甘肃省兰州市皋兰县第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·皋兰期中）若是纯虚数（其中i为虚数单位），则实数（ ）
A．±3 B．±1 C．-1 D．3
2．（2024高一下·皋兰期中）计算的值（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·皋兰期中）已知，在上的投影为，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·皋兰期中）小王为了了解现在人们的网购途径，随机对1000名市民进行走访调查，统计结果如图所示，下列表述错误的是（ ）
A．
B．这1000名市民中，不在淘宝网购物的人数为545人
C．这1000名市民中，通过其他方式购物的人数超过100人
D．这1000名市民中，在京东商城购物的人数比在唯品会购物的人数多165人
5．（2024高一下·皋兰期中）已知向量 若，则（ ）
A． B．1 C． D．4
6．（2024高一下·皋兰期中）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·皋兰期中）如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为，然后从点C处沿南偏东方向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度是（ ）
A．70米 B．80米 C．90米 D．100米
8．（2024高一下·皋兰期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·皋兰期中）为了了解参加运动会的1500名运动员的年龄情况，从中抽取了150名运动员的年龄进行调查，则下列说法正确的是（ ）
A．1500名运动员的年龄是总体
B．抽取到的150名运动员是样本
C．这个抽样方法可以采取随机数表法抽样
D．每个运动员被抽到的机会相等
10．（2024高一下·皋兰期中）已知i为虚数单位，复数，则（ ）
A．的共轭复数为
B．
C．为实数
D．在复平面内对应的点在第一象限
11．（2024高一下·皋兰期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则只有一解
C．若，则为直角三角形
D．
12．（2024高一下·皋兰期中），两班共100人，现采取分层随机抽样的方法抽取10人的样本进行问卷调查，若样本中有4人来自班，则班的人数为 .
13．（2024高一下·皋兰期中）若，则 .
14．（2024高一下·皋兰期中）已知向量，若三点共线，则 .
15．（2024高一下·皋兰期中）设是实数，复数，（是虚数单位）．
（1）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围；
（2）求的最小值．
16．（2024高一下·皋兰期中）已知向量，．
（1）求的值；
（2）求向量与夹角的余弦值．
17．（2024高一下·皋兰期中）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，随机抽查了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），将所得到的数据分成7组：，，，，，，（棉花纤维的长度均在内），绘制得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值，并估计棉花纤维的长度的众数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作为代表）；
（2）估计棉花纤维的长度的75%分位数．
18．（2024高一下·皋兰期中）已知，，角β的终边过点.
（1）求的值；
（2）求的值.
19．（2024高一下·皋兰期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
因为是纯虚数，所以，解得.
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再根据题意列出方程组求解即可.
2．【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：C．
【分析】利用两角差的余弦公式结合特殊角的三角函数值即可求解.
3．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，在上的投影为，即，所以.
故答案为：C.
【分析】根据平面向量的数量积的几何意义求解即可.
4．【答案】C
【知识点】收集数据的方法；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】解：A、易知，则，故A正确；
B、由扇形统计图可得不在淘宝网购物的市民的频率为1
所以这1000名市民中，不在淘宝网购物的人数为人，故B正确；
C、，通过其他方式购物的市民的频率为，
则通过其他方式购物的市民的人数为人，，故C错误；
D、这1000名市民中，在京东商城购物的人数为人，
这1000名市民中，在唯品会购物的人数为人，所以这1000名市民中，在京东商城购物的人数比在唯品会购物的人数多， 故D正确.
故答案为：C.
【分析】根据扇形统计图的性质求即可判断A；由扇形统计图求出不在淘宝网购物的市民的频率，再求对应的人数即可判断B；通过其他方式购物的市民的频率，求出对应人数即可判断C；分别求出在京东商城购物的人数和在唯品会购物的人数，相减即可判断D.
5．【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，且，所以，解得.
故答案为： C.
【分析】根据向量平行的坐标表示列式求解即可.
6．【答案】B
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：因为，
所以由余弦定理，可得，解得，
由正弦定理可得．
故答案为：B.
【分析】由题意，利用余弦定理可求的值，再根据正弦定理求的值即可．
7．【答案】A
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得，，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，即，
（舍去）或，
故铁塔的高度是70米.
故答案为：A.
【分析】先由题意得出，，在中，再由余弦定理结合一元二次方程求解方法得出满足要求的铁塔的高度.
8．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；辅助角公式
【解析】【解答】解：已知，则，
则，
故答案为：D.
【分析】先利用辅助角公式求得，再利用二倍角公式即可求解.
9．【答案】B,D
【知识点】总体与个体；随机数法
【解析】【解答】解：A、1500名运动员是总体，故A错误；
B、抽取到的150名运动员是样本，故B正确；
C、随机数表法常常用于总体的个体较少时，当总体中的个体数较多时，编号复杂，将总体“搅拌均匀”也比较困难，用随机数表法产生的代表性不合理，故C错误；
D、根据简单的随机抽样时，每个运动员被抽到的机会是相等的，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据总体、样本的定义，结合随机抽样的性质逐项判断即可.
10．【答案】B,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】解：A、 复数 ，则的共轭复数为，故A错误；
B、易知，则，故B正确；
C、复数，则为复数，故C错误；
D、易知，在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据共轭复数的定义即可判断A；根据模长的计算公式即可判断B；根据复数的加法，结合复数的概念即可判断C；根据复数代数形式的乘法运算，结合复数在复平面内的表示求解即可判断D.
11．【答案】A,D
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】对于A选项，由，有，由正弦定理可得，故A选项正确；
对于B选项，由，可知ABC有两解，可知B选项错误；
对于C选项，由，得，有，可得或，可知C选项错误；
对于D选项，若ABC为锐角三角形或直角三角形，有；若ABC为钝角三角形，
不妨设C为钝角，有，，，有，可知D选项正确．
故选：AD．
【分析】对于A选项，利用正弦定理判断；对于B选项，利用正弦定理判断；对于C选项，利用正弦定理，由，得到判断；对于D选项，分ABC为锐角三角形，直角三角形，ABC为钝角三角形判断.
12．【答案】
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：由分层抽样的概念和计算方法，
可得（人）.
故答案为：.
【分析】根据分层抽样的方法结合已知条件，从而列出方程，即可得出班的人数.
13．【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，
则，解得.
故答案为：.
【分析】将两端分别平方，结合同角三角函数基本关系以及正弦的二倍角公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可知，，
因为三点共线，所以与共线，所以，解得.
故答案为：.
【分析】先利用向量加法坐标运算求得，进而利用向量共线的坐标运算列式求得m的值即可.
15．【答案】（1）解：由已知可得，，
因为复数在复平面内对应的点在第二象限，
所以，解得.
（2）解：由已知可得，，
所以，
所以，
，
所以，当时，有最小值为.
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模；共轭复数
【解析】【分析】（1）根据复数的几何意义结合已知条件，从而列出不等式组，解不等式组得出实数a的取值范围.
（2）由已知条件可得，再根据复数求模公式化简结合二次函数求最值的方法，从而得出的最小值.
（1）由已知可得，.
因为在复平面内对应的点在第二象限，所以有，
解得.
（2）由已知可得，，
所以，
所以，，
所以，当时，有最小值为.
16．【答案】（1）解：∵，，
∴，，
∴.
（2）解：设与的夹角为，
则，，，
，，
∴，
∴向量与夹角的余弦值为．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）根据已知条件和平面向量的坐标运算以及向量求模的坐标表示，从而得出的值.
（2）根据已知条件和数量积求得向量的模以及向量的夹角，从而得出向量与夹角的余弦值．
（1）∵，，
∴，
，
∴；
（2）设与的夹角为，则，
，，
，，
∴，
∴向量与夹角的余弦值为．
17．【答案】（1）解：由频率分布直方图知
解得，
因为最高小矩形底边中点横坐标为众数，
可得众数为，
平均数为： .
（2）解：设棉花纤维的长度的75%分位数为，
所以，
解得．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图中各小组矩形的面积等于各小组的频率，结合频率之和等于1，从而得出的值，再利用频率分布直方图求众数和平均数的方法，从而估计出棉花纤维的长度的众数和平均数.
（2）设棉花纤维的长度的75%分位数为，再结合频率分布直方图求分位数的方法，从而得出，解方程可得答案.
（1）解：由频率分布直方图知，
解得．
最高小矩形底边中点横坐标即为众数，可得众数为．
平均数；
（2）解：设棉花纤维的长度的75%分位数为，
所以，解得．
18．【答案】（1）解：∵，∴为第三象限角，故，
∵，∴，
∴.
（2）解：由（1）得，，故，，
又角β的终边过点，故为第一象限角，，
∴.
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式
【解析】【分析】（1）根据已知可判断为第三象限角可求得，利用两角和的正弦公式求解即可；
（2）由（1）可得，利用二倍角的正切公式得，角β的终边过点，可得，利用两角差的正切公式即可求解.
19．【答案】（1）解：在中，，由正弦定理可得，则，
由余弦定理得，
因为，所以；
（2）解：因为，所以，
因为D是线段AC的中点，所以，
所以，
由正弦定理得，所以，，
所以
，
又为锐角三角形，所以，解得，所以，
即，则，所以，
即，则BD的长的取值范围是.
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理化简求解即可；
（2）由中线向量公式来计算中线长，再利用边化角得到中线与角的三角函数，再利用三角恒等变换，结合锐角三角形得到角的范围，即可求出中线长的取值范围.
（1）因为，由正弦定理得，
所以，
由余弦定理得，
又，所以；
（2）因为，所以．
因为D是线段AC的中点，所以，
所以，
由正弦定理得，所以，，
所以
，
又为锐角三角形，所以，解得，所以，
即，则，所以，
即，则BD的长的取值范围是．
1 / 1甘肃省兰州市皋兰县第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·皋兰期中）若是纯虚数（其中i为虚数单位），则实数（ ）
A．±3 B．±1 C．-1 D．3
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
因为是纯虚数，所以，解得.
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再根据题意列出方程组求解即可.
2．（2024高一下·皋兰期中）计算的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：C．
【分析】利用两角差的余弦公式结合特殊角的三角函数值即可求解.
3．（2024高一下·皋兰期中）已知，在上的投影为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，在上的投影为，即，所以.
故答案为：C.
【分析】根据平面向量的数量积的几何意义求解即可.
4．（2024高一下·皋兰期中）小王为了了解现在人们的网购途径，随机对1000名市民进行走访调查，统计结果如图所示，下列表述错误的是（ ）
A．
B．这1000名市民中，不在淘宝网购物的人数为545人
C．这1000名市民中，通过其他方式购物的人数超过100人
D．这1000名市民中，在京东商城购物的人数比在唯品会购物的人数多165人
【答案】C
【知识点】收集数据的方法；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】解：A、易知，则，故A正确；
B、由扇形统计图可得不在淘宝网购物的市民的频率为1
所以这1000名市民中，不在淘宝网购物的人数为人，故B正确；
C、，通过其他方式购物的市民的频率为，
则通过其他方式购物的市民的人数为人，，故C错误；
D、这1000名市民中，在京东商城购物的人数为人，
这1000名市民中，在唯品会购物的人数为人，所以这1000名市民中，在京东商城购物的人数比在唯品会购物的人数多， 故D正确.
故答案为：C.
【分析】根据扇形统计图的性质求即可判断A；由扇形统计图求出不在淘宝网购物的市民的频率，再求对应的人数即可判断B；通过其他方式购物的市民的频率，求出对应人数即可判断C；分别求出在京东商城购物的人数和在唯品会购物的人数，相减即可判断D.
5．（2024高一下·皋兰期中）已知向量 若，则（ ）
A． B．1 C． D．4
【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，且，所以，解得.
故答案为： C.
【分析】根据向量平行的坐标表示列式求解即可.
6．（2024高一下·皋兰期中）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：因为，
所以由余弦定理，可得，解得，
由正弦定理可得．
故答案为：B.
【分析】由题意，利用余弦定理可求的值，再根据正弦定理求的值即可．
7．（2024高一下·皋兰期中）如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为，然后从点C处沿南偏东方向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度是（ ）
A．70米 B．80米 C．90米 D．100米
【答案】A
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得，，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，即，
（舍去）或，
故铁塔的高度是70米.
故答案为：A.
【分析】先由题意得出，，在中，再由余弦定理结合一元二次方程求解方法得出满足要求的铁塔的高度.
8．（2024高一下·皋兰期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；辅助角公式
【解析】【解答】解：已知，则，
则，
故答案为：D.
【分析】先利用辅助角公式求得，再利用二倍角公式即可求解.
9．（2024高一下·皋兰期中）为了了解参加运动会的1500名运动员的年龄情况，从中抽取了150名运动员的年龄进行调查，则下列说法正确的是（ ）
A．1500名运动员的年龄是总体
B．抽取到的150名运动员是样本
C．这个抽样方法可以采取随机数表法抽样
D．每个运动员被抽到的机会相等
【答案】B,D
【知识点】总体与个体；随机数法
【解析】【解答】解：A、1500名运动员是总体，故A错误；
B、抽取到的150名运动员是样本，故B正确；
C、随机数表法常常用于总体的个体较少时，当总体中的个体数较多时，编号复杂，将总体“搅拌均匀”也比较困难，用随机数表法产生的代表性不合理，故C错误；
D、根据简单的随机抽样时，每个运动员被抽到的机会是相等的，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据总体、样本的定义，结合随机抽样的性质逐项判断即可.
10．（2024高一下·皋兰期中）已知i为虚数单位，复数，则（ ）
A．的共轭复数为
B．
C．为实数
D．在复平面内对应的点在第一象限
【答案】B,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】解：A、 复数 ，则的共轭复数为，故A错误；
B、易知，则，故B正确；
C、复数，则为复数，故C错误；
D、易知，在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据共轭复数的定义即可判断A；根据模长的计算公式即可判断B；根据复数的加法，结合复数的概念即可判断C；根据复数代数形式的乘法运算，结合复数在复平面内的表示求解即可判断D.
11．（2024高一下·皋兰期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则只有一解
C．若，则为直角三角形
D．
【答案】A,D
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】对于A选项，由，有，由正弦定理可得，故A选项正确；
对于B选项，由，可知ABC有两解，可知B选项错误；
对于C选项，由，得，有，可得或，可知C选项错误；
对于D选项，若ABC为锐角三角形或直角三角形，有；若ABC为钝角三角形，
不妨设C为钝角，有，，，有，可知D选项正确．
故选：AD．
【分析】对于A选项，利用正弦定理判断；对于B选项，利用正弦定理判断；对于C选项，利用正弦定理，由，得到判断；对于D选项，分ABC为锐角三角形，直角三角形，ABC为钝角三角形判断.
12．（2024高一下·皋兰期中），两班共100人，现采取分层随机抽样的方法抽取10人的样本进行问卷调查，若样本中有4人来自班，则班的人数为 .
【答案】
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：由分层抽样的概念和计算方法，
可得（人）.
故答案为：.
【分析】根据分层抽样的方法结合已知条件，从而列出方程，即可得出班的人数.
13．（2024高一下·皋兰期中）若，则 .
【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，
则，解得.
故答案为：.
【分析】将两端分别平方，结合同角三角函数基本关系以及正弦的二倍角公式求解即可.
14．（2024高一下·皋兰期中）已知向量，若三点共线，则 .
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可知，，
因为三点共线，所以与共线，所以，解得.
故答案为：.
【分析】先利用向量加法坐标运算求得，进而利用向量共线的坐标运算列式求得m的值即可.
15．（2024高一下·皋兰期中）设是实数，复数，（是虚数单位）．
（1）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围；
（2）求的最小值．
【答案】（1）解：由已知可得，，
因为复数在复平面内对应的点在第二象限，
所以，解得.
（2）解：由已知可得，，
所以，
所以，
，
所以，当时，有最小值为.
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模；共轭复数
【解析】【分析】（1）根据复数的几何意义结合已知条件，从而列出不等式组，解不等式组得出实数a的取值范围.
（2）由已知条件可得，再根据复数求模公式化简结合二次函数求最值的方法，从而得出的最小值.
（1）由已知可得，.
因为在复平面内对应的点在第二象限，所以有，
解得.
（2）由已知可得，，
所以，
所以，，
所以，当时，有最小值为.
16．（2024高一下·皋兰期中）已知向量，．
（1）求的值；
（2）求向量与夹角的余弦值．
【答案】（1）解：∵，，
∴，，
∴.
（2）解：设与的夹角为，
则，，，
，，
∴，
∴向量与夹角的余弦值为．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）根据已知条件和平面向量的坐标运算以及向量求模的坐标表示，从而得出的值.
（2）根据已知条件和数量积求得向量的模以及向量的夹角，从而得出向量与夹角的余弦值．
（1）∵，，
∴，
，
∴；
（2）设与的夹角为，则，
，，
，，
∴，
∴向量与夹角的余弦值为．
17．（2024高一下·皋兰期中）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，随机抽查了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），将所得到的数据分成7组：，，，，，，（棉花纤维的长度均在内），绘制得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值，并估计棉花纤维的长度的众数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作为代表）；
（2）估计棉花纤维的长度的75%分位数．
【答案】（1）解：由频率分布直方图知
解得，
因为最高小矩形底边中点横坐标为众数，
可得众数为，
平均数为： .
（2）解：设棉花纤维的长度的75%分位数为，
所以，
解得．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图中各小组矩形的面积等于各小组的频率，结合频率之和等于1，从而得出的值，再利用频率分布直方图求众数和平均数的方法，从而估计出棉花纤维的长度的众数和平均数.
（2）设棉花纤维的长度的75%分位数为，再结合频率分布直方图求分位数的方法，从而得出，解方程可得答案.
（1）解：由频率分布直方图知，
解得．
最高小矩形底边中点横坐标即为众数，可得众数为．
平均数；
（2）解：设棉花纤维的长度的75%分位数为，
所以，解得．
18．（2024高一下·皋兰期中）已知，，角β的终边过点.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：∵，∴为第三象限角，故，
∵，∴，
∴.
（2）解：由（1）得，，故，，
又角β的终边过点，故为第一象限角，，
∴.
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式
【解析】【分析】（1）根据已知可判断为第三象限角可求得，利用两角和的正弦公式求解即可；
（2）由（1）可得，利用二倍角的正切公式得，角β的终边过点，可得，利用两角差的正切公式即可求解.
19．（2024高一下·皋兰期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围．
【答案】（1）解：在中，，由正弦定理可得，则，
由余弦定理得，
因为，所以；
（2）解：因为，所以，
因为D是线段AC的中点，所以，
所以，
由正弦定理得，所以，，
所以
，
又为锐角三角形，所以，解得，所以，
即，则，所以，
即，则BD的长的取值范围是.
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理化简求解即可；
（2）由中线向量公式来计算中线长，再利用边化角得到中线与角的三角函数，再利用三角恒等变换，结合锐角三角形得到角的范围，即可求出中线长的取值范围.
（1）因为，由正弦定理得，
所以，
由余弦定理得，
又，所以；
（2）因为，所以．
因为D是线段AC的中点，所以，
所以，
由正弦定理得，所以，，
所以
，
又为锐角三角形，所以，解得，所以，
即，则，所以，
即，则BD的长的取值范围是．
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