山东省潍坊市安丘市青云学府2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·安丘期中）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：因为，
则.
故答案为：C.
【分析】利用复数的运算法则和虚数单位的周期性以及虚数的运算性质，从而得出复数z.
2．（2024高一下·安丘期中）若，是第三象限的角，则
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：是第三象限角，
，且，
因此，，
故答案为：B.
【分析】先利用同角三角函数的基本关系计算出的值，再利用两角和的正弦公式计算出的值.
3．（2024高一下·安丘期中）在△ 中， 为 边上的中线，E为 的中点，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：根据向量的运算法则，可得
，
所以 ，
故答案为：A.
【分析】首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 ，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到 ，之后将其合并，得到 ，下一步应用相反向量，求得 ，从而求得结果.
4．（2024高一下·安丘期中）如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点之间的距离为，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：方法一：在中，，
因为，
，
由正弦定理得：，所以，
所以树的高度为.
方法二：设树高为，则，则.
故答案为：A.
【分析】利用两种方法求解.
方法一：在中，利用正弦定理得出PB的长，再结合正弦函数的定义得出树的高度.
方法二：设树高为，则由得出树的高度.
5．（2024高一下·安丘期中）在中，，，则角A的大小为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：由题意知中，，，
故，即，
因为，故，则或，
故角A的大小为或.
故答案为：D.
【分析】利用正弦定理得出角C的值，再根据三角形内角和定理得出角A的值.
6．（2024高一下·安丘期中）已知向量在的投影向量为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意，所以.
故答案为：D.
【分析】由已知条件和数量积求投影向量的公式以及数量积的定义，从而得出的值.
7．（2024高一下·安丘期中）在中，内角所对的边分别为，则下列判断正确的是（ ）
A．，，，有两解 B．，，，有一解
C．，，，有一解 D．，，，无解
【答案】D
【知识点】解三角形
【解析】【解答】解：对于选项A：因为，故只有一解，故A错误；
对于选项B：因为，故有两解，故B错误；
对于选项C：因为，故有两解，故C错误；
对于选项D：因为，故无解，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和三角形边角关系以及解三角形的方法，从而判断出三角形的解的个数，进而找出正确的选项.
8．（2024高一下·安丘期中）在锐角中，角的对边分别为，的面积为，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在中，，
由得，
因为，所以，
由余弦定理得，则，故，
又由正弦定理得，
整理得，
因为，故或（舍去），得，
为锐角三角形，故，解得，故，
所以的取值范围是．
故答案为：C.
【分析】由面积公式与正弦定理、余弦定理化简后得出关系，结合锐角三角形求出范围，进行求解.
9．（2024高一下·安丘期中）已知复数，为的共轭复数，则（ ）
A．的虚部是 B．
C． D．是方程的一个根
【答案】B,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：对于A：因为，所以，则的虚部是，故A错误；
对于B：因为，所以，
所以，故B正确；
对于C：因为，
，
则，故C错误；
对于D：因为，
故是方程的一个根，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用共轭复数的定义和复数虚部的定义，则判断出选项A；利用复数的运算法则和复数求模公式，则判断出选项B；利用共轭复数的定义和复数的运算法则以及复数求模公式，则判断出选项C；利用共轭复数定义和方程求根公式以及复数相等的判断方法，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．（2024高一下·安丘期中）函数（）的图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．是奇函数
C．的图象关于直线对称
D．若（）在上有且仅有两个零点，则
【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数零点存在定理；含三角函数的复合函数的对称性；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【解答】解：依题意，，
由，得，解得，
又因为，解得，
则，所以的最小正周期为，故A正确；
因为是偶函数，故B错误；
因为，令，
则，
所以的图象关于直线对称，故C正确；
因为，，当时，，
依题意，，解得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再结合图中图象求出的值，从而得出函数的解析式，再利用正弦型函数的最小正周期公式、奇函数的定义、函数的图象的对称性判断方法、零点存在性定理，从而逐项判断找出正确的选项.
11．（2024高一下·安丘期中）已知是单位向量，且，则（ ）
A． B．与垂直
C．与的夹角为 D．
【答案】B,C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由，
得，所以A错误；
因为是单位向量，
将两边平方得，
得，即与垂直，所以B正确；
由，
所以，所以D错误；
设与的夹角为，
则，
所以与的夹角为，所以C正确．
故答案为：BC．
【分析】根据向量的模的坐标表示可判断选项A；将两边平方可得，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系，则判断选项B；根据向量的模的计算公式可判断选项D；根据数量积求向量的夹角公式，则可判断选项C，从而找出正确的选项.
12．（2024高一下·安丘期中）化简： .
【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：
.
故答案为：.
【分析】利用诱导公式和半角公式化简为，再结合二倍角的正弦公式化简得出答案.
13．（2024高一下·安丘期中）记的内角的对边分别为，且．角的大小为 ．
【答案】或
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：因为，
所以，即，
又因为，所以，解得或.
故答案为：或.
【分析】根据对原方程化简，再结合三角形中角C的取值范围求出的值，从而得出角C的值.
14．（2024高一下·安丘期中）设为复数，若，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：设，
则，
又因为，
所以，
所以，即
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】设，利用模的公式求出的关系，再利用关系消元结合b的取值范围，最后由复数求模公式求解出的最大值.
15．（2024高一下·安丘期中）已知复数，其中是正实数，是虚数单位
（1）如果为纯虚数，求实数的值；
（2）如果，是关于的方程的一个复根，求的值.
【答案】（1）解：因为，所以，
因为为纯虚数，所以，解得（负值舍去），
所以.
（2）解：因为，所以，
则，
因为是关于的方程的一个复根，
所以与是的两个复根，
故，则，所以.
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；方程在复数范围内的解集
【解析】【分析】（1）先利用复数的四则运算求出复数，再利用复数为纯虚数的判断方法，从而得出实数a的值.
（2）先利用复数的四则运算化简复数，从而得到题中方程的两个复根，再利用韦达定理得出b，c的值，从而得出b+c的值.
（1）因为，所以，
因为为纯虚数，所以，解得（负值舍去），
所以.
（2）因为，所以，
则，
因为是关于的方程的一个复根，
所以与是的两个复根，
故，则，
所以.
16．（2024高一下·安丘期中）已知向量.
（1）当且时，求；
（2）当时，求与夹角的余弦值.
【答案】（1）解：当且时，，即，
所以，解得（负值舍去），
所以，
所以，
所以.
（2）解：因为，，
则，
又因为，，
所以，解得，所以，
则，
即与夹角的余弦值为.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示求出的值，再利用向量的模的坐标公式，从而得出的值.
（2）根据向量共线的坐标表示求出的值，再利用数量积求向量的夹角公式得出与夹角的余弦值.
（1）当且时，，即，
所以，解得（负值舍去），
所以，
所以，
所以；
（2），，
则，又，，
所以，解得，所以，
则，
即与夹角的余弦值为.
17．（2024高一下·安丘期中）已知向量，，函数.
（1）若，且，求的值；
（2）将图象上所有的点向右平移个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，得到函数的图象，当时，解不等式.
【答案】（1）解： 因为，，函数，
所以
，
因为，
所以，
所以，
又因为，所以，
所以，
.
（2）解：将图象上所有的点向右平移个单位得到，
再将向下平移1个单位得到，
最后将的所有点的纵坐标变为原来的得到，即，
由，即，
所以，，
解得，，
令，可得，令，可得，
又因为，所以，
则在时不等式的解集为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；两角和与差的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）根据数量积的坐标表示和三角恒等变换公式化简，依题意可得，从而求出，再由结合两角差的余弦公式，从而计算可得的值.
（2）根据三角型函数的图象变换求出函数的解析式，再根据x的取值范围和正弦型函数的图象，从而解出不等式的解集.
（1）因为，，函数，
所以
，
因为，所以，所以，
又，所以，
所以，
所以
.
（2）将图象上所有的点向右平移个单位得到，
再将向下平移1个单位得到，
最后将的所有点的纵坐标变为原来的得到，
即，
由，即，所以，，
解得，，
令可得，令可得，
又，所以，
即在时不等式的解集为.
18．（2024高一下·安丘期中）在路边安装路灯，灯柱与地面垂直(满足)，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，.
（1）当时，求四边形的面积；
（2）求灯柱的高(用表示)；
（3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值.
【答案】解：（1）依题意，如图所示：
，，
，又，
，
又因为，
所以为正三角形，则，
在中，因为，
所以，
故四边形的面积为：.
（2）因为，，
所以，
又因为灯柱与地面垂直，即，
所以，
又因为，
所以，
在中，，
则，
在中，，
则.
（3）在中，，
则
所以，
因为，
所以，
所以，当时，.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）计算，，从而判断出为正三角形，再根据三角形的面积公式分别求出和的面积，再相加得出四边形的面积.
（2）先利用已知条件计算出，再根据正弦定理得出，从而得出灯柱的高.
（3）根据正弦定理得到，，再根据角的取值范围得出，从而得出的最小值.
19．（2024高一下·安丘期中）已知锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，且，
（1）求；
（2）若为边上的高，过点分别作边、的垂线，垂足分别为、，
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求的最大值．
【答案】（1）解：因为，
所以，
则，
即，
又因为，
所以，
所以，
又因为，所以，所以，即，
又因为，所以.
（2）（ⅰ）证明：因为，即，
由余弦定理，则，
所以，则，
所以，
又因为，所以，
所以.
（ⅱ）解：设，，
在中，
由余弦定理得出，
由（ⅰ）可得，，
因为，则，
所以且，
则，即，
则，所以，，
所以，
且，，
令，则原式
且，当且仅当时取等号，所以，
又因为越大则的值越小，
所以，
所以，当时，取得最大值，
则，所以.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）依题意可得，利用诱导公式和两角和差角公式，从而得到的值，再结合三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
（2）（ⅰ）由余弦定理得到，再由已知条件得到的值，由三角形的面积公式和等面积法得到，从而证出.
（ⅱ）设，，在中，由余弦定理得出，由三角形相似对应边成比例，从而得到，，进而得到，，则，再利用换元法和基本不等式求最值的方法，从而求出的最大值，进而求出的最大值.
（1）因为，
所以，
即，
即，
又，
所以，
所以，
又，所以，所以，即，
因为，所以.
（2）（ⅰ）因为，即，
由余弦定理，即，
所以，则，
所以，
又，所以，
所以；
（ⅱ）设，，
在中由余弦定理，
由（ⅰ）可得，，
因为，即，即，
且，即，即，
则，所以，，
所以，
且，，
令，则原式，
且，当且仅当时取等号，
所以，又越大则的值越小，
所以，
所以当时，取得最大值，
即，所以.
1 / 1山东省潍坊市安丘市青云学府2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·安丘期中）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·安丘期中）若，是第三象限的角，则
A． B． C． D．
3．（2024高一下·安丘期中）在△ 中， 为 边上的中线，E为 的中点，则 （ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高一下·安丘期中）如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点之间的距离为，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·安丘期中）在中，，，则角A的大小为（ ）
A． B．或 C． D．或
6．（2024高一下·安丘期中）已知向量在的投影向量为，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·安丘期中）在中，内角所对的边分别为，则下列判断正确的是（ ）
A．，，，有两解 B．，，，有一解
C．，，，有一解 D．，，，无解
8．（2024高一下·安丘期中）在锐角中，角的对边分别为，的面积为，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·安丘期中）已知复数，为的共轭复数，则（ ）
A．的虚部是 B．
C． D．是方程的一个根
10．（2024高一下·安丘期中）函数（）的图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．是奇函数
C．的图象关于直线对称
D．若（）在上有且仅有两个零点，则
11．（2024高一下·安丘期中）已知是单位向量，且，则（ ）
A． B．与垂直
C．与的夹角为 D．
12．（2024高一下·安丘期中）化简： .
13．（2024高一下·安丘期中）记的内角的对边分别为，且．角的大小为 ．
14．（2024高一下·安丘期中）设为复数，若，则的最大值为 .
15．（2024高一下·安丘期中）已知复数，其中是正实数，是虚数单位
（1）如果为纯虚数，求实数的值；
（2）如果，是关于的方程的一个复根，求的值.
16．（2024高一下·安丘期中）已知向量.
（1）当且时，求；
（2）当时，求与夹角的余弦值.
17．（2024高一下·安丘期中）已知向量，，函数.
（1）若，且，求的值；
（2）将图象上所有的点向右平移个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，得到函数的图象，当时，解不等式.
18．（2024高一下·安丘期中）在路边安装路灯，灯柱与地面垂直(满足)，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，.
（1）当时，求四边形的面积；
（2）求灯柱的高(用表示)；
（3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值.
19．（2024高一下·安丘期中）已知锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，且，
（1）求；
（2）若为边上的高，过点分别作边、的垂线，垂足分别为、，
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：因为，
则.
故答案为：C.
【分析】利用复数的运算法则和虚数单位的周期性以及虚数的运算性质，从而得出复数z.
2．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：是第三象限角，
，且，
因此，，
故答案为：B.
【分析】先利用同角三角函数的基本关系计算出的值，再利用两角和的正弦公式计算出的值.
3．【答案】A
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：根据向量的运算法则，可得
，
所以 ，
故答案为：A.
【分析】首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 ，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到 ，之后将其合并，得到 ，下一步应用相反向量，求得 ，从而求得结果.
4．【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：方法一：在中，，
因为，
，
由正弦定理得：，所以，
所以树的高度为.
方法二：设树高为，则，则.
故答案为：A.
【分析】利用两种方法求解.
方法一：在中，利用正弦定理得出PB的长，再结合正弦函数的定义得出树的高度.
方法二：设树高为，则由得出树的高度.
5．【答案】D
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：由题意知中，，，
故，即，
因为，故，则或，
故角A的大小为或.
故答案为：D.
【分析】利用正弦定理得出角C的值，再根据三角形内角和定理得出角A的值.
6．【答案】D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意，所以.
故答案为：D.
【分析】由已知条件和数量积求投影向量的公式以及数量积的定义，从而得出的值.
7．【答案】D
【知识点】解三角形
【解析】【解答】解：对于选项A：因为，故只有一解，故A错误；
对于选项B：因为，故有两解，故B错误；
对于选项C：因为，故有两解，故C错误；
对于选项D：因为，故无解，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和三角形边角关系以及解三角形的方法，从而判断出三角形的解的个数，进而找出正确的选项.
8．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在中，，
由得，
因为，所以，
由余弦定理得，则，故，
又由正弦定理得，
整理得，
因为，故或（舍去），得，
为锐角三角形，故，解得，故，
所以的取值范围是．
故答案为：C.
【分析】由面积公式与正弦定理、余弦定理化简后得出关系，结合锐角三角形求出范围，进行求解.
9．【答案】B,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：对于A：因为，所以，则的虚部是，故A错误；
对于B：因为，所以，
所以，故B正确；
对于C：因为，
，
则，故C错误；
对于D：因为，
故是方程的一个根，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用共轭复数的定义和复数虚部的定义，则判断出选项A；利用复数的运算法则和复数求模公式，则判断出选项B；利用共轭复数的定义和复数的运算法则以及复数求模公式，则判断出选项C；利用共轭复数定义和方程求根公式以及复数相等的判断方法，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数零点存在定理；含三角函数的复合函数的对称性；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【解答】解：依题意，，
由，得，解得，
又因为，解得，
则，所以的最小正周期为，故A正确；
因为是偶函数，故B错误；
因为，令，
则，
所以的图象关于直线对称，故C正确；
因为，，当时，，
依题意，，解得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再结合图中图象求出的值，从而得出函数的解析式，再利用正弦型函数的最小正周期公式、奇函数的定义、函数的图象的对称性判断方法、零点存在性定理，从而逐项判断找出正确的选项.
11．【答案】B,C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由，
得，所以A错误；
因为是单位向量，
将两边平方得，
得，即与垂直，所以B正确；
由，
所以，所以D错误；
设与的夹角为，
则，
所以与的夹角为，所以C正确．
故答案为：BC．
【分析】根据向量的模的坐标表示可判断选项A；将两边平方可得，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系，则判断选项B；根据向量的模的计算公式可判断选项D；根据数量积求向量的夹角公式，则可判断选项C，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：
.
故答案为：.
【分析】利用诱导公式和半角公式化简为，再结合二倍角的正弦公式化简得出答案.
13．【答案】或
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：因为，
所以，即，
又因为，所以，解得或.
故答案为：或.
【分析】根据对原方程化简，再结合三角形中角C的取值范围求出的值，从而得出角C的值.
14．【答案】
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：设，
则，
又因为，
所以，
所以，即
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】设，利用模的公式求出的关系，再利用关系消元结合b的取值范围，最后由复数求模公式求解出的最大值.
15．【答案】（1）解：因为，所以，
因为为纯虚数，所以，解得（负值舍去），
所以.
（2）解：因为，所以，
则，
因为是关于的方程的一个复根，
所以与是的两个复根，
故，则，所以.
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；方程在复数范围内的解集
【解析】【分析】（1）先利用复数的四则运算求出复数，再利用复数为纯虚数的判断方法，从而得出实数a的值.
（2）先利用复数的四则运算化简复数，从而得到题中方程的两个复根，再利用韦达定理得出b，c的值，从而得出b+c的值.
（1）因为，所以，
因为为纯虚数，所以，解得（负值舍去），
所以.
（2）因为，所以，
则，
因为是关于的方程的一个复根，
所以与是的两个复根，
故，则，
所以.
16．【答案】（1）解：当且时，，即，
所以，解得（负值舍去），
所以，
所以，
所以.
（2）解：因为，，
则，
又因为，，
所以，解得，所以，
则，
即与夹角的余弦值为.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示求出的值，再利用向量的模的坐标公式，从而得出的值.
（2）根据向量共线的坐标表示求出的值，再利用数量积求向量的夹角公式得出与夹角的余弦值.
（1）当且时，，即，
所以，解得（负值舍去），
所以，
所以，
所以；
（2），，
则，又，，
所以，解得，所以，
则，
即与夹角的余弦值为.
17．【答案】（1）解： 因为，，函数，
所以
，
因为，
所以，
所以，
又因为，所以，
所以，
.
（2）解：将图象上所有的点向右平移个单位得到，
再将向下平移1个单位得到，
最后将的所有点的纵坐标变为原来的得到，即，
由，即，
所以，，
解得，，
令，可得，令，可得，
又因为，所以，
则在时不等式的解集为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；两角和与差的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）根据数量积的坐标表示和三角恒等变换公式化简，依题意可得，从而求出，再由结合两角差的余弦公式，从而计算可得的值.
（2）根据三角型函数的图象变换求出函数的解析式，再根据x的取值范围和正弦型函数的图象，从而解出不等式的解集.
（1）因为，，函数，
所以
，
因为，所以，所以，
又，所以，
所以，
所以
.
（2）将图象上所有的点向右平移个单位得到，
再将向下平移1个单位得到，
最后将的所有点的纵坐标变为原来的得到，
即，
由，即，所以，，
解得，，
令可得，令可得，
又，所以，
即在时不等式的解集为.
18．【答案】解：（1）依题意，如图所示：
，，
，又，
，
又因为，
所以为正三角形，则，
在中，因为，
所以，
故四边形的面积为：.
（2）因为，，
所以，
又因为灯柱与地面垂直，即，
所以，
又因为，
所以，
在中，，
则，
在中，，
则.
（3）在中，，
则
所以，
因为，
所以，
所以，当时，.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）计算，，从而判断出为正三角形，再根据三角形的面积公式分别求出和的面积，再相加得出四边形的面积.
（2）先利用已知条件计算出，再根据正弦定理得出，从而得出灯柱的高.
（3）根据正弦定理得到，，再根据角的取值范围得出，从而得出的最小值.
19．【答案】（1）解：因为，
所以，
则，
即，
又因为，
所以，
所以，
又因为，所以，所以，即，
又因为，所以.
（2）（ⅰ）证明：因为，即，
由余弦定理，则，
所以，则，
所以，
又因为，所以，
所以.
（ⅱ）解：设，，
在中，
由余弦定理得出，
由（ⅰ）可得，，
因为，则，
所以且，
则，即，
则，所以，，
所以，
且，，
令，则原式
且，当且仅当时取等号，所以，
又因为越大则的值越小，
所以，
所以，当时，取得最大值，
则，所以.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）依题意可得，利用诱导公式和两角和差角公式，从而得到的值，再结合三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
（2）（ⅰ）由余弦定理得到，再由已知条件得到的值，由三角形的面积公式和等面积法得到，从而证出.
（ⅱ）设，，在中，由余弦定理得出，由三角形相似对应边成比例，从而得到，，进而得到，，则，再利用换元法和基本不等式求最值的方法，从而求出的最大值，进而求出的最大值.
（1）因为，
所以，
即，
即，
又，
所以，
所以，
又，所以，所以，即，
因为，所以.
（2）（ⅰ）因为，即，
由余弦定理，即，
所以，则，
所以，
又，所以，
所以；
（ⅱ）设，，
在中由余弦定理，
由（ⅰ）可得，，
因为，即，即，
且，即，即，
则，所以，，
所以，
且，，
令，则原式，
且，当且仅当时取等号，
所以，又越大则的值越小，
所以，
所以当时，取得最大值，
即，所以.
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