山东省青岛第三中学2023-2024学年高一下学期第一学段模块考试数学试题
1．（2024高一下·青岛期中）与共线的向量是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·青岛期中） 把函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高一下·青岛期中）已知α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）
A．若α∩β＝l，A∈α且A∈β，则A∈l
B．若A，B，C是平面α内不共线三点，A∈β，B∈β，则C β
C．若A∈α且B∈α，则直线AB α
D．若直线a α，直线b β，则a与b为异面直线
4．（2024高一下·青岛期中）已知，，，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·青岛期中）已知正四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，高为，则该四棱台的表面积为（ ）
A． B．34 C． D．68
6．（2024高一下·青岛期中）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·青岛期中）“五月的风”是坐落在山东省青岛市五四广场的标志性雕塑，重达500余吨，是我国目前最大的钢质城市雕塑，该雕塑充分展示了岛城的历史足迹.如图，现测量该雕塑的高度时，选取了与该雕塑底在同一平面内的两个测量基点与，测得，，，在点测得该雕塑顶端的仰角为40°，则该雕塑的高度约为（参考数据：取）（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·青岛期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称 B．为奇函数
C．在区间上单调递增 D．的图象关于直线对称
9．（2024高一下·青岛期中）已知，则的可能值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高一下·青岛期中） 对于，有如下命题，其中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则是等腰三角形
C．若，则为钝角三角形
D．若，，，则的面积为
11．（2024高一下·青岛期中）如图所示，四边形是由斜二测画法得到的平面四边形水平放置的直观图，其中，，，点在线段上，对应原图中的点，则在原图中下列说法正确的是（ ）
A．四边形的面积为14
B．与同向的单位向量的坐标为
C．在向量上的投影向量的坐标为
D．的最小值为17
12．（2024高一下·青岛期中）已知，，则 ．
13．（2024高一下·青岛期中）在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，，若，与的夹角为，则以下四个结论中：
①的最小值为；
②当时，；
③当时，；
④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 ．
14．（2024高一下·青岛期中）在直三棱柱中，各棱长均为2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 .
15．（2024高一下·青岛期中）已知向量，，．
（1）求
（2）若，求实数的值．
16．（2024高一下·青岛期中）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活、蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示，已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米．
（1）求该蒙古包的侧面积．
（2）求该蒙古包的体积．
17．（2024高一下·青岛期中）已知内角，，所对的边分别为，，，设向量，，且.
（1）求角；
（2）若，的面积为，求的周长.
18．（2024高一下·青岛期中）已知的内角所对的边分别为，．
（1）求角的大小；
（2）若，外接圆的半径为，内切圆半径为，求的最小值．
19．（2024高一下·青岛期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．在中，试解决以下问题：
（1）是三角形的重心（三条中线的交点），过点作一条直线分别交于点．
（ⅰ）记，请用表示；
（ⅱ），求的最小值．
（2）已知点是的垂心（三条高的交点），且，求．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A，因为，故A错误；
对于B，因为，故B正确；
对于C，因为，故C错误；
对于D，因为，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和共线向量的坐标表示，从而逐项判断找出正确的选项.
2．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：把函数的图象向左平移个单位长度后，
所得图象对应的函数为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合三角型函数的图象变换得出变换后的函数的图象，进而得出对应的函数的解析式.
3．【答案】D
【知识点】异面直线的判定；空间点、线、面的位置
【解析】【解答】解：根据A∈α且B∈β，则A是平面α和平面β的公共点，
又因为α∩β＝l，由基本事实3可得A∈l，故A正确；
由基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，
又因为A∈β，B∈β，且A，B，C∈α，则C β，故B正确；
由基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，故C正确；
由于平面α和平面β位置不确定，则直线a与直线b位置亦不确定，可能异面、相交、平行、重合，故D错误．
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合点、线、面的位置关系、异面直线的判断方法，从而逐项判断找出假命题的选项.
4．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
解得，
又因为，所以.
故答案为：D.
【分析】根据数量积运算律和数量积的定义，从而展开得出与的夹角的余弦值，再结合两向量夹角的取值范围，从而得出与的夹角.
5．【答案】C
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：由题意，在正四棱台中，上、下底面分别是边长为2和4的正方形，高为，
作出立体图如下图所示，
过点作，面于点，连接，由几何知识得，
，
在中，由勾股定理得，，
设该四棱台的一个侧面面积为
∴该四棱台的表面积为：
.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合中点的性质、勾股定理求出棱台侧面的高，再结合四棱台的表面积求解方法，从而求出该四棱台的表面积.
6．【答案】B
【知识点】三角函数的化简求值；辅助角公式
【解析】【解答】解：因为 ，可得，即，
又因为 ，则，可得，即，
所以 .
故答案为：B.
【分析】根据利用辅助角公式可得，即可得结果.
7．【答案】C
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，
在中，由，
得，
在中，.
故答案为：C.
【分析】在中，利用正弦定理先求出的长，再在中，由三角函数定义可得该雕塑的高度.
8．【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由题意可知，
又因为，所以，
则，所以，
则，，所以，，
又因为，所以，所以，则.
对于A：因为，故A错误；
对于B：因为为偶函数，故B错误；
对于C：因为，则，函数不具有单调性，故C错误；
对于D：当时，，则是函数的一条对称轴，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据函数的部分图象求出的值，再根据三角型函数的对称性、单调性、奇偶性，从而找出结论正确的选项.
9．【答案】B,D
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为，
所以，
所以当在第三象限时，有，
所以；
当在第四象限时，有，
所以。
故答案为：BD
【分析】利用已知条件结合两角差的正弦公式和诱导公式，进而得出角的正弦值，再利用分类讨论的方法和同角三角函数基本关系式和两角和的余弦公式，进而得出 的可能值 。
10．【答案】A,C
【知识点】正弦函数的图象；余弦定理
【解析】【解答】在中，若，根据大边对大角，则，由正弦定理得，故A正确；
对于B，因为，且，所以，
则或者，则则或者，则为等腰三角形或者直角三角形；故B错误；
对于C，若，则，
由正弦定理可得，由余弦定理得：，
因为，可知C为钝角，故C正确；
对于D，，，由余弦定理得：，
即，解得：，
则三角形ABC面积为.故D错误.
故选：AC.
【分析】根据题意，利用正、余弦定理以及三角形的面积公式，即可求出.
11．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由直观图可得，四边形为直角梯形，且，
则四边形的面积为，故A正确；
如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，则，
所以与同向的单位向量的坐标为，故B正确；
因为，
则在向量上的投影向量的坐标为，故C错误；
设，
则，
则，，
当时，取得最小值，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据直观图判断出四边形为直角梯形，从而可得原图形的面积，即可判断选项A；以点为坐标原点建立平面直角坐标系，得出的坐标，再根据与同向的单位向量为，即可判断选项B；根据在向量上的投影向量的坐标为，即可判断选项C；设，根据向量线性运算的坐标表示和向量的模的坐标表示，即可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以.
故答案为：.
【分析】根据平面向量的坐标运算，从而可得向量的坐标.
13．【答案】①②③
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：对于①，当与方向竖直向上时，的最小，此时，所以①正确；
对于②，当时，，，所以②正确；
对于③，当时，，，所以③正确；
对于④，由，当越大时，越小，越大，越费力，所以④错误．
故答案为：①②③．
【分析】由受力分析和已知条件以及向量求模公式、余弦函数的定义，几何法求向量的模的最小值的方法，从而逐项判断找出结论正确的序号.
14．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：设上下两个底面的中心分别为，连接，如图所示：
因为所有棱长为2的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上，
所以直三棱柱外接球的球心为的中点，
连接，在等边中，，
在直角中，，
所以直三棱柱外接球的半径，
所以球的表面积为.
故答案为：.
【分析】设上下两个底面的中心分别为，连接，则直三棱柱外接球的球心为的中点，连接，在中结合勾股定理可得O的长，从而得出直三棱柱外接球的半径，再结合球的表面积公式得出该球的表面积.
15．【答案】（1）解：因为，，，
所以.
（2）解：因为，，
又因为，
所以，
解得.
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量坐标的线性运算，从而得出向量的坐标.
（2）根据向量垂直的坐标表示，从而得出k的值.
（1）因为，，，
所以
（2），，
因为，
所以，
解得.
16．【答案】（1）解：依题意得米，米，米，
所以米，
所以圆锥的侧面积为平方米，
圆柱的侧面积为平方米，
所以该蒙古包的侧面积为平方米.
（2）解：因为圆锥的体积为立方米，
又因为圆柱的体积为立方米，
所以该蒙古包的体积为立方米.
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）先求出圆锥和圆柱的侧面积，再求和得出该蒙古包的侧面积．
（2）先求出圆锥和圆柱的体积，再求和得出该蒙古包的体积.
（1）依题意得米，米，米，
所以米，
所以圆锥的侧面积为平方米，
圆柱的侧面积为平方米，
所以该蒙古包的侧面积为平方米.
（2）圆锥的体积为立方米，
圆柱的体积为立方米，
所以该蒙古包的体积为立方米.
17．【答案】（1）解：由向量平行的坐标公式，可得由正弦定理可得，
即，故，
因为，故.
（2）解：由三角形面积公式得出，故，
故为等腰三角形，故，
又因为，故，
所以的周长为.
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标公式结合正弦定理、余弦定理以及三角形中角C的取值范围，从而得出角C的值.
（2）根据三角形的面积公式可得的值，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，从而得到角的值，再利用正弦定理求出的值，即可得出的周长.
（1）由向量平行的坐标公式可得，由正弦定理可得，即，故，因为，故
（2）由三角形面积公式，，故，故为等腰三角形，故，又，故，所以的周长为
18．【答案】（1）解：由正弦定理得：，
由三角形内角和，得出，
因为，所以，可得.
（2）解：由（1）和正弦定理得，
由等面积法，易知，
故
由（1）和余弦定理可得：，
故，
且，
即，当且仅当时等号成立，
故的最大值为，
则，
所以的最大值为，
则，的最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式和两角和的正弦公式得出，由得到，从而得出角的值.
（2）利用余弦定理和基本不等式求最值的方法，从而求得的最大值，再利用等面积法求出的最大值，则根据正弦定理求出的值，从而求出的最小值.
（1）由正弦定理得，
由三角形内角和，所以，
因为，所以，可得.
（2）结合（1）由正弦定理得，
由利用等面积法求得的最大值，易知，
故
由（1）和余弦定理可得，故，
且，即，
当且仅当时等号成立，故的最大值为．
故，故的最大值为，
则，的最小值为.
19．【答案】（1）解：（ⅰ）记的中点为，连接，
则，
由重心性质可知，，
所以①.
（ⅱ）因为，
所以，
代入①得，
因为三点共线，所以，
由题意可知，，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
（2）解：如图所示：
因为，
所以，
由垂心定义可知，，
所以②，
③，
联立②③可得，
所以.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）（ⅰ）记的中点为，根据平面向量线性运算和重心性质，从而用表示.
（ⅱ）借助（ⅰ）中结论，将代入，根据三点共线可得，再利用常数代换法和基本不等式求最值的方法得出的最小值.
（2）由垂心定义可知，从而列方程求出的关系，再由数量积求向量夹角公式可得的值.
（1）（ⅰ）记的中点为，连接，则，
由重心性质可知，，所以①.
（ⅱ）因为，所以，
代入①得，
因为三点共线，所以，
由题意可知，，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
（2）因为，所以，
由垂心定义可知，，
所以②，
③，
联立②③可得，
所以.
1 / 1山东省青岛第三中学2023-2024学年高一下学期第一学段模块考试数学试题
1．（2024高一下·青岛期中）与共线的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A，因为，故A错误；
对于B，因为，故B正确；
对于C，因为，故C错误；
对于D，因为，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和共线向量的坐标表示，从而逐项判断找出正确的选项.
2．（2024高一下·青岛期中） 把函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：把函数的图象向左平移个单位长度后，
所得图象对应的函数为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合三角型函数的图象变换得出变换后的函数的图象，进而得出对应的函数的解析式.
3．（2024高一下·青岛期中）已知α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）
A．若α∩β＝l，A∈α且A∈β，则A∈l
B．若A，B，C是平面α内不共线三点，A∈β，B∈β，则C β
C．若A∈α且B∈α，则直线AB α
D．若直线a α，直线b β，则a与b为异面直线
【答案】D
【知识点】异面直线的判定；空间点、线、面的位置
【解析】【解答】解：根据A∈α且B∈β，则A是平面α和平面β的公共点，
又因为α∩β＝l，由基本事实3可得A∈l，故A正确；
由基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，
又因为A∈β，B∈β，且A，B，C∈α，则C β，故B正确；
由基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，故C正确；
由于平面α和平面β位置不确定，则直线a与直线b位置亦不确定，可能异面、相交、平行、重合，故D错误．
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合点、线、面的位置关系、异面直线的判断方法，从而逐项判断找出假命题的选项.
4．（2024高一下·青岛期中）已知，，，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
解得，
又因为，所以.
故答案为：D.
【分析】根据数量积运算律和数量积的定义，从而展开得出与的夹角的余弦值，再结合两向量夹角的取值范围，从而得出与的夹角.
5．（2024高一下·青岛期中）已知正四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，高为，则该四棱台的表面积为（ ）
A． B．34 C． D．68
【答案】C
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：由题意，在正四棱台中，上、下底面分别是边长为2和4的正方形，高为，
作出立体图如下图所示，
过点作，面于点，连接，由几何知识得，
，
在中，由勾股定理得，，
设该四棱台的一个侧面面积为
∴该四棱台的表面积为：
.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合中点的性质、勾股定理求出棱台侧面的高，再结合四棱台的表面积求解方法，从而求出该四棱台的表面积.
6．（2024高一下·青岛期中）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角函数的化简求值；辅助角公式
【解析】【解答】解：因为 ，可得，即，
又因为 ，则，可得，即，
所以 .
故答案为：B.
【分析】根据利用辅助角公式可得，即可得结果.
7．（2024高一下·青岛期中）“五月的风”是坐落在山东省青岛市五四广场的标志性雕塑，重达500余吨，是我国目前最大的钢质城市雕塑，该雕塑充分展示了岛城的历史足迹.如图，现测量该雕塑的高度时，选取了与该雕塑底在同一平面内的两个测量基点与，测得，，，在点测得该雕塑顶端的仰角为40°，则该雕塑的高度约为（参考数据：取）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，
在中，由，
得，
在中，.
故答案为：C.
【分析】在中，利用正弦定理先求出的长，再在中，由三角函数定义可得该雕塑的高度.
8．（2024高一下·青岛期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称 B．为奇函数
C．在区间上单调递增 D．的图象关于直线对称
【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由题意可知，
又因为，所以，
则，所以，
则，，所以，，
又因为，所以，所以，则.
对于A：因为，故A错误；
对于B：因为为偶函数，故B错误；
对于C：因为，则，函数不具有单调性，故C错误；
对于D：当时，，则是函数的一条对称轴，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据函数的部分图象求出的值，再根据三角型函数的对称性、单调性、奇偶性，从而找出结论正确的选项.
9．（2024高一下·青岛期中）已知，则的可能值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为，
所以，
所以当在第三象限时，有，
所以；
当在第四象限时，有，
所以。
故答案为：BD
【分析】利用已知条件结合两角差的正弦公式和诱导公式，进而得出角的正弦值，再利用分类讨论的方法和同角三角函数基本关系式和两角和的余弦公式，进而得出 的可能值 。
10．（2024高一下·青岛期中） 对于，有如下命题，其中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则是等腰三角形
C．若，则为钝角三角形
D．若，，，则的面积为
【答案】A,C
【知识点】正弦函数的图象；余弦定理
【解析】【解答】在中，若，根据大边对大角，则，由正弦定理得，故A正确；
对于B，因为，且，所以，
则或者，则则或者，则为等腰三角形或者直角三角形；故B错误；
对于C，若，则，
由正弦定理可得，由余弦定理得：，
因为，可知C为钝角，故C正确；
对于D，，，由余弦定理得：，
即，解得：，
则三角形ABC面积为.故D错误.
故选：AC.
【分析】根据题意，利用正、余弦定理以及三角形的面积公式，即可求出.
11．（2024高一下·青岛期中）如图所示，四边形是由斜二测画法得到的平面四边形水平放置的直观图，其中，，，点在线段上，对应原图中的点，则在原图中下列说法正确的是（ ）
A．四边形的面积为14
B．与同向的单位向量的坐标为
C．在向量上的投影向量的坐标为
D．的最小值为17
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由直观图可得，四边形为直角梯形，且，
则四边形的面积为，故A正确；
如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，则，
所以与同向的单位向量的坐标为，故B正确；
因为，
则在向量上的投影向量的坐标为，故C错误；
设，
则，
则，，
当时，取得最小值，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据直观图判断出四边形为直角梯形，从而可得原图形的面积，即可判断选项A；以点为坐标原点建立平面直角坐标系，得出的坐标，再根据与同向的单位向量为，即可判断选项B；根据在向量上的投影向量的坐标为，即可判断选项C；设，根据向量线性运算的坐标表示和向量的模的坐标表示，即可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
12．（2024高一下·青岛期中）已知，，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以.
故答案为：.
【分析】根据平面向量的坐标运算，从而可得向量的坐标.
13．（2024高一下·青岛期中）在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，，若，与的夹角为，则以下四个结论中：
①的最小值为；
②当时，；
③当时，；
④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 ．
【答案】①②③
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：对于①，当与方向竖直向上时，的最小，此时，所以①正确；
对于②，当时，，，所以②正确；
对于③，当时，，，所以③正确；
对于④，由，当越大时，越小，越大，越费力，所以④错误．
故答案为：①②③．
【分析】由受力分析和已知条件以及向量求模公式、余弦函数的定义，几何法求向量的模的最小值的方法，从而逐项判断找出结论正确的序号.
14．（2024高一下·青岛期中）在直三棱柱中，各棱长均为2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 .
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：设上下两个底面的中心分别为，连接，如图所示：
因为所有棱长为2的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上，
所以直三棱柱外接球的球心为的中点，
连接，在等边中，，
在直角中，，
所以直三棱柱外接球的半径，
所以球的表面积为.
故答案为：.
【分析】设上下两个底面的中心分别为，连接，则直三棱柱外接球的球心为的中点，连接，在中结合勾股定理可得O的长，从而得出直三棱柱外接球的半径，再结合球的表面积公式得出该球的表面积.
15．（2024高一下·青岛期中）已知向量，，．
（1）求
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）解：因为，，，
所以.
（2）解：因为，，
又因为，
所以，
解得.
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量坐标的线性运算，从而得出向量的坐标.
（2）根据向量垂直的坐标表示，从而得出k的值.
（1）因为，，，
所以
（2），，
因为，
所以，
解得.
16．（2024高一下·青岛期中）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活、蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示，已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米．
（1）求该蒙古包的侧面积．
（2）求该蒙古包的体积．
【答案】（1）解：依题意得米，米，米，
所以米，
所以圆锥的侧面积为平方米，
圆柱的侧面积为平方米，
所以该蒙古包的侧面积为平方米.
（2）解：因为圆锥的体积为立方米，
又因为圆柱的体积为立方米，
所以该蒙古包的体积为立方米.
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）先求出圆锥和圆柱的侧面积，再求和得出该蒙古包的侧面积．
（2）先求出圆锥和圆柱的体积，再求和得出该蒙古包的体积.
（1）依题意得米，米，米，
所以米，
所以圆锥的侧面积为平方米，
圆柱的侧面积为平方米，
所以该蒙古包的侧面积为平方米.
（2）圆锥的体积为立方米，
圆柱的体积为立方米，
所以该蒙古包的体积为立方米.
17．（2024高一下·青岛期中）已知内角，，所对的边分别为，，，设向量，，且.
（1）求角；
（2）若，的面积为，求的周长.
【答案】（1）解：由向量平行的坐标公式，可得由正弦定理可得，
即，故，
因为，故.
（2）解：由三角形面积公式得出，故，
故为等腰三角形，故，
又因为，故，
所以的周长为.
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标公式结合正弦定理、余弦定理以及三角形中角C的取值范围，从而得出角C的值.
（2）根据三角形的面积公式可得的值，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，从而得到角的值，再利用正弦定理求出的值，即可得出的周长.
（1）由向量平行的坐标公式可得，由正弦定理可得，即，故，因为，故
（2）由三角形面积公式，，故，故为等腰三角形，故，又，故，所以的周长为
18．（2024高一下·青岛期中）已知的内角所对的边分别为，．
（1）求角的大小；
（2）若，外接圆的半径为，内切圆半径为，求的最小值．
【答案】（1）解：由正弦定理得：，
由三角形内角和，得出，
因为，所以，可得.
（2）解：由（1）和正弦定理得，
由等面积法，易知，
故
由（1）和余弦定理可得：，
故，
且，
即，当且仅当时等号成立，
故的最大值为，
则，
所以的最大值为，
则，的最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式和两角和的正弦公式得出，由得到，从而得出角的值.
（2）利用余弦定理和基本不等式求最值的方法，从而求得的最大值，再利用等面积法求出的最大值，则根据正弦定理求出的值，从而求出的最小值.
（1）由正弦定理得，
由三角形内角和，所以，
因为，所以，可得.
（2）结合（1）由正弦定理得，
由利用等面积法求得的最大值，易知，
故
由（1）和余弦定理可得，故，
且，即，
当且仅当时等号成立，故的最大值为．
故，故的最大值为，
则，的最小值为.
19．（2024高一下·青岛期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．在中，试解决以下问题：
（1）是三角形的重心（三条中线的交点），过点作一条直线分别交于点．
（ⅰ）记，请用表示；
（ⅱ），求的最小值．
（2）已知点是的垂心（三条高的交点），且，求．
【答案】（1）解：（ⅰ）记的中点为，连接，
则，
由重心性质可知，，
所以①.
（ⅱ）因为，
所以，
代入①得，
因为三点共线，所以，
由题意可知，，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
（2）解：如图所示：
因为，
所以，
由垂心定义可知，，
所以②，
③，
联立②③可得，
所以.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）（ⅰ）记的中点为，根据平面向量线性运算和重心性质，从而用表示.
（ⅱ）借助（ⅰ）中结论，将代入，根据三点共线可得，再利用常数代换法和基本不等式求最值的方法得出的最小值.
（2）由垂心定义可知，从而列方程求出的关系，再由数量积求向量夹角公式可得的值.
（1）（ⅰ）记的中点为，连接，则，
由重心性质可知，，所以①.
（ⅱ）因为，所以，
代入①得，
因为三点共线，所以，
由题意可知，，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
（2）因为，所以，
由垂心定义可知，，
所以②，
③，
联立②③可得，
所以.
1 / 1
