浙江省余姚中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·余姚期中）已知，则=（ ）
A． i B．i C．0 D．1
2．（2024高一下·余姚期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ）
A． B．2 C． D．
3．（2024高一下·余姚期中）在平行四边形中，相交于点，点在线段上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高一下·余姚期中）某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（ ）
A．恰有1名女生和恰有2名女生
B．至少有1名男生和至少有1名女生
C．至少有1名女生和全是女生
D．至少有1名女生和至多有1名男生
5．（2024高一下·余姚期中）已知点，，．则在上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高一下·余姚期中）秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，即在中，分别为内角所对应的边，其公式为：若，，，则利用“三斜求积术”求的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·余姚期中）已知某样本的容量为50，平均数为36，方差为48，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将24记录为34，另一个错将48记录为38.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高一下·余姚期中）在中，，，，为中点，若将沿着直线翻折至，使得四面体的外接球半径为，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·余姚期中）下列说法正确的是（ ）
A．数据1，2，3，3，4，5的平均数和中位数相同
B．数据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3
C．有甲、乙、丙三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30
D．甲组数据的方差为4，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙组
10．（2024高一下·余姚期中）在中，内角、、所对的边分别、、，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．外接圆的半径为
C．取得最小值时， D．时，值为
11．（2024高一下·余姚期中）如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱的中点，点P为线段上的动点（包含端点），则（ ）
A．存在点P，使得平面
B．对任意点P，平面平面
C．两条异面直线和所成的角为
D．点到直线的距离为4
12．（2024高一下·余姚期中）为培养学生“爱读书、读好书、普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团.甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三人恰好参加同一个社团的概率为 .
13．（2024高一下·余姚期中）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为 .
14．（2024高一下·余姚期中）已知正方体的棱长为3，动点在内，满足，则点的轨迹长度为 .
15．（2024高一下·余姚期中）已知为复数，为实数，且为纯虚数，其中是虚数单位.
（1）求；
（2）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
16．（2024高一下·余姚期中）某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取100名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计．所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组 （单位：分），得到如下的频率分布直方图．
（1）求图中m的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数；
（2）根据频率分布直方图，估计此次答题活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖．（以每组中点作为该组数据的代表）
17．（2024高一下·余姚期中）在①；②；③向量与平行，这三个条件中任选一个，补充在下面题干中，然后解答问题.已知内角的对边分别为，且满足______.
（1）求角；
（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围；
（3）在（2）条件下，若边中点为，求中线的取值范围.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
18．（2024高一下·余姚期中）三棱台中，若面，，，，，分别是，中点.
（1）求与所成角的余弦值；
（2）求平面与平面所成成角的余弦值；
（3）求与平面所成角的正弦值.
19．（2024高一下·余姚期中）如图①，在矩形中，，为的中点，如图②，将沿折起，点在线段上．
（1）若，求证平面；
（2）若平面平面，是否存在点，使得平面与平面垂直？若存在，求此时三棱锥的体积，若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】∵，∴，
则.
故选：A
【分析】 识记共轭复数的表达式，并熟练掌握复数乘除积运算
2．【答案】C
【知识点】平面图形的直观图；斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：在直角梯形中，因为，，
所以，根据斜二次画法可知：平面图的高为.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，先求直观图的，再根据斜二测画法即可得其平面图形的高.
3．【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为O是AC的中点，
，
由可得E是DO的中点，
.
故答案为：B.
【分析】利用中点的性质和向量共线定理以及平面向量基本定理，从而找出正确的选项.
4．【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：依题意，可能出现名男生、名男生名女生、名女生.
对于A：恰有1名女生，即选出的两名学生中有一名男生一名女生和恰有2名女生，
他们不可能同时发生，故恰有1名女生和恰有2名女生是互斥事件，故A正确；
对于B：当选出的两名学生中有一名男生一名女生，
则至少有1名男生和至少有1名女生都发生了，
则至少有1名男生和至少有1名女生不是互斥事件，故B错误；
对于C：因为至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生，
所以当全是女生时，至少有1名女生和全是女生都发生了，
则至少有1名女生和全是女生不是互斥事件，故C错误；
对于D：因为至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生，
至多有1名男生包含有一名男生一名女生与全是女生，
则至少有1名女生和至多有1名男生是相等事件，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据互斥事件的定义判断各选项，从而找出互斥事件的选项.
5．【答案】C
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，，，
所以，，
，
所以向量与的夹角为钝角，
因此量在上的投影向量与方向相反，
又因为，，
所以在上的投影向量为.
故答案为：C.
【分析】根据向量的坐标表示结合数量积求夹角公式，从而得出向量与的夹角为钝角，因此量在上的投影向量与方向相反，再结合数量积求投影向量坐标的方法，从而得出在上的投影向量的坐标.
6．【答案】D
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，由正弦定理，得，则，
又由余弦定理得：，
则由“三斜求积术”得.
故答案为：D.
【分析】由正弦定理可得的值，再根据余弦定理可得的值，再结合“三斜求积术”求出的面积.
7．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设收集的48个准确数据为，
所以，
所以，
所以，
又因为
，
则
.
故答案为：B.
【分析】根据数据总和不变，则平均数不变，从而得出的值，再根据方差的定义得出，从而得出，进而找出正确的选项.
8．【答案】D
【知识点】直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：，，，，
又因为为中点，，
则，即为等边三角形，
设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，
取中点，连接，
，，，即外接圆半径为，
又因为四面体的外接球半径为，为四面体外接球的球心，
由球的性质可知：平面，
因为平面，，
，，
；
设点到平面的距离为，
由得：，
又因为与均为边长为的等边三角形，，
则直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：D.
【分析】由直角三角形性质和翻折关系可判断出为等边三角形，再利用正弦定理可得出外接圆的半径，由此可知外接圆圆心为四面体外接球球心，再由球的性质可知平面，则利用可得点到平面的距离，再根据正弦函数的定义得出直线与平面所成角的正弦值.
9．【答案】A,B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、数据1，2，3，3，4，5的平均数为，中位数为，故A正确；
B、数据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3，故B正确；
C、设样本容量为，由题可知，可得，即样本容量为18，故C错误；
D、 乙组数据5，6，9，10，5 的平均数为，则方差为，因为，所以两组数据中较稳定的为甲组，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】求数据的平均数与中位数即可判断A；利用众数的定义可判断B；根据分层抽样的定义及抽样比求解即可判断C；利用方差的定义以及方差的意义可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：对于A，因为，
由正弦定理可得，
又因为，则，所以，
又因为，所以，
则三角形面积为，故A正确；
对于B，因为，则，
设外接圆的半径为，则，所以，故B正确；
对于C，因为，由余弦定理得出，
即，化简可得，
由基本不等式得，当且仅当时取等号，此时，
则当，时，取得最小值，故C错误；
对于D，由选项C可得，
当时，的值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由正弦定理化简可得，再根据三角形面积公式，则判断出选项A；根据结合正弦定理，则判断出选项B；根据正弦定理和余弦定理化简可得，再根据基本不等式求最值的方法和三角函数图象求值的方法，则判断出选项C；根据选项C和三角函数图象求值的方法，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：对于A，当与重合时，
由题可知
，则四边形为平行四边形，故，
因为平面，平面，则平面，故A正确；
对于B，连接，
平面，平面，，
因为，
故，
又因为平面，平面，
又因为平面，故对任意点P，平面平面，故B正确；
对于C，由正方体的结构特征可知，
所以，异面直线和所成的角为和所成的角，
由图可知为，故C错误；
对于D，如图所示：
由正方体的特征可得，
，
所以，点到直线的距离，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】当与重合时，用线面平行可得，进而可得存在点P，使得平面，则判断出选项A；通过证明平面得出对任意点P，平面平面，则判断出选项B；由正方体的性质和画图直接得出两条异面直线和所成的角，从而判断出选项C；由余弦定理确定的值，再由正弦函数的定义得出点到直线的距离，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团，
甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，
基本事件的总数为，三人恰好参加同一个社团包含的基本事件个数为，
则三人恰好参加同一个社团的概率为.
故答案为：.
【分析】根据题意得到基本事件的总数的值和所求事件中包含的基本事件个数的值，再结合古典概率公式，从而得出三人恰好参加同一个社团的概率.
13．【答案】
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，，
，存在实数，使得，即，
又，则，
，，，
则
.
故答案为：．
【分析】利用结合已知条件得出的值，再由平面向量基本定理把、用已知向量、表示，再利用数量积的运算法则可得出数量积的值．
14．【答案】
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：在正方体中，如图，
因为平面，平面，则，
又因为，，，平面，
所以平面，
又因为平面，则，同理，
又因为，，平面，
所以平面，
令交平面于点，由，
得，
即，解得，
因为，所以，
又因为点在内，满足，则，
因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆在内的圆弧，
又因为为正三角形，则三棱锥必为正三棱锥，为正的中心，
所以正的内切圆半径，
则，即，，
所以圆在内的圆弧为圆周长的，即点的轨迹长度为.
故答案为：.
【分析】先确定正方体对角线与的交点E，从而求出确定的轨迹形状，再求出轨迹长度得出点的轨迹长度.
15．【答案】（1）解：设，，
因为为实数，所以，即，
所以，
又因为为纯虚数，
所以，即，
所以，
所以.
（2）解：由（1）知，
所以，
又因为在复平面上所对应的点在第一象限，
所以 ，解得：，
所以，实数的取值范围为.
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数
【解析】【分析】（1）设，根据复数代数形式的乘法法则，从而化简与，再根据复数为实数和纯虚数的判断条件，即可求出的值，再利用复数模长公式，可求得答案.
（2）由（1）结合共轭复数的定义，从而求出复数的共轭复数，再根据复数代数形式的除法与乘方的运算法则化简复数，再根据复数的几何意义得到不等式组，从而解不等式组得出实数m的取值范围.
（1）设，，因为为实数，所以，即
所以，
又因为为纯虚数， 所以即，所以，
所以.
（2）由（1）知，
所以，
又因为在复平面上所对应的点在第一象限，
所以 ，解得：
所以，实数的取值范围为.
16．【答案】（1）解：由频率分布直方图知：，
解得，
设此次竞赛活动学生得分的中位数为，
因为数据落在内的频率为0.4，落在内的频率为0.8，
可得，
由，得，
所以估计此次竞赛活动学生得分的中位数为82.5．
（2）解：由频率分布直方图及（1）知：
数据落在，，，的频率分别为：
0.1，0.3，0.4，0.2，
因为，
所以此次竞赛活动学生得分不低于82的频率为，
则，
所以估计此次竞赛活动得分的平均值为82，在参赛的1000名学生中估计有520名学生获奖.
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中所有频率之和等于和中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，从而估计出此次竞赛活动学生得分的中位数.
（2）利用频率分布直方图中平均数等于每个小矩形底边的中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和以及不低于平均值的学生人数为总数乘以不低于平均值的频率，从而估计出参赛的学生中获奖学生人数.
（1）由频率分布直方图知：，解得，
设此次竞赛活动学生得分的中位数为，
因数据落在内的频率为0.4，落在内的频率为0.8，从而可得，
由，得，
所以估计此次竞赛活动学生得分的中位数为82.5．
（2）由频率分布直方图及（1）知：
数据落在，，，的频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，
，
此次竞赛活动学生得分不低于82的频率为，
则，
所以估计此次竞赛活动得分的平均值为82，在参赛的1000名学生中估计有520名学生获奖
17．【答案】（1）解：选①：因为，
，即，
，，.
选②：，
，
，
，，.
选③：向量与平行，
，
，
，，.
（2）解：，
，
.
为锐角三角形，
，
，
，
周长的取值范围为.
（3）解：，
又由中线公式可得，
，
即，
为锐角三角形，
，
，，
.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）选①，根据正弦定理化简，再转化成余弦值，则根据三角形中角C的取值范围得出角C的值.
选②，根据正弦定理化简求出角C的余弦值，再结合三角形中角C的取值范围，从而得出角C的值.
选③，先根据向量共线的坐标和正弦定理以及同角三角函数基本关系式，从而得出角C的正切值，再结合三角形中角C的取值范围，从而得出角C的值.
（2）根据（1）中结果和的值，把周长转化成，再结合正弦型函数求值域的方法，从而得出周长的取值范围.
（3）根据中线公式和正弦定理以及三角恒等变换公式，则把转化成正弦型函数，再结合锐角三角形中角A和角B的取值范围和（1）中角C的值以及三角形内角和定理，从而得出角A的取值范围，再根据不等式的基本性质和正弦型函数的图象求值域的方法，从而得出中线的取值范围.
（1）选①：因为，
，即，
，，.
选②：，
，
，
，，.
选③：向量与平行，
，
，
，，.
（2），
，
.
为锐角三角形，
，
，
.
周长的取值范围为.
（3），
又由中线公式可得，
.
即，
为锐角三角形，
，
，.
.
18．【答案】（1）解：连接，
由分别是的中点，根据中位线性质，
得，且，
在三棱台中，可得，所以，
由，可得四边形是平行四边形，则，
所以为与所成角，
在中，由，
可得.
（2）解：过作，垂足为，过作，垂足为，连接
由面，面，得，
又因为，，平面，
则平面，
由平面，所以，
因为，，且平面，
所以平面，
由平面，可得，
所以平面与平面所成角即，
又因为，，则，
所以，
在直角中，，则，
所以.
（3）解： 过作，垂足为，作，垂足为，
连接，过作，垂足为，
由，，
可得，
由平面，平面，则，
因为，，平面，
所以平面，
又因为平面，则，
又因为，，平面，
所以平面，
在直角中，，
因为，
则点到平面的距离是到平面的距离的两倍，
即点到平面的距离是，
设所求角为，则.
【知识点】直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据题意证出和，从而得出为与所成角，在中，利用余弦定理得出与所成角的余弦值.
（2）过作，过作，连接，从而证出平面，
进而证出平面，则得到平面与所成角为，在直角中结合勾股定理和余弦函数的定义，从而得出平面与平面所成成角的余弦值.
（3）过作，作，连接，由平面得出和，从而得到平面和平面，在直角中结合三角形面积相等求出的长，从而求出到平面的距离，再根据正弦函数的定义得出与平面所成角的正弦值.
（1）解：连接.由分别是的中点，
根据中位线性质，得，且，
在三棱台中，可得，所以，
由，可得四边形是平行四边形，则，
所以为与所成角，
在中，由，
可得.
（2）解：过作，垂足为，过作，垂足为，连接.
由面，面，故，
又因为，，平面，则平面.
由平面，故，
因为，，且平面，于是平面，
由平面，可得，
所以平面与平面所成角即，
又因为，，则，
所以，
在直角中，，则，所以.
（3）解： 过作，垂足为，作，垂足为，
连接，过作，垂足为，
由，，可得，
由平面，平面，则，
因为，，平面，于是平面，
又因为平面，则，
因为，，平面，所以平面，
在直角中，，
因为，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍，
即点到平面的距离是，设所求角为，则.
19．【答案】（1）证明：如图，连，交于，在矩形中，为中点，
，且，，
因为，，
又因为平面，平面，
平面．
（2）解：.
在矩形中，，，，即，
因为因为平面平面，又平面平面，
平面，平面，，①
取中点，则，
平面平面，平面平面，
平面，
由（1）知当时，，
，，②
因为，平面，平面，
又因为平面，平面平面，
则当时，平面与平面垂直，
依题意得，，，
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据已知条件和平行线分线段成比例定理，再结合线面平行的判定定理，从而证出平面.
（2）根据（1）中的结论和矩形的性质，利用面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理，再结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，再利用等体积法和棱锥的体积公式，从而得出存在点，使得平面与平面垂直，并求出此时三棱锥的体积.
（1）如图，连，交于，在矩形中，为中点，
，且，，
又，，又平面，平面，
平面．
（2）存在点，使得平面与平面垂直.
在矩形中，，，，即，
已知平面平面，又平面平面，
平面，平面，．①
取中点，则，
平面平面，平面平面，平面，
由（1）知当时，，
，．②
而，平面，平面，又平面，平面平面．
即当时，平面与平面垂直．
依题意有，，，
．
1 / 1浙江省余姚中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·余姚期中）已知，则=（ ）
A． i B．i C．0 D．1
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】∵，∴，
则.
故选：A
【分析】 识记共轭复数的表达式，并熟练掌握复数乘除积运算
2．（2024高一下·余姚期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】平面图形的直观图；斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：在直角梯形中，因为，，
所以，根据斜二次画法可知：平面图的高为.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，先求直观图的，再根据斜二测画法即可得其平面图形的高.
3．（2024高一下·余姚期中）在平行四边形中，相交于点，点在线段上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为O是AC的中点，
，
由可得E是DO的中点，
.
故答案为：B.
【分析】利用中点的性质和向量共线定理以及平面向量基本定理，从而找出正确的选项.
4．（2024高一下·余姚期中）某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（ ）
A．恰有1名女生和恰有2名女生
B．至少有1名男生和至少有1名女生
C．至少有1名女生和全是女生
D．至少有1名女生和至多有1名男生
【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：依题意，可能出现名男生、名男生名女生、名女生.
对于A：恰有1名女生，即选出的两名学生中有一名男生一名女生和恰有2名女生，
他们不可能同时发生，故恰有1名女生和恰有2名女生是互斥事件，故A正确；
对于B：当选出的两名学生中有一名男生一名女生，
则至少有1名男生和至少有1名女生都发生了，
则至少有1名男生和至少有1名女生不是互斥事件，故B错误；
对于C：因为至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生，
所以当全是女生时，至少有1名女生和全是女生都发生了，
则至少有1名女生和全是女生不是互斥事件，故C错误；
对于D：因为至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生，
至多有1名男生包含有一名男生一名女生与全是女生，
则至少有1名女生和至多有1名男生是相等事件，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据互斥事件的定义判断各选项，从而找出互斥事件的选项.
5．（2024高一下·余姚期中）已知点，，．则在上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，，，
所以，，
，
所以向量与的夹角为钝角，
因此量在上的投影向量与方向相反，
又因为，，
所以在上的投影向量为.
故答案为：C.
【分析】根据向量的坐标表示结合数量积求夹角公式，从而得出向量与的夹角为钝角，因此量在上的投影向量与方向相反，再结合数量积求投影向量坐标的方法，从而得出在上的投影向量的坐标.
6．（2024高一下·余姚期中）秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，即在中，分别为内角所对应的边，其公式为：若，，，则利用“三斜求积术”求的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，由正弦定理，得，则，
又由余弦定理得：，
则由“三斜求积术”得.
故答案为：D.
【分析】由正弦定理可得的值，再根据余弦定理可得的值，再结合“三斜求积术”求出的面积.
7．（2024高一下·余姚期中）已知某样本的容量为50，平均数为36，方差为48，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将24记录为34，另一个错将48记录为38.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设收集的48个准确数据为，
所以，
所以，
所以，
又因为
，
则
.
故答案为：B.
【分析】根据数据总和不变，则平均数不变，从而得出的值，再根据方差的定义得出，从而得出，进而找出正确的选项.
8．（2024高一下·余姚期中）在中，，，，为中点，若将沿着直线翻折至，使得四面体的外接球半径为，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：，，，，
又因为为中点，，
则，即为等边三角形，
设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，
取中点，连接，
，，，即外接圆半径为，
又因为四面体的外接球半径为，为四面体外接球的球心，
由球的性质可知：平面，
因为平面，，
，，
；
设点到平面的距离为，
由得：，
又因为与均为边长为的等边三角形，，
则直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：D.
【分析】由直角三角形性质和翻折关系可判断出为等边三角形，再利用正弦定理可得出外接圆的半径，由此可知外接圆圆心为四面体外接球球心，再由球的性质可知平面，则利用可得点到平面的距离，再根据正弦函数的定义得出直线与平面所成角的正弦值.
9．（2024高一下·余姚期中）下列说法正确的是（ ）
A．数据1，2，3，3，4，5的平均数和中位数相同
B．数据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3
C．有甲、乙、丙三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30
D．甲组数据的方差为4，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙组
【答案】A,B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、数据1，2，3，3，4，5的平均数为，中位数为，故A正确；
B、数据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3，故B正确；
C、设样本容量为，由题可知，可得，即样本容量为18，故C错误；
D、 乙组数据5，6，9，10，5 的平均数为，则方差为，因为，所以两组数据中较稳定的为甲组，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】求数据的平均数与中位数即可判断A；利用众数的定义可判断B；根据分层抽样的定义及抽样比求解即可判断C；利用方差的定义以及方差的意义可判断D.
10．（2024高一下·余姚期中）在中，内角、、所对的边分别、、，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．外接圆的半径为
C．取得最小值时， D．时，值为
【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：对于A，因为，
由正弦定理可得，
又因为，则，所以，
又因为，所以，
则三角形面积为，故A正确；
对于B，因为，则，
设外接圆的半径为，则，所以，故B正确；
对于C，因为，由余弦定理得出，
即，化简可得，
由基本不等式得，当且仅当时取等号，此时，
则当，时，取得最小值，故C错误；
对于D，由选项C可得，
当时，的值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由正弦定理化简可得，再根据三角形面积公式，则判断出选项A；根据结合正弦定理，则判断出选项B；根据正弦定理和余弦定理化简可得，再根据基本不等式求最值的方法和三角函数图象求值的方法，则判断出选项C；根据选项C和三角函数图象求值的方法，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
11．（2024高一下·余姚期中）如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱的中点，点P为线段上的动点（包含端点），则（ ）
A．存在点P，使得平面
B．对任意点P，平面平面
C．两条异面直线和所成的角为
D．点到直线的距离为4
【答案】A,B,D
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：对于A，当与重合时，
由题可知
，则四边形为平行四边形，故，
因为平面，平面，则平面，故A正确；
对于B，连接，
平面，平面，，
因为，
故，
又因为平面，平面，
又因为平面，故对任意点P，平面平面，故B正确；
对于C，由正方体的结构特征可知，
所以，异面直线和所成的角为和所成的角，
由图可知为，故C错误；
对于D，如图所示：
由正方体的特征可得，
，
所以，点到直线的距离，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】当与重合时，用线面平行可得，进而可得存在点P，使得平面，则判断出选项A；通过证明平面得出对任意点P，平面平面，则判断出选项B；由正方体的性质和画图直接得出两条异面直线和所成的角，从而判断出选项C；由余弦定理确定的值，再由正弦函数的定义得出点到直线的距离，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．（2024高一下·余姚期中）为培养学生“爱读书、读好书、普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团.甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三人恰好参加同一个社团的概率为 .
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团，
甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，
基本事件的总数为，三人恰好参加同一个社团包含的基本事件个数为，
则三人恰好参加同一个社团的概率为.
故答案为：.
【分析】根据题意得到基本事件的总数的值和所求事件中包含的基本事件个数的值，再结合古典概率公式，从而得出三人恰好参加同一个社团的概率.
13．（2024高一下·余姚期中）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为 .
【答案】
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，，
，存在实数，使得，即，
又，则，
，，，
则
.
故答案为：．
【分析】利用结合已知条件得出的值，再由平面向量基本定理把、用已知向量、表示，再利用数量积的运算法则可得出数量积的值．
14．（2024高一下·余姚期中）已知正方体的棱长为3，动点在内，满足，则点的轨迹长度为 .
【答案】
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：在正方体中，如图，
因为平面，平面，则，
又因为，，，平面，
所以平面，
又因为平面，则，同理，
又因为，，平面，
所以平面，
令交平面于点，由，
得，
即，解得，
因为，所以，
又因为点在内，满足，则，
因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆在内的圆弧，
又因为为正三角形，则三棱锥必为正三棱锥，为正的中心，
所以正的内切圆半径，
则，即，，
所以圆在内的圆弧为圆周长的，即点的轨迹长度为.
故答案为：.
【分析】先确定正方体对角线与的交点E，从而求出确定的轨迹形状，再求出轨迹长度得出点的轨迹长度.
15．（2024高一下·余姚期中）已知为复数，为实数，且为纯虚数，其中是虚数单位.
（1）求；
（2）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：设，，
因为为实数，所以，即，
所以，
又因为为纯虚数，
所以，即，
所以，
所以.
（2）解：由（1）知，
所以，
又因为在复平面上所对应的点在第一象限，
所以 ，解得：，
所以，实数的取值范围为.
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数
【解析】【分析】（1）设，根据复数代数形式的乘法法则，从而化简与，再根据复数为实数和纯虚数的判断条件，即可求出的值，再利用复数模长公式，可求得答案.
（2）由（1）结合共轭复数的定义，从而求出复数的共轭复数，再根据复数代数形式的除法与乘方的运算法则化简复数，再根据复数的几何意义得到不等式组，从而解不等式组得出实数m的取值范围.
（1）设，，因为为实数，所以，即
所以，
又因为为纯虚数， 所以即，所以，
所以.
（2）由（1）知，
所以，
又因为在复平面上所对应的点在第一象限，
所以 ，解得：
所以，实数的取值范围为.
16．（2024高一下·余姚期中）某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取100名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计．所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组 （单位：分），得到如下的频率分布直方图．
（1）求图中m的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数；
（2）根据频率分布直方图，估计此次答题活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖．（以每组中点作为该组数据的代表）
【答案】（1）解：由频率分布直方图知：，
解得，
设此次竞赛活动学生得分的中位数为，
因为数据落在内的频率为0.4，落在内的频率为0.8，
可得，
由，得，
所以估计此次竞赛活动学生得分的中位数为82.5．
（2）解：由频率分布直方图及（1）知：
数据落在，，，的频率分别为：
0.1，0.3，0.4，0.2，
因为，
所以此次竞赛活动学生得分不低于82的频率为，
则，
所以估计此次竞赛活动得分的平均值为82，在参赛的1000名学生中估计有520名学生获奖.
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中所有频率之和等于和中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，从而估计出此次竞赛活动学生得分的中位数.
（2）利用频率分布直方图中平均数等于每个小矩形底边的中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和以及不低于平均值的学生人数为总数乘以不低于平均值的频率，从而估计出参赛的学生中获奖学生人数.
（1）由频率分布直方图知：，解得，
设此次竞赛活动学生得分的中位数为，
因数据落在内的频率为0.4，落在内的频率为0.8，从而可得，
由，得，
所以估计此次竞赛活动学生得分的中位数为82.5．
（2）由频率分布直方图及（1）知：
数据落在，，，的频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，
，
此次竞赛活动学生得分不低于82的频率为，
则，
所以估计此次竞赛活动得分的平均值为82，在参赛的1000名学生中估计有520名学生获奖
17．（2024高一下·余姚期中）在①；②；③向量与平行，这三个条件中任选一个，补充在下面题干中，然后解答问题.已知内角的对边分别为，且满足______.
（1）求角；
（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围；
（3）在（2）条件下，若边中点为，求中线的取值范围.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】（1）解：选①：因为，
，即，
，，.
选②：，
，
，
，，.
选③：向量与平行，
，
，
，，.
（2）解：，
，
.
为锐角三角形，
，
，
，
周长的取值范围为.
（3）解：，
又由中线公式可得，
，
即，
为锐角三角形，
，
，，
.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）选①，根据正弦定理化简，再转化成余弦值，则根据三角形中角C的取值范围得出角C的值.
选②，根据正弦定理化简求出角C的余弦值，再结合三角形中角C的取值范围，从而得出角C的值.
选③，先根据向量共线的坐标和正弦定理以及同角三角函数基本关系式，从而得出角C的正切值，再结合三角形中角C的取值范围，从而得出角C的值.
（2）根据（1）中结果和的值，把周长转化成，再结合正弦型函数求值域的方法，从而得出周长的取值范围.
（3）根据中线公式和正弦定理以及三角恒等变换公式，则把转化成正弦型函数，再结合锐角三角形中角A和角B的取值范围和（1）中角C的值以及三角形内角和定理，从而得出角A的取值范围，再根据不等式的基本性质和正弦型函数的图象求值域的方法，从而得出中线的取值范围.
（1）选①：因为，
，即，
，，.
选②：，
，
，
，，.
选③：向量与平行，
，
，
，，.
（2），
，
.
为锐角三角形，
，
，
.
周长的取值范围为.
（3），
又由中线公式可得，
.
即，
为锐角三角形，
，
，.
.
18．（2024高一下·余姚期中）三棱台中，若面，，，，，分别是，中点.
（1）求与所成角的余弦值；
（2）求平面与平面所成成角的余弦值；
（3）求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）解：连接，
由分别是的中点，根据中位线性质，
得，且，
在三棱台中，可得，所以，
由，可得四边形是平行四边形，则，
所以为与所成角，
在中，由，
可得.
（2）解：过作，垂足为，过作，垂足为，连接
由面，面，得，
又因为，，平面，
则平面，
由平面，所以，
因为，，且平面，
所以平面，
由平面，可得，
所以平面与平面所成角即，
又因为，，则，
所以，
在直角中，，则，
所以.
（3）解： 过作，垂足为，作，垂足为，
连接，过作，垂足为，
由，，
可得，
由平面，平面，则，
因为，，平面，
所以平面，
又因为平面，则，
又因为，，平面，
所以平面，
在直角中，，
因为，
则点到平面的距离是到平面的距离的两倍，
即点到平面的距离是，
设所求角为，则.
【知识点】直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据题意证出和，从而得出为与所成角，在中，利用余弦定理得出与所成角的余弦值.
（2）过作，过作，连接，从而证出平面，
进而证出平面，则得到平面与所成角为，在直角中结合勾股定理和余弦函数的定义，从而得出平面与平面所成成角的余弦值.
（3）过作，作，连接，由平面得出和，从而得到平面和平面，在直角中结合三角形面积相等求出的长，从而求出到平面的距离，再根据正弦函数的定义得出与平面所成角的正弦值.
（1）解：连接.由分别是的中点，
根据中位线性质，得，且，
在三棱台中，可得，所以，
由，可得四边形是平行四边形，则，
所以为与所成角，
在中，由，
可得.
（2）解：过作，垂足为，过作，垂足为，连接.
由面，面，故，
又因为，，平面，则平面.
由平面，故，
因为，，且平面，于是平面，
由平面，可得，
所以平面与平面所成角即，
又因为，，则，
所以，
在直角中，，则，所以.
（3）解： 过作，垂足为，作，垂足为，
连接，过作，垂足为，
由，，可得，
由平面，平面，则，
因为，，平面，于是平面，
又因为平面，则，
因为，，平面，所以平面，
在直角中，，
因为，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍，
即点到平面的距离是，设所求角为，则.
19．（2024高一下·余姚期中）如图①，在矩形中，，为的中点，如图②，将沿折起，点在线段上．
（1）若，求证平面；
（2）若平面平面，是否存在点，使得平面与平面垂直？若存在，求此时三棱锥的体积，若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明：如图，连，交于，在矩形中，为中点，
，且，，
因为，，
又因为平面，平面，
平面．
（2）解：.
在矩形中，，，，即，
因为因为平面平面，又平面平面，
平面，平面，，①
取中点，则，
平面平面，平面平面，
平面，
由（1）知当时，，
，，②
因为，平面，平面，
又因为平面，平面平面，
则当时，平面与平面垂直，
依题意得，，，
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据已知条件和平行线分线段成比例定理，再结合线面平行的判定定理，从而证出平面.
（2）根据（1）中的结论和矩形的性质，利用面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理，再结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，再利用等体积法和棱锥的体积公式，从而得出存在点，使得平面与平面垂直，并求出此时三棱锥的体积.
（1）如图，连，交于，在矩形中，为中点，
，且，，
又，，又平面，平面，
平面．
（2）存在点，使得平面与平面垂直.
在矩形中，，，，即，
已知平面平面，又平面平面，
平面，平面，．①
取中点，则，
平面平面，平面平面，平面，
由（1）知当时，，
，．②
而，平面，平面，又平面，平面平面．
即当时，平面与平面垂直．
依题意有，，，
．
1 / 1
