广东省广州市二中2023-2024学年高一下学期期中数学试题
1．（2024高一下·越秀期中）是的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当时，取，则，即充分性不成立；
当时，假设，得出，矛盾，
所以假设不成立，即必有，即必要性成立；
综上所述，是的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和举反例的方法、反证法以及充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确 的选项.
2．（2024高一下·越秀期中）已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由可得，故虚部为，
故选：A
【分析】本题考查复数的除法运算.先变形出复数，再根据复数的除法运算法则：分子和分母同时乘以，进行化简后，根据虚部的概念可找出复数的虚部..
3．（2024高一下·越秀期中）已知向量，向量满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：设，则，
由，得，
又因为，得，即，
联立，解得，.
故答案为：C.
【分析】设出，再根据题意结合向量的坐标运算和两向量垂直数量积为0的等价关系以及向量共线的坐标表示，从而得出向量的坐标.
4．（2024高一下·越秀期中）在中，若，且，那么一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：因为，
则，
因为，
则，所以，则，
又因为，，
则，
则，
即，即，
又因为，则，
所以，即.
则一定是等边三角形.
故答案为：D.
【分析】由两角和的正弦公式结合正弦定理可得的值，从而得出角的值，再由化简可得，从而得到，再结合三角形内角和定理得出角C的值，进而得出，从而判断出的形状.
5．（2024高一下·越秀期中）已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意可得有解，
即有解，
可得，解得，
由为非零实数，可得等号不成立，故，
所以，实数的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】由题意可得有解，从而得出，再结合为非零实数，从而得出实数的取值范围.
6．（2024高一下·越秀期中）函数（其中常数，）的最小正周期是，若其图像向右平移个单位后，所得图像关于原点中心对称，则原函数的图象（ ）
A．关于点中心对称 B．关于点中心对称
C．关于直线轴对称 D．关于直线轴对称
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：函数的最小正周期是，则，解得；
图像向右平移个单位后，得到函数，
所得图像关于原点中心对称可知，则，由，解得，
所以
当时，，故不关于点中心对称，不关于线轴对称，故A、C错误；
当时，，故不于中心对称，则关于直线轴对称，故B错误；D正确.
故答案为：D.
【分析】先根据周期求，再根据函数的性质求，可求函数的解析式，然后根据三角函数的对称中心和对称轴的性质判断各项即可.
7．（2024高一下·越秀期中）设是复数且，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：根据复数模的几何意义可知，
表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，
又因为表示复数到原点的距离，
由图可知，.
故答案为：C.
【分析】根据复数模的几何意义，从而结合图象和复数求模公式，进而得出的最小值.
8．（2024高一下·越秀期中）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：因为，所以，
当时，解得；当时，解得，
所以，即，故A、B错误；
当时，，故C错误.
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，故D正确.
故答案为：D.
【分析】由和对数函数的单调性，再对和分类讨论，从而解不等式判断出选项A和选项B；取特殊值结合已知条件，可判断选项C；根据函数的单调性，则可判断选项D，从而找出不等式一定成立的选项.
9．（2024高一下·越秀期中）设a、b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】B,C,D
【知识点】平行公理；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：对于选项A，因为，所以或与相交或与异面，故选项A错误；
对于选项B，因为，根据垂直于同一平面的两直线平行，所以，故选项B正确；
对于选项C，因为，所以与内的某条直线平行，又，所以，
又，，所以，故选项C正确；
对于选项D，因为，所以与内的某条直线平行，
因为，所以直线与内的某条直线平行，所以，
因为，，所以，故选项D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用空间中线线关系，线面关系，面面关系，对每一个选项进行判断即可得到结果.
10．（2024高一下·越秀期中）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦，均过点，则下列说法正确的是（ ）
A．为定值
B．当时，为定值
C．当时，面积的最大值为
D．的取值范围是
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：如图，过作直径，依题意，
为定值，A正确；
若，则，
则，
又，则，
同理可得，故，B正确；
如图，当时，若为等边三角形，
则，
下面说明此等边三角形存在的情况：取中点，连接，
则在中，，则，
又在中，，则，所以存在满足题意的点，C错误；
若为中点，连接，则
，
由题意，则，D正确.
故答案为：ABD
【分析】过作直径，利用向量加减几何意义得判断A；根据垂直关系及、数量积得运算律化简判断B；若为等边三角形，可判断C；若为中点，连接，应用向量线性运算的几何意义及数量积的运算律、圆的性质得，进而求范围判断D.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是根据定义及向量线性运算的几何意义，结合数量积的运算律转化各项数量积或乘积关系，再由圆的性质、基本不等式判断各项正误.
11．（2024高一下·越秀期中）已知，，，则以下正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．最小值为3 D．最大值为2
【答案】B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A：
，，，
不能得到，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：因为，则，
即，当且仅当，时取等号，故C正确；
对于D：取，解得：，故D错误．
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件和不等式的性质以及基本不等式求最值的方法，从而找出正确的选项.
12．（2024高一下·越秀期中）已知，均为锐角，则 ．
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，均为锐角，
所以，则，.
故填： ．
【分析】由已知条件和角的取值范围和不等式的基本性质，再结合同角三角函数基本关系式和角之间的关系式以及两角和的正弦公式，从而得出的值．
13．（2024高一下·越秀期中）已知如图正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积为 ．
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：设正四棱柱和正四棱锥的高为，如图，
则，
所以其外接球的半径为，解得，所以，
故球的表面积为.
故答案为：.
【分析】设正四棱柱和正四棱锥的高为，依题意结合中点的性质和勾股定理可得球的半径的长，再根据球的表面积公式得出这个球的表面积．
14．（2024高一下·越秀期中）如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，
又因为，，
所以，
因为，，三点共线，
所以，
由图可知，，
所以，
当且仅当时，即当，时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】根据三点共线求出的等量关系式，再结合基本不等式求最值的方法，从而求出的最小值.
15．（2024高一下·越秀期中）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处的C处的缉私船奉命以的速度追截走私船.此时，走私船正以的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.
（1）求线段的长度；
（2）求的大小；
（3）问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船 最快需要多长时间 参考数值：，
【答案】（1）解：在△ABC中，∠CAB＝45°+75°＝120°，
由余弦定理，
得BC2＝AB2+AC2﹣2ABACcos∠CAB
，
所以，.
（2）解：在△ABC中，由正弦定理，得，
所以，sin∠ACB，
又∵0°＜∠ACB＜60°，
∴∠ACB＝15°.
（3）解：设缉私船用th在D处追上走私船，如图，
则，BD＝10t.
在△ABC中，∠CBD＝90°+30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理，
得
，
∴∠BCD＝30°，
所以角度为北偏东，
即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船，
又因为，
故，解得，即最快需要.
【知识点】解三角形的实际应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）在△ABC中，∠CAB＝120°，再由余弦定理得出线段BC的长度.
（2）在△ABC中，由正弦定理可得sin∠ACB，再根据0°＜∠ACB＜60°得出的大小.
（3）设缉私船用th在D处追上走私船，CD＝10t，BD＝10t，在△ABC中，可求出∠CBD的值，在△BCD中，由正弦定理可得sin∠BCD的值，从而得出∠BCD的值，再根据互余的关系和互补的关系，从而根据已知条件得出t的值，进而得出缉私船沿北偏东的度数以及能最快追上走私船的时间.
（1）在△ABC中，∠CAB＝45°+75°＝120°，
由余弦定理，得BC2＝AB2+AC2﹣2ABACcos∠CAB
，
所以，.
（2）在△ABC中，由正弦定理，得，
所以，sin∠ACB.
又∵0°＜∠ACB＜60°，
∴∠ACB＝15°.
（3）设缉私船用th在D处追上走私船，如图，
则有，BD＝10t.
在△ABC中，
又∠CBD＝90°+30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理，得
.
∴∠BCD＝30°，
所以角度为北偏东，即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.
又，故，解得，
即最快需要.
16．（2024高一下·越秀期中）已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
（3）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明：如图，连接，，
四边形为矩形，为的中点，
与交于点，且为的中点，
又因为点为的中点，，
又因为平面，且平面，
平面.
（2）证明：直三棱柱中满足，
则，
因为点为的中点，且面，面，
所以，，
又因为面，
平面.
（3）解：由图可知，
，，，
又因为三棱柱为直三棱柱，且，
.
，，点为的中点，
所以，
由（2）可知平面，
所以点到平面的距离为，
又因为点为的中点，
所以点到平面的距离为，
.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）连接，，只需证明即可，再由中位线性质结合线面平行的判定定理，从而证出平面.
（2）利用直三棱柱的结构特征和中点的性质，从而证出，，再结合线线垂直证出线面垂直，即证出平面.
（3）利用转换法得出，则只需求点到平面的距离和三角形的面积，由（2）的结论、点为的中点以及解直角三角形知识，从而得出三棱锥的体积.
（1）如图，
连接，，
四边形为矩形，为的中点，
与交于点，且为的中点，
又点为的中点，，
又平面，且平面，
平面.
（2）直三棱柱满足，，
又点为的中点，且面，面，
所以，，
又面，
平面.
（3）由图可知，
，，，
又三棱柱为直三棱柱，且，
.
，，点为的中点，
所以.
由（2）可知平面.
所以点到平面的距离为，
又点为的中点，
所以点到平面的距离为，
.
17．（2024高一下·越秀期中）在中，，，分别为内角，B，的对边，且.
（1）求的大小；
（2）若，试判断的形状；
（3）若，求周长的最大值.
【答案】（1）解：因为，
根据正弦定理得，整理得，
由余弦定理可得，
又因为，所以.
（2）解：由（1）知，
因为得，
即，
又因为，则，
，即，，
则为等腰钝角三角形.
（3）解：由，和余弦定理知：，
则，知，当且仅当时等号成立，
所以，因此周长的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算；三角形的形状判断
【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合余弦定理求出的值，再结合三角形中角的取值范围，从而得出角的值.
（2）利用（1）中角A的值和三角形内角和定理以及三角恒等变换，从而化简得出，再结合角的取值范围得出角的值，再根据三角形内角和定理得出角C的值，则由等腰钝角三角形的定义判断出的形状.
（3）利用余弦定理结合基本不等式求最值的方法，从而可得的最大值，再结合三角形的周长公式可得周长的最大值．
（1）因为，
根据正弦定理得，整理得
由余弦定理可得
又，所以
（2）由（1）知，又得，
即，
因为，则，
，即，，
则为等腰钝角三角形；
（3）由，及余弦定理知
则，知，当且仅当时等号成立
所以
因此周长的最大值为.
18．（2024高一下·越秀期中）在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，．
（1）当时，求的值；
（2）求向量的夹角；
（3）求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，依题意知，，，，
则，，
因为，
，
.
所以.
.
因为，，，
所以，，
所以.
（2）解：由（1）知.
因为，，
所以，
，
则，
因为，，，
所以，
故向量的夹角为.
（3）解：由（2）可知：，
.
则.
因为，，，
所以
，
由题意知，，
所以的取值范围是，
∴的取值范围是.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）先根据向量的线性运算表示出和，再根据向量的数量积运算律得出的值.
（2）先根据向量的线性运算表示出，根据向量的数量积运算得出，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系，从而得出向量的夹角.
（3）先根据表示出，根据向量的数量积运算得出，再根据和二次函数的图象求值域的方法，从而得出的取值范围.
（1）当时，
依题意知，，，.
则，.
因为，
，
.
所以.
因此.
因为，，，
所以，，
所以.
（2）由（1）知.
因为，，
所以；
.
则.
因为，，，
所以，
故向量的夹角为.
（3）由（2）可知：
，
.
则.
因为，，，
所以
，
由题意知，，
所以的取值范围是，
∴的取值范围是．
19．（2024高一下·越秀期中）如果函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”．
（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”求出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由．
（2）已知具有“性质”，且当时，求在上的最大值．
（3）设函数具有“性质”，且当时，若与交点个数为个，求的值．
【答案】（1）由，所以，，
所以函数具有“性质”，其中，．
（2）因为具有“性质”，所以，
设，则，
所以，
当时，在为增函数，
所以最大值为；
当时，在单调递减，在单调递增，且，
所以最大值为；
当时，在单调递减，在单调递增，且，
所以最大值为；
当时，在为减函数，所以最大值为；
综上可知，当时，最大值为；当时，最大值为．
（3）因为函数具有“性质”，所以，；
所以，即是以为周期的函数，
又设，则，．
设，，
当，时，，即，；
当，时，，即，；
所以对于，，都有，
而，所以，
综上可知是以为周期的函数．
当时，要使与交点个数为个，
只要与在区间有个交点，而在有一个公共点，
所以过，从而得，部分简图如下：
当时，要使与交点个数为个，
只要与在区间有个交点，而在有一个公共点，
所以过，从而得；
当时，显然不合题意．
综上可知，．
【知识点】函数的图象；函数的周期性；三角函数诱导公式二~六
【解析】【分析】（1）根据定义和三角函数诱导公式即可得解；
（2）由已知条件求出时的解析式，再由二次函数的单调性即可得解；
（3）根据“性质”和函数解析式得出函数的周期为1，结合交点个数及简图可得答案.
1 / 1广东省广州市二中2023-2024学年高一下学期期中数学试题
1．（2024高一下·越秀期中）是的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
2．（2024高一下·越秀期中）已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·越秀期中）已知向量，向量满足，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·越秀期中）在中，若，且，那么一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
5．（2024高一下·越秀期中）已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是.
A． B． C． D．
6．（2024高一下·越秀期中）函数（其中常数，）的最小正周期是，若其图像向右平移个单位后，所得图像关于原点中心对称，则原函数的图象（ ）
A．关于点中心对称 B．关于点中心对称
C．关于直线轴对称 D．关于直线轴对称
7．（2024高一下·越秀期中）设是复数且，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
8．（2024高一下·越秀期中）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·越秀期中）设a、b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．（2024高一下·越秀期中）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦，均过点，则下列说法正确的是（ ）
A．为定值
B．当时，为定值
C．当时，面积的最大值为
D．的取值范围是
11．（2024高一下·越秀期中）已知，，，则以下正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．最小值为3 D．最大值为2
12．（2024高一下·越秀期中）已知，均为锐角，则 ．
13．（2024高一下·越秀期中）已知如图正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积为 ．
14．（2024高一下·越秀期中）如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的最小值为 .
15．（2024高一下·越秀期中）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处的C处的缉私船奉命以的速度追截走私船.此时，走私船正以的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.
（1）求线段的长度；
（2）求的大小；
（3）问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船 最快需要多长时间 参考数值：，
16．（2024高一下·越秀期中）已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
（3）求三棱锥的体积.
17．（2024高一下·越秀期中）在中，，，分别为内角，B，的对边，且.
（1）求的大小；
（2）若，试判断的形状；
（3）若，求周长的最大值.
18．（2024高一下·越秀期中）在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，．
（1）当时，求的值；
（2）求向量的夹角；
（3）求的取值范围．
19．（2024高一下·越秀期中）如果函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”．
（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”求出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由．
（2）已知具有“性质”，且当时，求在上的最大值．
（3）设函数具有“性质”，且当时，若与交点个数为个，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当时，取，则，即充分性不成立；
当时，假设，得出，矛盾，
所以假设不成立，即必有，即必要性成立；
综上所述，是的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和举反例的方法、反证法以及充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确 的选项.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由可得，故虚部为，
故选：A
【分析】本题考查复数的除法运算.先变形出复数，再根据复数的除法运算法则：分子和分母同时乘以，进行化简后，根据虚部的概念可找出复数的虚部..
3．【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：设，则，
由，得，
又因为，得，即，
联立，解得，.
故答案为：C.
【分析】设出，再根据题意结合向量的坐标运算和两向量垂直数量积为0的等价关系以及向量共线的坐标表示，从而得出向量的坐标.
4．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：因为，
则，
因为，
则，所以，则，
又因为，，
则，
则，
即，即，
又因为，则，
所以，即.
则一定是等边三角形.
故答案为：D.
【分析】由两角和的正弦公式结合正弦定理可得的值，从而得出角的值，再由化简可得，从而得到，再结合三角形内角和定理得出角C的值，进而得出，从而判断出的形状.
5．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意可得有解，
即有解，
可得，解得，
由为非零实数，可得等号不成立，故，
所以，实数的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】由题意可得有解，从而得出，再结合为非零实数，从而得出实数的取值范围.
6．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：函数的最小正周期是，则，解得；
图像向右平移个单位后，得到函数，
所得图像关于原点中心对称可知，则，由，解得，
所以
当时，，故不关于点中心对称，不关于线轴对称，故A、C错误；
当时，，故不于中心对称，则关于直线轴对称，故B错误；D正确.
故答案为：D.
【分析】先根据周期求，再根据函数的性质求，可求函数的解析式，然后根据三角函数的对称中心和对称轴的性质判断各项即可.
7．【答案】C
【知识点】复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：根据复数模的几何意义可知，
表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，
又因为表示复数到原点的距离，
由图可知，.
故答案为：C.
【分析】根据复数模的几何意义，从而结合图象和复数求模公式，进而得出的最小值.
8．【答案】D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：因为，所以，
当时，解得；当时，解得，
所以，即，故A、B错误；
当时，，故C错误.
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，故D正确.
故答案为：D.
【分析】由和对数函数的单调性，再对和分类讨论，从而解不等式判断出选项A和选项B；取特殊值结合已知条件，可判断选项C；根据函数的单调性，则可判断选项D，从而找出不等式一定成立的选项.
9．【答案】B,C,D
【知识点】平行公理；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：对于选项A，因为，所以或与相交或与异面，故选项A错误；
对于选项B，因为，根据垂直于同一平面的两直线平行，所以，故选项B正确；
对于选项C，因为，所以与内的某条直线平行，又，所以，
又，，所以，故选项C正确；
对于选项D，因为，所以与内的某条直线平行，
因为，所以直线与内的某条直线平行，所以，
因为，，所以，故选项D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用空间中线线关系，线面关系，面面关系，对每一个选项进行判断即可得到结果.
10．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：如图，过作直径，依题意，
为定值，A正确；
若，则，
则，
又，则，
同理可得，故，B正确；
如图，当时，若为等边三角形，
则，
下面说明此等边三角形存在的情况：取中点，连接，
则在中，，则，
又在中，，则，所以存在满足题意的点，C错误；
若为中点，连接，则
，
由题意，则，D正确.
故答案为：ABD
【分析】过作直径，利用向量加减几何意义得判断A；根据垂直关系及、数量积得运算律化简判断B；若为等边三角形，可判断C；若为中点，连接，应用向量线性运算的几何意义及数量积的运算律、圆的性质得，进而求范围判断D.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是根据定义及向量线性运算的几何意义，结合数量积的运算律转化各项数量积或乘积关系，再由圆的性质、基本不等式判断各项正误.
11．【答案】B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A：
，，，
不能得到，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：因为，则，
即，当且仅当，时取等号，故C正确；
对于D：取，解得：，故D错误．
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件和不等式的性质以及基本不等式求最值的方法，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，均为锐角，
所以，则，.
故填： ．
【分析】由已知条件和角的取值范围和不等式的基本性质，再结合同角三角函数基本关系式和角之间的关系式以及两角和的正弦公式，从而得出的值．
13．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：设正四棱柱和正四棱锥的高为，如图，
则，
所以其外接球的半径为，解得，所以，
故球的表面积为.
故答案为：.
【分析】设正四棱柱和正四棱锥的高为，依题意结合中点的性质和勾股定理可得球的半径的长，再根据球的表面积公式得出这个球的表面积．
14．【答案】
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，
又因为，，
所以，
因为，，三点共线，
所以，
由图可知，，
所以，
当且仅当时，即当，时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】根据三点共线求出的等量关系式，再结合基本不等式求最值的方法，从而求出的最小值.
15．【答案】（1）解：在△ABC中，∠CAB＝45°+75°＝120°，
由余弦定理，
得BC2＝AB2+AC2﹣2ABACcos∠CAB
，
所以，.
（2）解：在△ABC中，由正弦定理，得，
所以，sin∠ACB，
又∵0°＜∠ACB＜60°，
∴∠ACB＝15°.
（3）解：设缉私船用th在D处追上走私船，如图，
则，BD＝10t.
在△ABC中，∠CBD＝90°+30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理，
得
，
∴∠BCD＝30°，
所以角度为北偏东，
即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船，
又因为，
故，解得，即最快需要.
【知识点】解三角形的实际应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）在△ABC中，∠CAB＝120°，再由余弦定理得出线段BC的长度.
（2）在△ABC中，由正弦定理可得sin∠ACB，再根据0°＜∠ACB＜60°得出的大小.
（3）设缉私船用th在D处追上走私船，CD＝10t，BD＝10t，在△ABC中，可求出∠CBD的值，在△BCD中，由正弦定理可得sin∠BCD的值，从而得出∠BCD的值，再根据互余的关系和互补的关系，从而根据已知条件得出t的值，进而得出缉私船沿北偏东的度数以及能最快追上走私船的时间.
（1）在△ABC中，∠CAB＝45°+75°＝120°，
由余弦定理，得BC2＝AB2+AC2﹣2ABACcos∠CAB
，
所以，.
（2）在△ABC中，由正弦定理，得，
所以，sin∠ACB.
又∵0°＜∠ACB＜60°，
∴∠ACB＝15°.
（3）设缉私船用th在D处追上走私船，如图，
则有，BD＝10t.
在△ABC中，
又∠CBD＝90°+30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理，得
.
∴∠BCD＝30°，
所以角度为北偏东，即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.
又，故，解得，
即最快需要.
16．【答案】（1）证明：如图，连接，，
四边形为矩形，为的中点，
与交于点，且为的中点，
又因为点为的中点，，
又因为平面，且平面，
平面.
（2）证明：直三棱柱中满足，
则，
因为点为的中点，且面，面，
所以，，
又因为面，
平面.
（3）解：由图可知，
，，，
又因为三棱柱为直三棱柱，且，
.
，，点为的中点，
所以，
由（2）可知平面，
所以点到平面的距离为，
又因为点为的中点，
所以点到平面的距离为，
.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）连接，，只需证明即可，再由中位线性质结合线面平行的判定定理，从而证出平面.
（2）利用直三棱柱的结构特征和中点的性质，从而证出，，再结合线线垂直证出线面垂直，即证出平面.
（3）利用转换法得出，则只需求点到平面的距离和三角形的面积，由（2）的结论、点为的中点以及解直角三角形知识，从而得出三棱锥的体积.
（1）如图，
连接，，
四边形为矩形，为的中点，
与交于点，且为的中点，
又点为的中点，，
又平面，且平面，
平面.
（2）直三棱柱满足，，
又点为的中点，且面，面，
所以，，
又面，
平面.
（3）由图可知，
，，，
又三棱柱为直三棱柱，且，
.
，，点为的中点，
所以.
由（2）可知平面.
所以点到平面的距离为，
又点为的中点，
所以点到平面的距离为，
.
17．【答案】（1）解：因为，
根据正弦定理得，整理得，
由余弦定理可得，
又因为，所以.
（2）解：由（1）知，
因为得，
即，
又因为，则，
，即，，
则为等腰钝角三角形.
（3）解：由，和余弦定理知：，
则，知，当且仅当时等号成立，
所以，因此周长的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算；三角形的形状判断
【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合余弦定理求出的值，再结合三角形中角的取值范围，从而得出角的值.
（2）利用（1）中角A的值和三角形内角和定理以及三角恒等变换，从而化简得出，再结合角的取值范围得出角的值，再根据三角形内角和定理得出角C的值，则由等腰钝角三角形的定义判断出的形状.
（3）利用余弦定理结合基本不等式求最值的方法，从而可得的最大值，再结合三角形的周长公式可得周长的最大值．
（1）因为，
根据正弦定理得，整理得
由余弦定理可得
又，所以
（2）由（1）知，又得，
即，
因为，则，
，即，，
则为等腰钝角三角形；
（3）由，及余弦定理知
则，知，当且仅当时等号成立
所以
因此周长的最大值为.
18．【答案】（1）解：当时，依题意知，，，，
则，，
因为，
，
.
所以.
.
因为，，，
所以，，
所以.
（2）解：由（1）知.
因为，，
所以，
，
则，
因为，，，
所以，
故向量的夹角为.
（3）解：由（2）可知：，
.
则.
因为，，，
所以
，
由题意知，，
所以的取值范围是，
∴的取值范围是.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）先根据向量的线性运算表示出和，再根据向量的数量积运算律得出的值.
（2）先根据向量的线性运算表示出，根据向量的数量积运算得出，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系，从而得出向量的夹角.
（3）先根据表示出，根据向量的数量积运算得出，再根据和二次函数的图象求值域的方法，从而得出的取值范围.
（1）当时，
依题意知，，，.
则，.
因为，
，
.
所以.
因此.
因为，，，
所以，，
所以.
（2）由（1）知.
因为，，
所以；
.
则.
因为，，，
所以，
故向量的夹角为.
（3）由（2）可知：
，
.
则.
因为，，，
所以
，
由题意知，，
所以的取值范围是，
∴的取值范围是．
19．【答案】（1）由，所以，，
所以函数具有“性质”，其中，．
（2）因为具有“性质”，所以，
设，则，
所以，
当时，在为增函数，
所以最大值为；
当时，在单调递减，在单调递增，且，
所以最大值为；
当时，在单调递减，在单调递增，且，
所以最大值为；
当时，在为减函数，所以最大值为；
综上可知，当时，最大值为；当时，最大值为．
（3）因为函数具有“性质”，所以，；
所以，即是以为周期的函数，
又设，则，．
设，，
当，时，，即，；
当，时，，即，；
所以对于，，都有，
而，所以，
综上可知是以为周期的函数．
当时，要使与交点个数为个，
只要与在区间有个交点，而在有一个公共点，
所以过，从而得，部分简图如下：
当时，要使与交点个数为个，
只要与在区间有个交点，而在有一个公共点，
所以过，从而得；
当时，显然不合题意．
综上可知，．
【知识点】函数的图象；函数的周期性；三角函数诱导公式二~六
【解析】【分析】（1）根据定义和三角函数诱导公式即可得解；
（2）由已知条件求出时的解析式，再由二次函数的单调性即可得解；
（3）根据“性质”和函数解析式得出函数的周期为1，结合交点个数及简图可得答案.
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