广东省佛山市顺德区元培实验中学2023-2024学年高一下学期第二阶段考试数学试题
1．（2024高一下·顺德期中）化简：（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·顺德期中）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
3．（2024高一下·顺德期中）若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A．2 B．2或 C． D．
4．（2024高一下·顺德期中）以下说法正确的是（ ）
①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体．
A．①②④⑥ B．②③④⑤ C．①②③⑥ D．①②⑤⑥
5．（2024高一下·顺德期中）已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·顺德期中）在中，角所对的边分别为.若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·顺德期中）设复数满足，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
8．（2024高一下·顺德期中）已知向量，，那么等于（ ）
A． B． C．1 D．0
9．（2024高一下·顺德期中）已知，为复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则或
10．（2024高一下·顺德期中）已知复数，为的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A．的虚部为
B．
C．为纯虚数
D．在复平面上对应的点在第四象限．
11．（2024高一下·顺德期中）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积为
B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的侧面积与球的表面积相等
D．圆柱、圆锥、球的体积之比为
12．（2024高一下·顺德期中）已知向量满足，则 .
13．（2024高一下·顺德期中）若复数，则
14．（2024高一下·顺德期中）已知钝角的面积是，且，，则 ．
15．（2024高一下·顺德期中）计算：
（1）
（2）
（3）
16．（2024高一下·顺德期中）利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）
17．（2024高一下·顺德期中）（1）已知，求实数、的值.
（2）设，，若为实数，求的值.
18．（2024高一下·顺德期中）如图，在菱形中，.
（1）若，求的值；
（2）若，，求.
19．（2024高一下·顺德期中）设的内角的对边分别为，且．
（1）求的大小
（2）若，求周长的范围
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】解：由向量的运算法则，
可得：．
故答案为：B.
【分析】根据向量的加减法运算法则化简，即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量坐标表示的应用
【解析】【解答】 ，
，，
，，
.
故答案为：B
【分析】利用向量的坐标运算分别求出向量，再根据向量模长公式进而求解.
3．【答案】C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：因为复数为纯虚数，
所以
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合复数为纯虚数的判断方法，进而建立关于a的方程组，从而得出实数a的值。
4．【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征
【解析】【解答】解：①因为棱柱的两个底面平行且侧棱两两相互平行，故侧面是平行四边形，故①正确；
②因为平行六面体是各面都为平行四边形的六面体，
又因为长方体是各面都为矩形的平行六面体，故②正确；
③因为直棱柱是侧棱与底面垂直的棱柱，显然长方体的侧棱与底面都垂直，
则长方体为直棱柱，故③正确；
④因为底面是正多边形且各侧面为全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥，故④错误；
⑤因为底面为长方形的直四棱柱是长方体，故⑤错误；
⑥因为四棱柱、五棱锥均有六个面，都是六面体，故⑥正确.
故答案为：C.
【分析】根据棱柱（直棱柱、平行六面体、多面体）、棱锥（正棱锥）的结构特征判断各选项，从而找出说法正确的选项.
5．【答案】D
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为在上的投影向量的数量为，
所以在上的投影向量为.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和数量积求投影向量坐标的方法，从而得出在上的投影向量坐标.
6．【答案】A
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：根据正弦定理可知，，，
则，所以.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和正弦定理，从而得出a的值.
7．【答案】B
【知识点】复数相等的充要条件；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：依题意，令，则，
所以，所以，
即，所以.
故答案为：B．
【分析】令，由解出的值，再利用复数求模公式计算出的值.
8．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：因为，，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用数量积的坐标运算和两角和的正弦公式，从而可得的值.
9．【答案】A,C
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的加减运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：对于A：根据共轭复数的定义和复数相等的判断方法，故A正确；
对于B：取，，满足，但，故B错误；
对于C：设，，，
由，得，即，，
所以，即，故C正确；
对于D：取，，
则，，此时且，故D不正确．
故答案为：AC.
【分析】根据共轭复数的定义、复数相等的判断方法、复数求模公式，复数减法的运算法则，从而逐项判断找出说法正确的选项.
10．【答案】B,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】解：因为，
则的虚部为，故A错误；
因为，故B正确；
因为，
所以，即为实数，
故C错误；
因为，所以，
则在复平面上对应的点 在第四象限，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】先利用复数的除法运算法则得到复数，再利用复数的虚部定义，从而判断出选项A；利用复数模长公式判断出选项B；利用复数的乘方运算得到，再利用纯虚数的判断方法，从而判断出选项C；利用共轭复数的概念、复数的几何意义判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
11．【答案】C,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，因为圆柱的侧面积为，所以A错误；
对于B，因为圆锥的母线为，圆锥的侧面积为，所以B错误；
对于C，因为球的表面积为，所以C正确；
对于D，因为圆柱的体积，圆锥的体积，
球的体积，
所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】根据题意结合圆柱、圆锥和球的表面积和体积公式，从而逐项判断找出结论正确的选项.
12．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，则，
∴.
故答案为：．
【分析】把模平方转化为数量积进行计算，再结合数量积的运算法则和已知条件，从而得出的值．
13．【答案】
【知识点】复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，所以．
故答案为：.
【分析】先利用复数求模公式求出复数，再利用复数求模公式求出的值.
14．【答案】
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为三角形面积公式为，所以，
若为钝角时，则，
由余弦定理，则，解得；
若为锐角时，则，
由余弦定理，则，解得，
此时，为直角边1的等腰直角三角形，不符合题意，
综上所述，.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合三角形的面积公式得出角B的正弦值，再结合分类讨论的方法和同角三角函数基本关系式、余弦定理，从而得出AC的长.
15．【答案】（1）解：由题意可得：.
（2）解：由题意可得：.
（3）解：由题意可得：.
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据复数的加法、减法运算法则，从而化简计算出结果.
（2）根据复数的乘法运算法则，从而化简计算出结果.
（3）根据复数的除法运算法则，从而化简计算出结果.
（1）由题意可得：.
（2）由题意可得：.
（3）由题意可得：.
16．【答案】（1）解：由题意可得：.
（2）解：由题意可得：.
（3）解：由题意可得：.
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式
【解析】【分析】（1）根据两角差的正弦公式，从而化简求值.
（2）根据两角和的余弦公式，从而化简求值.
（3）根据两角和公式的正切公式，从而化简求值.
（1）由题意可得：.
（2）由题意可得：.
（3）由题意可得：.
17．【答案】解：（1），其中、，，解得.
（2），
因为为实数，则，所以.
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）根据复数相等的判断方法，从而可得出关于实数、的方程组，解方程组得出实数、的值.
（2）利用复数的除法运算法则化简复数，再根据复数为实数的判断方法，从而可得出关于实数的方程，解方程得出实数的值.
18．【答案】（1）解：在菱形中，，
故，
故，
所以.
（2）解：因为，
所以
，
因为菱形，且，，
故，.
所以.
则，
故.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）由题意结合菱形的结构特征，从而得出，进而得出x，y的值，则得出的值.
（2）利用已知条件结合，从而得出，再结合数量积的运算法则和数量积的定义，从而得出的值.
（1）因为在菱形中，.
故，
故，所以.
（2）显然，
所以
①，
因为菱形，且，，
故，.
所以.
故①式.
故.
19．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理可得且，
则，可得，
即且，所以.
（2）解：由（1）可知：，
由余弦定理可得，
即，整理可得，
又因为，即，
解得，即，当且仅当时，等号成立，
由三角形可知：，即，可得，
所以周长的范围为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据题意结合正弦定理，可得的值，再结合三角形中角B的取值范围，从而可得角B的值.
（2）利用余弦定理结合基本不等式求最值的方法，从而可得的取值范围，再结合三角形两边之和大于第三边的性质和交集的运算法则，从而可知的取值范围，则根据三角形的周长公式得出周长的取值范围.
（1）因为，由正弦定理可得，
且，则，可得，即，
且，所以.
（2）由（1）可知：，
由余弦定理可得，
即，整理可得，
又因为，即，
解得，即，当且仅当时，等号成立，
由三角形可知：，即，可得，
所以周长的范围为.
1 / 1广东省佛山市顺德区元培实验中学2023-2024学年高一下学期第二阶段考试数学试题
1．（2024高一下·顺德期中）化简：（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】解：由向量的运算法则，
可得：．
故答案为：B.
【分析】根据向量的加减法运算法则化简，即可得出答案.
2．（2024高一下·顺德期中）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量坐标表示的应用
【解析】【解答】 ，
，，
，，
.
故答案为：B
【分析】利用向量的坐标运算分别求出向量，再根据向量模长公式进而求解.
3．（2024高一下·顺德期中）若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A．2 B．2或 C． D．
【答案】C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：因为复数为纯虚数，
所以
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合复数为纯虚数的判断方法，进而建立关于a的方程组，从而得出实数a的值。
4．（2024高一下·顺德期中）以下说法正确的是（ ）
①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体．
A．①②④⑥ B．②③④⑤ C．①②③⑥ D．①②⑤⑥
【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征
【解析】【解答】解：①因为棱柱的两个底面平行且侧棱两两相互平行，故侧面是平行四边形，故①正确；
②因为平行六面体是各面都为平行四边形的六面体，
又因为长方体是各面都为矩形的平行六面体，故②正确；
③因为直棱柱是侧棱与底面垂直的棱柱，显然长方体的侧棱与底面都垂直，
则长方体为直棱柱，故③正确；
④因为底面是正多边形且各侧面为全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥，故④错误；
⑤因为底面为长方形的直四棱柱是长方体，故⑤错误；
⑥因为四棱柱、五棱锥均有六个面，都是六面体，故⑥正确.
故答案为：C.
【分析】根据棱柱（直棱柱、平行六面体、多面体）、棱锥（正棱锥）的结构特征判断各选项，从而找出说法正确的选项.
5．（2024高一下·顺德期中）已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为在上的投影向量的数量为，
所以在上的投影向量为.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和数量积求投影向量坐标的方法，从而得出在上的投影向量坐标.
6．（2024高一下·顺德期中）在中，角所对的边分别为.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：根据正弦定理可知，，，
则，所以.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和正弦定理，从而得出a的值.
7．（2024高一下·顺德期中）设复数满足，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】复数相等的充要条件；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：依题意，令，则，
所以，所以，
即，所以.
故答案为：B．
【分析】令，由解出的值，再利用复数求模公式计算出的值.
8．（2024高一下·顺德期中）已知向量，，那么等于（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：因为，，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用数量积的坐标运算和两角和的正弦公式，从而可得的值.
9．（2024高一下·顺德期中）已知，为复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则或
【答案】A,C
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的加减运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：对于A：根据共轭复数的定义和复数相等的判断方法，故A正确；
对于B：取，，满足，但，故B错误；
对于C：设，，，
由，得，即，，
所以，即，故C正确；
对于D：取，，
则，，此时且，故D不正确．
故答案为：AC.
【分析】根据共轭复数的定义、复数相等的判断方法、复数求模公式，复数减法的运算法则，从而逐项判断找出说法正确的选项.
10．（2024高一下·顺德期中）已知复数，为的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A．的虚部为
B．
C．为纯虚数
D．在复平面上对应的点在第四象限．
【答案】B,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】解：因为，
则的虚部为，故A错误；
因为，故B正确；
因为，
所以，即为实数，
故C错误；
因为，所以，
则在复平面上对应的点 在第四象限，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】先利用复数的除法运算法则得到复数，再利用复数的虚部定义，从而判断出选项A；利用复数模长公式判断出选项B；利用复数的乘方运算得到，再利用纯虚数的判断方法，从而判断出选项C；利用共轭复数的概念、复数的几何意义判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
11．（2024高一下·顺德期中）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积为
B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的侧面积与球的表面积相等
D．圆柱、圆锥、球的体积之比为
【答案】C,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，因为圆柱的侧面积为，所以A错误；
对于B，因为圆锥的母线为，圆锥的侧面积为，所以B错误；
对于C，因为球的表面积为，所以C正确；
对于D，因为圆柱的体积，圆锥的体积，
球的体积，
所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】根据题意结合圆柱、圆锥和球的表面积和体积公式，从而逐项判断找出结论正确的选项.
12．（2024高一下·顺德期中）已知向量满足，则 .
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，则，
∴.
故答案为：．
【分析】把模平方转化为数量积进行计算，再结合数量积的运算法则和已知条件，从而得出的值．
13．（2024高一下·顺德期中）若复数，则
【答案】
【知识点】复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，所以．
故答案为：.
【分析】先利用复数求模公式求出复数，再利用复数求模公式求出的值.
14．（2024高一下·顺德期中）已知钝角的面积是，且，，则 ．
【答案】
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为三角形面积公式为，所以，
若为钝角时，则，
由余弦定理，则，解得；
若为锐角时，则，
由余弦定理，则，解得，
此时，为直角边1的等腰直角三角形，不符合题意，
综上所述，.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合三角形的面积公式得出角B的正弦值，再结合分类讨论的方法和同角三角函数基本关系式、余弦定理，从而得出AC的长.
15．（2024高一下·顺德期中）计算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：由题意可得：.
（2）解：由题意可得：.
（3）解：由题意可得：.
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据复数的加法、减法运算法则，从而化简计算出结果.
（2）根据复数的乘法运算法则，从而化简计算出结果.
（3）根据复数的除法运算法则，从而化简计算出结果.
（1）由题意可得：.
（2）由题意可得：.
（3）由题意可得：.
16．（2024高一下·顺德期中）利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）
【答案】（1）解：由题意可得：.
（2）解：由题意可得：.
（3）解：由题意可得：.
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式
【解析】【分析】（1）根据两角差的正弦公式，从而化简求值.
（2）根据两角和的余弦公式，从而化简求值.
（3）根据两角和公式的正切公式，从而化简求值.
（1）由题意可得：.
（2）由题意可得：.
（3）由题意可得：.
17．（2024高一下·顺德期中）（1）已知，求实数、的值.
（2）设，，若为实数，求的值.
【答案】解：（1），其中、，，解得.
（2），
因为为实数，则，所以.
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）根据复数相等的判断方法，从而可得出关于实数、的方程组，解方程组得出实数、的值.
（2）利用复数的除法运算法则化简复数，再根据复数为实数的判断方法，从而可得出关于实数的方程，解方程得出实数的值.
18．（2024高一下·顺德期中）如图，在菱形中，.
（1）若，求的值；
（2）若，，求.
【答案】（1）解：在菱形中，，
故，
故，
所以.
（2）解：因为，
所以
，
因为菱形，且，，
故，.
所以.
则，
故.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）由题意结合菱形的结构特征，从而得出，进而得出x，y的值，则得出的值.
（2）利用已知条件结合，从而得出，再结合数量积的运算法则和数量积的定义，从而得出的值.
（1）因为在菱形中，.
故，
故，所以.
（2）显然，
所以
①，
因为菱形，且，，
故，.
所以.
故①式.
故.
19．（2024高一下·顺德期中）设的内角的对边分别为，且．
（1）求的大小
（2）若，求周长的范围
【答案】（1）解：因为，
由正弦定理可得且，
则，可得，
即且，所以.
（2）解：由（1）可知：，
由余弦定理可得，
即，整理可得，
又因为，即，
解得，即，当且仅当时，等号成立，
由三角形可知：，即，可得，
所以周长的范围为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据题意结合正弦定理，可得的值，再结合三角形中角B的取值范围，从而可得角B的值.
（2）利用余弦定理结合基本不等式求最值的方法，从而可得的取值范围，再结合三角形两边之和大于第三边的性质和交集的运算法则，从而可知的取值范围，则根据三角形的周长公式得出周长的取值范围.
（1）因为，由正弦定理可得，
且，则，可得，即，
且，所以.
（2）由（1）可知：，
由余弦定理可得，
即，整理可得，
又因为，即，
解得，即，当且仅当时，等号成立，
由三角形可知：，即，可得，
所以周长的范围为.
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