广东省江门市鹤山市鹤华中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·鹤山期中）已知，其中为虚数单位，则（ ）
A．5 B． C．2 D．
2．（2024高一下·鹤山期中）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·鹤山期中）在中，，，，则等于（ ）
A．45°或135° B．135° C．45° D．30°
4．（2024高一下·鹤山期中）把一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·鹤山期中）在中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高一下·鹤山期中）已知、为锐角，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·鹤山期中）把函数的图像向右平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·鹤山期中）如图，所有棱长都等于的三棱柱的所有顶点都在球上，球的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·鹤山期中）已知复数则（ ）
A．复数在复平面内对应的点在第三象限
B．复数的实部为
C．
D．复数的虚部为
10．（2024高一下·鹤山期中）已知下列四个命题为真命题的是（ ）
A．已知非零向量，，，若，，则
B．若四边形中有，则四边形为平行四边形
C．已知，，，可以作为平面向量的一组基底
D．已知向量，，则在方向上的投影向量的模为
11．（2024高一下·鹤山期中）在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为一定是等腰三角形
C．
D．若为锐角三角形，则
12．（2024高一下·鹤山期中）如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A'B'C'D'，则原四边形ABCD的面积是 ．
13．（2024高一下·鹤山期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝，则的值是 ．
14．（2024高一下·鹤山期中）函数在上恰有个零点，则的取值范围是 ．
15．（2024高一下·鹤山期中）已知向量，若，
（1）求与的夹角θ；
（2）求；
（3）当λ为何值时，向量与向量互相垂直？
16．（2024高一下·鹤山期中）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，△ABC的面积，求△ABC的周长．
17．（2024高一下·鹤山期中）如图，在四边形中，为等边三角形，是边上靠近的三等分点.设.
（1）用表示；
（2）求的余弦值.
18．（2024高一下·鹤山期中）已知函数（，，）的部分图象如图所示．
（1）求的解析式：
（2）求的单调递增区间；
（3）若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，当时，求的值域．
19．（2024高一下·鹤山期中）已知函数．
（1）求函数的最小正周期及对称轴；
（2）在锐角中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若且，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】由复数满足，则，
则，
故答案为：B．
【分析】由复数的除法运算，化简求复数的代数形式，再利用复数模的计算公式，即可求解．
2．【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：，
所以，.
故答案为：A.
【分析】先根据向量平行的坐标表示求出的值，再根据向量加法的坐标运算，从而得出向量的坐标.
3．【答案】C
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：∵，，，
由正弦定理可得，，
∴，
∵，∴，
∴.
故答案为：C．
【分析】由正弦定理可得，从而可得的值，再结合三角形大边对大角的性质，从而由可得，进而可得角B的值．
4．【答案】C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为实心圆柱的底面半径为，侧面积为，
所以圆柱的高为，则圆柱的体积为，
设球的半径为，则.
故答案为：C.
【分析】先利用圆柱的侧面积公式求出圆柱的高，再由圆柱和球的体积关系得出这个铁球的半径.
5．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由D为BC的中点，E为边上的点，且，
得.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和中点的性质以及平面向量的基本定理，从而得出正确的答案.
6．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为、为锐角，所以，
因为，所以，
因为，所以，
故
.
故答案为：A.
【分析】利用、为锐角和不等式的基本性质，再结合同角三角函数基本关系式和凑角法，再利用正弦的差角公式得出的值.
7．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数，
∵所得函数图象关于轴对称，则=，
∴，
∵，∴当时，的最小值为
故答案为：C.
【分析】先利用正弦型函数的平移变换得出，再由三角型函数的对称性和的取值范围，从而辅值得出的最小值.
8．【答案】D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图，三棱柱外接球的球心在上下底面三角形中心连线的中点处，
（分别是等边三角形和的中心，点是线段的中点，即外接球的球心）
则，，
所以球的体积.
故答案为：D.
【分析】先判断几何体外接球的球心位置，再根据几何关系求出外接球的半径，再结合球的体积公式得出球的体积.
9．【答案】B,C
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意得，
故复数在复平面内对应的点为，在第四象限，A选项错误；
易知复数的实部为，B选项正确；
因为，所以，C选项正确；
因为，
所以复数的虚部为，D选项错误．
故答案为：BC．
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数z，再利用复数的几何意义和点的坐标确定点所在的象限判断方法、复数的实部的定义、复数与共轭复数的关系、复数的乘法运算法则、复数虚部的定义，进而找出正确的选项。
10．【答案】A,B,D
【知识点】命题的真假判断与应用；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：对于选项A，对于非零向量，，，由，且为非零向量，
可知，故选项A正确；
对于选项B，在四边形中，有，
由平行四边形判定定理可得，四边形为平行四边形，故选项B正确；
对于选项C，因为，，
则，即，则，不能作为平面向量的一组基底，故选项C错误；
对于选项D，因为，，则，，
则向量在向量上的投影向量为，
所以在方向上的投影向量的模为，故选项D正确.
故答案为：ABD．
【分析】由向量共线定理、平行四边形判断方法、基底的判断方法和数量积求投影向量的方法以及向量求模公式，从而逐项判断找出真命题的选项．
11．【答案】A,C,D
【知识点】正弦函数的性质；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：对于A，由可知，
在中，根据正弦定理可得，所以，故A正确；
对于B，由和正弦定理可知，即，
又因为，所以或，即或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，由正弦定理知，故C正确；
对于D，若为锐角三角形，则，所以，
又因为在单调递增，所以，即，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用大角对大边的性质和正弦定理，则判断选项A；由正弦定理和三角恒等变换以及等腰三角形的判断方法，则判断出选项B；由正弦定理和比例的性质，则判断出选项C；根据锐角三角形中角的取值范围和不等式的基本性质以及正弦函数的单调性和诱导公式，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】28
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：因为A'D'∥y'轴，A'B'∥C'D'，A'B'≠C'D'，
所以原图形是一个直角梯形，
如图所示，又因为A'D'＝4，
所以原直角梯形的上、下底及高分别是2，5，8，
故其面积为S＝×(2＋5)×8＝28.
故答案为：28.
【分析】利用斜二测画法还原原图可知原图为直角梯形，再利用梯形面积公式得出原四边形ABCD的面积.
13．【答案】
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
，.
故答案为：.
【分析】根据矩形的垂直关系和长度关系，再利用平面向量加法的运算律求出和的值，再利用数量积的运算律和数量积的定义，从而得出的值.
14．【答案】
【知识点】函数零点存在定理；辅助角公式
【解析】【解答】解：，
当时，，
在上恰有个零点，，
解得：，即的取值范围为.
故答案为：.
【分析】先化简得到，再结合x的取值范围和不等式的基本性质，从而求出的取值范围，再根据零点个数和零点存在性定理，可构造不等式组求出的取值范围.
15．【答案】（1）解：因为，，
所以，
又因为，所以.
（2）解：.
（3）解：当向量与向量互相垂直时，
则，
即，
则，解得.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）根据向量求模公式和数量积求向量夹角的余弦值公式以及向量的夹角的取值范围，从而得出与的夹角θ的值.
（2）根据结合数量积的运算律，再结合已知条件得出的值.
（3）由题意得出，再结合数量积的运算律和两向量垂直数量积为0的等价关系，从而得出向量与向量互相垂直时对应的实数λ的值.
（1）解：因为，，
所以，
又因，所以；
（2）解：；
（3）解：当向量与向量互相垂直时，
，
即，
即，解得.
16．【答案】（1）解：因为，所以由正弦定理可得到，
又因为，所以，
故，得到，又因为，所以．
（2）解：因为，△ABC的面积，
所以，得到，
在△ABC中，由余弦定理得，
所以，故△ABC的周长为．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)利用正弦定理化边为角可得 ，再结合角A的范围可求出角A的大小；
(2)根据三角形的面积公式求出c，再利用余弦定理求出a，进而求出 △ABC的周长．
17．【答案】（1）解：由图可知，
因为是边上靠近的三等分点，
所以
.
（2）解：因为为等边三角形，
所以，
所以，
所以，
又因为，
则.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）根据向量三角形法则和向量的线性运算，再结合平面向量基本定理，从而用表示出.
（2）根据数量积定义求出的值，再结合（1）中的结论求出的值，再结合数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则和数量积的定义，从而得出的值，再利用数量积求向量的夹角公式，从而得出的余弦值.
（1）由图可知，
因为是边上靠近的三等分点，
所以
；
（2）因为为等边三角形，
所以，
所以，
所以，
而，
则.
18．【答案】（1）解：由图象可知：，解得：，，
因为，
可得：，所以，
由图象知，，
又因为，
所以，，
所以．
（2）解：由，，
得，，
函数的单调递增区间是，．
（3）解：依题意可得，
因为，则，
所以，
则函数的值域为．
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用正弦型函数图象列出，从而解得，的值，结合正弦型最小正函数的周期公式得出的值，再利用函数的最大值求出的值，从而得到函数的解析式.
（2）利用换元法和正弦函数的单调性，从而求出正弦型函数f(x)的单调递增区间.
（3）利用已知条件结合正弦型函数的图象变换得出，利用的取值范围和不等式的基本性质，从而求出相位的取值范围，再结合正弦型函数的值域得出函数的值域．
（1）由图象可知：，解得：，，
又由于，可得：，所以，
由图象知，，又因为，
所以，．所以．
（2）由，，得，．
函数的单调递增区间是，．
（3）依题可得，因为，
则，所以，
即的值域为．
19．【答案】（1）解：因为，
函数的最小正周期为，
由，，得，，
函数的对称轴为直线，．
（2）解：由和，则，
由正弦定理可知，
，，
因为，为锐角三角形可得，
，，，
．
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和两角和与差的三角函数，从而化简函数解析式，再结合正弦型函数的最小正周期公式求出函数的最小正周期，再利用换元法和正弦函数的对称性，从而得出正弦型函数的对称轴.
（2）利用函数的解析式和代入法以及锐角三角形中角A的取值范围，从而求出的值，再结合正弦定理和两角和的正弦公式、辅助角公式，将转化为正弦型函数，再结合锐角三角形中角B的取值范围和不等式的基本性质，则根据正弦型函数的图象求值域的方法，从而得出的取值范围．
（1），
函数的最小正周期为．
由，，得，．
函数的对称轴为直线，．
（2）由及，故，
由正弦定理可知，，，
由，为锐角三角形可得．
．
，，，
．
1 / 1广东省江门市鹤山市鹤华中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·鹤山期中）已知，其中为虚数单位，则（ ）
A．5 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】由复数满足，则，
则，
故答案为：B．
【分析】由复数的除法运算，化简求复数的代数形式，再利用复数模的计算公式，即可求解．
2．（2024高一下·鹤山期中）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：，
所以，.
故答案为：A.
【分析】先根据向量平行的坐标表示求出的值，再根据向量加法的坐标运算，从而得出向量的坐标.
3．（2024高一下·鹤山期中）在中，，，，则等于（ ）
A．45°或135° B．135° C．45° D．30°
【答案】C
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：∵，，，
由正弦定理可得，，
∴，
∵，∴，
∴.
故答案为：C．
【分析】由正弦定理可得，从而可得的值，再结合三角形大边对大角的性质，从而由可得，进而可得角B的值．
4．（2024高一下·鹤山期中）把一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为实心圆柱的底面半径为，侧面积为，
所以圆柱的高为，则圆柱的体积为，
设球的半径为，则.
故答案为：C.
【分析】先利用圆柱的侧面积公式求出圆柱的高，再由圆柱和球的体积关系得出这个铁球的半径.
5．（2024高一下·鹤山期中）在中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由D为BC的中点，E为边上的点，且，
得.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和中点的性质以及平面向量的基本定理，从而得出正确的答案.
6．（2024高一下·鹤山期中）已知、为锐角，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为、为锐角，所以，
因为，所以，
因为，所以，
故
.
故答案为：A.
【分析】利用、为锐角和不等式的基本性质，再结合同角三角函数基本关系式和凑角法，再利用正弦的差角公式得出的值.
7．（2024高一下·鹤山期中）把函数的图像向右平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数，
∵所得函数图象关于轴对称，则=，
∴，
∵，∴当时，的最小值为
故答案为：C.
【分析】先利用正弦型函数的平移变换得出，再由三角型函数的对称性和的取值范围，从而辅值得出的最小值.
8．（2024高一下·鹤山期中）如图，所有棱长都等于的三棱柱的所有顶点都在球上，球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图，三棱柱外接球的球心在上下底面三角形中心连线的中点处，
（分别是等边三角形和的中心，点是线段的中点，即外接球的球心）
则，，
所以球的体积.
故答案为：D.
【分析】先判断几何体外接球的球心位置，再根据几何关系求出外接球的半径，再结合球的体积公式得出球的体积.
9．（2024高一下·鹤山期中）已知复数则（ ）
A．复数在复平面内对应的点在第三象限
B．复数的实部为
C．
D．复数的虚部为
【答案】B,C
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意得，
故复数在复平面内对应的点为，在第四象限，A选项错误；
易知复数的实部为，B选项正确；
因为，所以，C选项正确；
因为，
所以复数的虚部为，D选项错误．
故答案为：BC．
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数z，再利用复数的几何意义和点的坐标确定点所在的象限判断方法、复数的实部的定义、复数与共轭复数的关系、复数的乘法运算法则、复数虚部的定义，进而找出正确的选项。
10．（2024高一下·鹤山期中）已知下列四个命题为真命题的是（ ）
A．已知非零向量，，，若，，则
B．若四边形中有，则四边形为平行四边形
C．已知，，，可以作为平面向量的一组基底
D．已知向量，，则在方向上的投影向量的模为
【答案】A,B,D
【知识点】命题的真假判断与应用；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：对于选项A，对于非零向量，，，由，且为非零向量，
可知，故选项A正确；
对于选项B，在四边形中，有，
由平行四边形判定定理可得，四边形为平行四边形，故选项B正确；
对于选项C，因为，，
则，即，则，不能作为平面向量的一组基底，故选项C错误；
对于选项D，因为，，则，，
则向量在向量上的投影向量为，
所以在方向上的投影向量的模为，故选项D正确.
故答案为：ABD．
【分析】由向量共线定理、平行四边形判断方法、基底的判断方法和数量积求投影向量的方法以及向量求模公式，从而逐项判断找出真命题的选项．
11．（2024高一下·鹤山期中）在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为一定是等腰三角形
C．
D．若为锐角三角形，则
【答案】A,C,D
【知识点】正弦函数的性质；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：对于A，由可知，
在中，根据正弦定理可得，所以，故A正确；
对于B，由和正弦定理可知，即，
又因为，所以或，即或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，由正弦定理知，故C正确；
对于D，若为锐角三角形，则，所以，
又因为在单调递增，所以，即，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用大角对大边的性质和正弦定理，则判断选项A；由正弦定理和三角恒等变换以及等腰三角形的判断方法，则判断出选项B；由正弦定理和比例的性质，则判断出选项C；根据锐角三角形中角的取值范围和不等式的基本性质以及正弦函数的单调性和诱导公式，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．（2024高一下·鹤山期中）如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A'B'C'D'，则原四边形ABCD的面积是 ．
【答案】28
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：因为A'D'∥y'轴，A'B'∥C'D'，A'B'≠C'D'，
所以原图形是一个直角梯形，
如图所示，又因为A'D'＝4，
所以原直角梯形的上、下底及高分别是2，5，8，
故其面积为S＝×(2＋5)×8＝28.
故答案为：28.
【分析】利用斜二测画法还原原图可知原图为直角梯形，再利用梯形面积公式得出原四边形ABCD的面积.
13．（2024高一下·鹤山期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝，则的值是 ．
【答案】
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
，.
故答案为：.
【分析】根据矩形的垂直关系和长度关系，再利用平面向量加法的运算律求出和的值，再利用数量积的运算律和数量积的定义，从而得出的值.
14．（2024高一下·鹤山期中）函数在上恰有个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数零点存在定理；辅助角公式
【解析】【解答】解：，
当时，，
在上恰有个零点，，
解得：，即的取值范围为.
故答案为：.
【分析】先化简得到，再结合x的取值范围和不等式的基本性质，从而求出的取值范围，再根据零点个数和零点存在性定理，可构造不等式组求出的取值范围.
15．（2024高一下·鹤山期中）已知向量，若，
（1）求与的夹角θ；
（2）求；
（3）当λ为何值时，向量与向量互相垂直？
【答案】（1）解：因为，，
所以，
又因为，所以.
（2）解：.
（3）解：当向量与向量互相垂直时，
则，
即，
则，解得.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）根据向量求模公式和数量积求向量夹角的余弦值公式以及向量的夹角的取值范围，从而得出与的夹角θ的值.
（2）根据结合数量积的运算律，再结合已知条件得出的值.
（3）由题意得出，再结合数量积的运算律和两向量垂直数量积为0的等价关系，从而得出向量与向量互相垂直时对应的实数λ的值.
（1）解：因为，，
所以，
又因，所以；
（2）解：；
（3）解：当向量与向量互相垂直时，
，
即，
即，解得.
16．（2024高一下·鹤山期中）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，△ABC的面积，求△ABC的周长．
【答案】（1）解：因为，所以由正弦定理可得到，
又因为，所以，
故，得到，又因为，所以．
（2）解：因为，△ABC的面积，
所以，得到，
在△ABC中，由余弦定理得，
所以，故△ABC的周长为．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)利用正弦定理化边为角可得 ，再结合角A的范围可求出角A的大小；
(2)根据三角形的面积公式求出c，再利用余弦定理求出a，进而求出 △ABC的周长．
17．（2024高一下·鹤山期中）如图，在四边形中，为等边三角形，是边上靠近的三等分点.设.
（1）用表示；
（2）求的余弦值.
【答案】（1）解：由图可知，
因为是边上靠近的三等分点，
所以
.
（2）解：因为为等边三角形，
所以，
所以，
所以，
又因为，
则.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）根据向量三角形法则和向量的线性运算，再结合平面向量基本定理，从而用表示出.
（2）根据数量积定义求出的值，再结合（1）中的结论求出的值，再结合数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则和数量积的定义，从而得出的值，再利用数量积求向量的夹角公式，从而得出的余弦值.
（1）由图可知，
因为是边上靠近的三等分点，
所以
；
（2）因为为等边三角形，
所以，
所以，
所以，
而，
则.
18．（2024高一下·鹤山期中）已知函数（，，）的部分图象如图所示．
（1）求的解析式：
（2）求的单调递增区间；
（3）若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，当时，求的值域．
【答案】（1）解：由图象可知：，解得：，，
因为，
可得：，所以，
由图象知，，
又因为，
所以，，
所以．
（2）解：由，，
得，，
函数的单调递增区间是，．
（3）解：依题意可得，
因为，则，
所以，
则函数的值域为．
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用正弦型函数图象列出，从而解得，的值，结合正弦型最小正函数的周期公式得出的值，再利用函数的最大值求出的值，从而得到函数的解析式.
（2）利用换元法和正弦函数的单调性，从而求出正弦型函数f(x)的单调递增区间.
（3）利用已知条件结合正弦型函数的图象变换得出，利用的取值范围和不等式的基本性质，从而求出相位的取值范围，再结合正弦型函数的值域得出函数的值域．
（1）由图象可知：，解得：，，
又由于，可得：，所以，
由图象知，，又因为，
所以，．所以．
（2）由，，得，．
函数的单调递增区间是，．
（3）依题可得，因为，
则，所以，
即的值域为．
19．（2024高一下·鹤山期中）已知函数．
（1）求函数的最小正周期及对称轴；
（2）在锐角中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若且，求的取值范围．
【答案】（1）解：因为，
函数的最小正周期为，
由，，得，，
函数的对称轴为直线，．
（2）解：由和，则，
由正弦定理可知，
，，
因为，为锐角三角形可得，
，，，
．
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和两角和与差的三角函数，从而化简函数解析式，再结合正弦型函数的最小正周期公式求出函数的最小正周期，再利用换元法和正弦函数的对称性，从而得出正弦型函数的对称轴.
（2）利用函数的解析式和代入法以及锐角三角形中角A的取值范围，从而求出的值，再结合正弦定理和两角和的正弦公式、辅助角公式，将转化为正弦型函数，再结合锐角三角形中角B的取值范围和不等式的基本性质，则根据正弦型函数的图象求值域的方法，从而得出的取值范围．
（1），
函数的最小正周期为．
由，，得，．
函数的对称轴为直线，．
（2）由及，故，
由正弦定理可知，，，
由，为锐角三角形可得．
．
，，，
．
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