，，显然不成立；
综上所述，当时，零点为，；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，零点为．
所以，当函数有两个零点时，且．
故答案为：．
【分析】利用已知条件结合绝对值的定义，再利用分类讨论的方法和函数的零点与方程的根的等价关系，从而得出实数a的取值范围.
15．【答案】（1）解：
.
（2）解：原式
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【分析】直接利用指对幂的运算规则计算即可.
（1）
；
（2）原式；
综上，（1）原式=3；（2）原式=10.
16．【答案】解：设，上底，
分别过点作下底的垂线，垂足分别为，
则，，下底，
该等腰梯形的面积，
所以，
则，
所用篱笆长为
，
当且仅当，即，时取等号，
所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】以实际应用问题为情境建立函数关系，再利用等腰梯形的面积公式和已知条件，再结合基本不等式求最值的方法，从而得出所用篱笆长度的最小值，并求出此时对应的等腰梯形的腰长.
17．【答案】（1）解：因为，
所以，
又因为的两根分别为，
所以，
故.
（2）解：因为，所以，
又因为的两根分别为，
所以，解得，
故实数的取值范围是.
【知识点】集合相等；集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）先根据得到的值，再结合方程的两根得出的值.
（2）利用得出的取值范围，再结合方程的两根得出关于m的不等式组，则解不等式组得出m的取值范围.
（1）因为，故，
又的两根分别为，
故，
故；
（2）因为，故，
又的两根分别为，
故，解得，
故实数的取值范围是.
18．【答案】（1）解：因为是偶函数，
所以，
即，
，
，
，
，
，
，
，
所以，即.
（2）解：，
因为对任意的 ，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以，
因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，解得，
所以的取值范围为.
【知识点】函数的最大（小）值；奇函数与偶函数的性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义结合对数运算性质化简即可求解的值；
（2）由题意可得，分别求出和的最小值，即可求解m的取值范围.
19．【答案】（1）解：若，又注意到，
所以.
（2）解：当时，此时，此时，，
故，
此时.
当时，因相异，故，
而，故互质.
设
记，
则，使得，
故，故，
设，则，
因为除以的余数两两相异，
且除以的余数两两相异，
故，故，
故，而其中，
故即.
（3）解：当时，由（2）可得，若，则也成立.
因为，所以.
另一方面，
.
由于，所以.
【知识点】带余除法；同余的性质；同余的概念及一次同余方程；信息的加密与去密
【解析】【分析】 (1) 根据题意直接代入求解即可；
(2) 分和两种情况，结合题意 以及带余除法和费马小定理分析证明；
(3) 分和两种情况，转化可得，根据题意分析证明即可.
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