江西省赣州市十八县（市、区）二十五校2025届高三下学期期中联考数学试卷（含答案）

江西省赣州市十八县（市、区）二十五校2025届高三下学期期中联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知是首项为，公比为的等比数列若数列的前三项和为，则等于( )
A. B. C. D.
3.已知，，则“向量，共线”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
4.已知展开式中的常数项为，则等于( )
A. B. C. D.
5.已知函数的值域是，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知一圆锥的底面半径是，高为，为该圆锥的一条母线，，是圆锥底面圆周上的两个动点，则直线与夹角的余弦值的最大值是( )
A. B. C. D.
7.不等式在区间上的整数解的个数是( )
A. B. C. D.
8.某篮球队参加一项国际邀请赛，比赛分为两个阶段小组赛阶段：进行场小组赛，至少赢得场才能晋级排名赛，否则淘汰若晋级，进入排名赛阶段：进行场比赛，每赢一场可额外获得奖金已知该篮球队小组赛阶段每场获胜的概率均为，若能晋级，排名赛阶段每场比赛获胜的概率均是该球队参加小组赛能获得出场费万元，排名赛每赢一场比赛，获得万元奖金设该球队参加这项赛事获得的总奖金为随机变量单位：万元，则随机变量的数学期望是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.调研某工厂的生产投入生产工时天对产量件天和每件产品的平均能源消耗千瓦时件的影响，得到如下数据：
生产工时天
件天
千瓦时件
现在对与，与分别进行相关性分析，得到相关系数分别为，，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
10.尼科梅德斯蚌线是一种经典的曲线，已知一条尼科梅德斯蚌线的方程为及一条直线，下列判断正确的是( )
A. 曲线关于轴对称
B. 曲线上点的横坐标的取值范围是
C. 直线与曲线一定有且仅有两个交点
D. 直线被曲线截得的线段的中点在定直线上
11.已知函数为常数有两个极值点，，且则下列判断正确的是( )
A. B.
C. 有最小值 D. 有最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，那么等于 ．
13.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线右支相交于，两点点在第一象限，且，则的面积等于 ．
14.已知正四棱锥的各棱长均为，点是棱的中点，动点满足，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的极值点
若函数在区间上的最小值为，求实数的值．
16.本小题分
如图，已知中，，，，点是边上一点，且．
求的长
求的面积．
17.本小题分
如图，已知斜三棱柱的侧面是正方形，侧面是菱形，平面平面，，，点，分别是棱，的中点．
求证：
设直线与平面的交点为，求的长
求二面角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆和圆的方程分别是，，椭圆的离心率，点，分别在，上，的最大值为．
求，的方程
点是圆上的动点，过点作与椭圆有且只有一个交点的两直线，，设直线，的斜率分别为，，且与轴分别交于点，．
(ⅰ)求证：为定值
(ⅱ)求的取值范围．
19.本小题分
若有穷数列，，，满足为常数，，，，，则称数列为“项数为差为的极差数列”．
写出一个各项为正整数，，的“项数为差为的极差数列”
“项数为差为的极差数列”满足各项均为正整数，，，证明：数列是等差数列
从数，，，，任意取出个，按由小到大的顺序组成数列，，，，，求这个数列是“项数为差为的极差数列”的概率．
参考答案
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15.解：，
因为，由，解得，
且时，，时，，
所以，是函数的极小值点
当即时，函数在区间上单调递增，所以在时取最小值，最小值为
当即时，，
因此，，
当即时，函数在区间上单调递减，所以在时取最小值，最小值为．
综上．
16.解：在中，，，，
因此，
所以，
即；
中，，，，
设，
则，解得，，
即，
所以的面积为：．
17.解：平面平面，
又侧面是正方形，所以，因此，平面，
又平面，所以，
侧面是菱形，，因此是正三角形，且是的中点，
所以，所以平面，所以
设的中点为，则，，
因此是平行四边形，所以，所以平面， 直线与平面的交点，
所以平面平面，平面，所以，
又因为是的中点，所以点是的中点，
即点是线段的四等分点，；
如图，在平面内，过点作的垂线，则平面，以为坐标原点，，，所在直线分别作为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，由得，平面的法向量，
设平面的法向量，
由，
由，

令，则，
所以，，
因此，所求二面角的余弦值为．
18.解：由离心率得，，
点，分别在，上，得到，，
因此，，解得，，
所以椭圆的方程为，圆的方程为．
设直线，与椭圆方程：联立得到：
，有且仅有一个交点，因此，，
化简得到：，
设点，得，
消去得到，
同理，，
因此，，是关于的方程：的两根，
因此，，
又点在圆上，所以，所以，．
由的方程：，得到，
同理，，
因此，，
即，
设，则，
因为点在圆上，且，所以，所以，即，
所以，
19.解：，，，，，，等．
由题意：，，，，，
将上面各式相加得：，因此，，
又因为，因此上面各不等式均取等号，即，
所以数列是公差为的等差数列
从数，，，，任意取出个，按由小到大的顺序组成数列，，，，，
所有不同数列的个数为，
给出一个确定“项数为差为的极差数列”的方法，
把个相同小球放进编号分别为，，，，，的六个箱子，
箱子中的球数，就是箱子的编号的值，其中第一个箱子至少需要放个小球，
第，，，个箱子至少需要放个小球，第个箱子可以不放球，每一种放法，对应一个符合条件的数列．
第，，，个箱子先分别放入个小球，第个箱子先借出个小球，
不同放法等价于个相同小球放进个箱子，
每个箱子至少一个小球的放法数为，
因此，所求概率为
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