甘肃省天水市张家川回族自治县第二高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
1．（2024高一下·张家川期中）若，，则的坐标是
A．（1，2） B．（-3，4） C．（3，-4） D．以上都不对
2．（2024高一下·张家川期中）已知向量，，若与方向相反，则（ ）
A．54 B．48 C． D．
3．（2024高一下·张家川期中）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·张家川期中）下列各组向量中，可以作为平面向量一组基底的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高一下·张家川期中）下列命题正确的是（ ）．
A．若都是单位向量，则
B．向量与是两平行向量
C．若，则四点构成平行四边形
D．两向量相等的充要条件是它们的始点和终点相同
6．（2024高一下·张家川期中）已知非零向量，满足，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．1
7．（2024高一下·张家川期中）已知圆的半径为，点满足，，分别是上两个动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·张家川期中） 已知，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·张家川期中）中国象棋是中国发明的一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物.如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“帅”“炮”“马”“兵”分别位于四点，“马”每步只能走“日”字，图中的“马”走动一步到达点，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高一下·张家川期中）下列各组向量中，能作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高一下·张家川期中）下列是函数图象的对称轴方程的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024高一下·张家川期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则，是内的一点，∠，∠，∠分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，且，则
C．若，则为的垂心
D．若为的内心，且，则
13．（2024高一下·张家川期中），，则 ．
14．（2024高一下·张家川期中）已知向量，若，则 .
15．（2024高一下·张家川期中）已知向量，方向相反，且，，则在方向上的投影向量为 .
16．（2024高一下·张家川期中）为测量河对岸一建筑物的高度，测量人员选取与建筑物底部C在同一水平面内的两个测量基点A与B，并测得：，，，且在B处测得建筑物顶部仰角为30°，则这个建筑物的高度为 m；
17．（2024高一下·张家川期中）化简下列各向量的表达式：
（1）；
（2）；
（3）；
18．（2024高一下·张家川期中）（1）若，求的值；
（2）化简求值：.
19．（2024高一下·张家川期中）计算
（1）
（2）
（3）
20．（2024高一下·张家川期中）化简：
（1）
（2）.
21．（2024高一下·张家川期中）已知.
（1）化简；
（2）若求的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面向量的正交分解及坐标表示；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：∵的坐标等于的坐标减去的坐标，
∴.
故答案为：B．
【分析】根据向量的坐标等于终点坐标减去起点的坐标，从而得出的坐标．
2．【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：若与方向相反，则，且，解得，
即向量，，
则，.
故答案为：D.
【分析】根据与方向相反， 求得，再求的坐标，利用模长公式求解即可.
3．【答案】C
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，
所以，
解得.
故答案为：C.
【分析】根据可得，再根据数量积的坐标运算得出实数m的值.
4．【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A，是零向量，不可以作为平面向量一组基底，故A错；
对于B， ，两向量是平行向量，不可以作为平面向量一组基底，故B错；
对于C， ，两向量是平行向量，不可以作为平面向量一组基底，故C错；
对于D，因为，
所以是一组不平行的非零向量，可以作为平面向量一组基底，故D对.
故答案为：D.
【分析】在平面向量中能作为基底的充分必要条件是一组不平行的非零向量，按照这个条件逐项判断，从而找出可以作为平面向量一组基底的选项.
5．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；共线（平行）向量；相等向量
【解析】【解答】解：对于A，若都是单位向量，则，但是的方向不确定，故A不正确；
对于B，因为，故向量，故B正确；
对于C，若，则四点构成平行四边形，或四点共线，故C不正确；
对于D，因为两向量相等的充要条件是它们的大小和方向相同，与向量的起点与终点位置无关，
故D不正确.
故答案为：B.
【分析】根据单位向量的概念、共线向量的判断方法、平行四边形的判断方法、向量相等的充要条件，从而逐项判断找出真命题的选项.
6．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，当且仅当时，等号成立.
故答案为：B.
【分析】利用数量积求向量的模的方法结合二次函数求最值的方法，从而得出的最小值.
7．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：因为，
设的中点为，
在半径为的圆中，，则，，
因为，
又因为
即，
当与反向共线时，取得最小值；
当与同向共线时，取得最大值，
则的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】取的中点为，利用表示，再利用数量积运算公式计算得到，从而得到与反向共线时取得最小值，当与同向共线时，取得最大值，从而得到的取值范围.
8．【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：设，
则
．
故答案为：A．
【分析】利用换元法，结合诱导公式、二倍角公式等知识求得正确答案．
9．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的正交分解及坐标表示；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：根据题意建立平面直角坐标系，如图所示，
则A（0，-2），B（-3，0），C（3，-2），D（-2，1），
因为“马”走一步可能到达E，F，G三点中的一点，又因为E（1，-1），F（2，0），G（4，0），
所以=（4，-1），=（5，0），=（7，0），
又因为=（-2，3），
所以·=-11，·=-10，·=-14.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件建立平面直角坐标系，则写出各点坐标，再利用“马”走一步可能到达E，F，G三点中的一点和向量的坐标表示以及数量积的坐标表示，从而得出可能的值.
10．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A，因为零向量与任意向量共线，则向量与共线，不能作为基底，故A不是基底；
对于B，由，得与不共线，能作为基底，故B是基底；
对于C，由，得与不共线，能作为基底，故C是基底；
对于D：由，得与不共线，能作为基底，故D是基底.
故答案为：BCD.
【分析】根据共线向量的坐标表示结合基底的定义，从而逐项判断找出作为基底的选项.
11．【答案】B,C
【知识点】含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：因为，
又因为函数的图象的对称轴方程为，即，
所以的图象的对称轴方程为．
故答案为：BC.
【分析】利用同角三角函数基本关系式和二倍角的余弦公式，从而化简函数解析式为余弦型函数，再结合换元法和余弦函数的图象的对称性，从而得出余弦型函数的图象的对称轴方程.
12．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；三角形五心；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：对于A：因为，则，故A错误；
对于B：因为，，
所以，，故B正确；
对于C：因为，即，故，
同理可得，，故为的垂心，故C正确；
对于D：因为，故，
设内接圆半径为，，，，
即，
则，，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据题意得到，则判断出选项A；先计算出的值，再根据比例关系判断出选项B；利用已知条件和数量积的运算法则和两向量垂直的等价关系，从而确定，则判断出选项C；根据三角形面积公式得到，再结合勾股定理得到的值，则判断出选项D，从而找出真命题的选项.
13．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，所以，所以.
故答案为：.
【分析】利用二倍角的余弦公式结合角的取值范围得出的值.
14．【答案】
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，
所以，
因为，
所以，即.
故答案为：.
【分析】利用向量垂直的坐标表示，从而得出实数m的值.
15．【答案】
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量，方向相反，所以，夹角，
所以在方向上的投影向量为.
故答案为：.
【分析】根据向量，方向相反得出两向量，的夹角，再结合数量积求投影向量公式，从而得出在方向上的投影向量.
16．【答案】
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，，，
则，又因为，如图，
由正弦定理得：，
在中，。，
则（m），
所以建筑物的高度为m.
故答案为：.
【分析】在中，利用正弦定理求出BC的长，在直角三角形中解三角形即可.
17．【答案】（1）解：.
（2）解：
.
（3）解：
.
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【分析】（1）根据平面向量的加法运算法则和减法运算法则，则化简出.
（2）（1）根据平面向量的加法运算法则和减法运算法则，则化简出.
（3）根据平面向量的加法运算法则和减法运算法则，则化简出.
（1）.
（2）.
（3）.
18．【答案】解：（1）
.
（2）原式
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；两角和与差的正弦公式
【解析】【分析】（1）利用函数的解析式和代入法，再结合两角差的正弦公式得出的值.
（2）根据指数幂的运算性质，从而化简求值.
19．【答案】（1）解：.
（2）解：.
（3）解：.
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）（2）（3）利用复数的四则运算计算即可.
（1）.
（2）.
（3）.
20．【答案】（1）解：
.
（2）解：
.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式，从而化简得出答案.
（2）利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系和诱导公式，从而化简得出答案.
（1）
.
（2）
.
21．【答案】（1）解：根据诱导公式得：
.
（2）解：因为
所以，，
由可得：，
所以.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简出.
（2）利用以及同角三角函数的基本关系可得的值，再根据二倍角余弦公式和同角三角函数基本关系式化简，从而得出的值．
（1）根据诱导公式得：
.
（2）因为所以，，
所以由可得：，
所以.
1 / 1甘肃省天水市张家川回族自治县第二高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
1．（2024高一下·张家川期中）若，，则的坐标是
A．（1，2） B．（-3，4） C．（3，-4） D．以上都不对
【答案】B
【知识点】平面向量的正交分解及坐标表示；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：∵的坐标等于的坐标减去的坐标，
∴.
故答案为：B．
【分析】根据向量的坐标等于终点坐标减去起点的坐标，从而得出的坐标．
2．（2024高一下·张家川期中）已知向量，，若与方向相反，则（ ）
A．54 B．48 C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：若与方向相反，则，且，解得，
即向量，，
则，.
故答案为：D.
【分析】根据与方向相反， 求得，再求的坐标，利用模长公式求解即可.
3．（2024高一下·张家川期中）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，
所以，
解得.
故答案为：C.
【分析】根据可得，再根据数量积的坐标运算得出实数m的值.
4．（2024高一下·张家川期中）下列各组向量中，可以作为平面向量一组基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A，是零向量，不可以作为平面向量一组基底，故A错；
对于B， ，两向量是平行向量，不可以作为平面向量一组基底，故B错；
对于C， ，两向量是平行向量，不可以作为平面向量一组基底，故C错；
对于D，因为，
所以是一组不平行的非零向量，可以作为平面向量一组基底，故D对.
故答案为：D.
【分析】在平面向量中能作为基底的充分必要条件是一组不平行的非零向量，按照这个条件逐项判断，从而找出可以作为平面向量一组基底的选项.
5．（2024高一下·张家川期中）下列命题正确的是（ ）．
A．若都是单位向量，则
B．向量与是两平行向量
C．若，则四点构成平行四边形
D．两向量相等的充要条件是它们的始点和终点相同
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；共线（平行）向量；相等向量
【解析】【解答】解：对于A，若都是单位向量，则，但是的方向不确定，故A不正确；
对于B，因为，故向量，故B正确；
对于C，若，则四点构成平行四边形，或四点共线，故C不正确；
对于D，因为两向量相等的充要条件是它们的大小和方向相同，与向量的起点与终点位置无关，
故D不正确.
故答案为：B.
【分析】根据单位向量的概念、共线向量的判断方法、平行四边形的判断方法、向量相等的充要条件，从而逐项判断找出真命题的选项.
6．（2024高一下·张家川期中）已知非零向量，满足，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，当且仅当时，等号成立.
故答案为：B.
【分析】利用数量积求向量的模的方法结合二次函数求最值的方法，从而得出的最小值.
7．（2024高一下·张家川期中）已知圆的半径为，点满足，，分别是上两个动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：因为，
设的中点为，
在半径为的圆中，，则，，
因为，
又因为
即，
当与反向共线时，取得最小值；
当与同向共线时，取得最大值，
则的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】取的中点为，利用表示，再利用数量积运算公式计算得到，从而得到与反向共线时取得最小值，当与同向共线时，取得最大值，从而得到的取值范围.
8．（2024高一下·张家川期中） 已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：设，
则
．
故答案为：A．
【分析】利用换元法，结合诱导公式、二倍角公式等知识求得正确答案．
9．（2024高一下·张家川期中）中国象棋是中国发明的一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物.如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“帅”“炮”“马”“兵”分别位于四点，“马”每步只能走“日”字，图中的“马”走动一步到达点，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的正交分解及坐标表示；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：根据题意建立平面直角坐标系，如图所示，
则A（0，-2），B（-3，0），C（3，-2），D（-2，1），
因为“马”走一步可能到达E，F，G三点中的一点，又因为E（1，-1），F（2，0），G（4，0），
所以=（4，-1），=（5，0），=（7，0），
又因为=（-2，3），
所以·=-11，·=-10，·=-14.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件建立平面直角坐标系，则写出各点坐标，再利用“马”走一步可能到达E，F，G三点中的一点和向量的坐标表示以及数量积的坐标表示，从而得出可能的值.
10．（2024高一下·张家川期中）下列各组向量中，能作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A，因为零向量与任意向量共线，则向量与共线，不能作为基底，故A不是基底；
对于B，由，得与不共线，能作为基底，故B是基底；
对于C，由，得与不共线，能作为基底，故C是基底；
对于D：由，得与不共线，能作为基底，故D是基底.
故答案为：BCD.
【分析】根据共线向量的坐标表示结合基底的定义，从而逐项判断找出作为基底的选项.
11．（2024高一下·张家川期中）下列是函数图象的对称轴方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：因为，
又因为函数的图象的对称轴方程为，即，
所以的图象的对称轴方程为．
故答案为：BC.
【分析】利用同角三角函数基本关系式和二倍角的余弦公式，从而化简函数解析式为余弦型函数，再结合换元法和余弦函数的图象的对称性，从而得出余弦型函数的图象的对称轴方程.
12．（2024高一下·张家川期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则，是内的一点，∠，∠，∠分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，且，则
C．若，则为的垂心
D．若为的内心，且，则
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；三角形五心；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：对于A：因为，则，故A错误；
对于B：因为，，
所以，，故B正确；
对于C：因为，即，故，
同理可得，，故为的垂心，故C正确；
对于D：因为，故，
设内接圆半径为，，，，
即，
则，，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据题意得到，则判断出选项A；先计算出的值，再根据比例关系判断出选项B；利用已知条件和数量积的运算法则和两向量垂直的等价关系，从而确定，则判断出选项C；根据三角形面积公式得到，再结合勾股定理得到的值，则判断出选项D，从而找出真命题的选项.
13．（2024高一下·张家川期中），，则 ．
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，所以，所以.
故答案为：.
【分析】利用二倍角的余弦公式结合角的取值范围得出的值.
14．（2024高一下·张家川期中）已知向量，若，则 .
【答案】
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，
所以，
因为，
所以，即.
故答案为：.
【分析】利用向量垂直的坐标表示，从而得出实数m的值.
15．（2024高一下·张家川期中）已知向量，方向相反，且，，则在方向上的投影向量为 .
【答案】
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量，方向相反，所以，夹角，
所以在方向上的投影向量为.
故答案为：.
【分析】根据向量，方向相反得出两向量，的夹角，再结合数量积求投影向量公式，从而得出在方向上的投影向量.
16．（2024高一下·张家川期中）为测量河对岸一建筑物的高度，测量人员选取与建筑物底部C在同一水平面内的两个测量基点A与B，并测得：，，，且在B处测得建筑物顶部仰角为30°，则这个建筑物的高度为 m；
【答案】
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，，，
则，又因为，如图，
由正弦定理得：，
在中，。，
则（m），
所以建筑物的高度为m.
故答案为：.
【分析】在中，利用正弦定理求出BC的长，在直角三角形中解三角形即可.
17．（2024高一下·张家川期中）化简下列各向量的表达式：
（1）；
（2）；
（3）；
【答案】（1）解：.
（2）解：
.
（3）解：
.
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【分析】（1）根据平面向量的加法运算法则和减法运算法则，则化简出.
（2）（1）根据平面向量的加法运算法则和减法运算法则，则化简出.
（3）根据平面向量的加法运算法则和减法运算法则，则化简出.
（1）.
（2）.
（3）.
18．（2024高一下·张家川期中）（1）若，求的值；
（2）化简求值：.
【答案】解：（1）
.
（2）原式
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；两角和与差的正弦公式
【解析】【分析】（1）利用函数的解析式和代入法，再结合两角差的正弦公式得出的值.
（2）根据指数幂的运算性质，从而化简求值.
19．（2024高一下·张家川期中）计算
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：.
（2）解：.
（3）解：.
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）（2）（3）利用复数的四则运算计算即可.
（1）.
（2）.
（3）.
20．（2024高一下·张家川期中）化简：
（1）
（2）.
【答案】（1）解：
.
（2）解：
.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式，从而化简得出答案.
（2）利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系和诱导公式，从而化简得出答案.
（1）
.
（2）
.
21．（2024高一下·张家川期中）已知.
（1）化简；
（2）若求的值.
【答案】（1）解：根据诱导公式得：
.
（2）解：因为
所以，，
由可得：，
所以.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简出.
（2）利用以及同角三角函数的基本关系可得的值，再根据二倍角余弦公式和同角三角函数基本关系式化简，从而得出的值．
（1）根据诱导公式得：
.
（2）因为所以，，
所以由可得：，
所以.
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