2025年江西省南昌市豫章中学高考数学调研试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数的实部为，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，集合，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若是偶函数，则( )
A. B. C. D. 或
4.在平面直角坐标系中，圆：与圆相交于，两点，则四边形的周长为( )
A. B. C. D.
5.已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，且，，成等差数列，则( )
A. B. C. D.
6.一个密闭的长方体盒子高为，底面是边长为的正方形，盒内有一个半径为的小球，若将盒子任意翻动，则小球不能到达区域的体积是( )
A. B. C. D.
7.若在上的极大值大于，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知等差数列、的前项和分别为、，若，对，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知两组样本数据，第一组，第二组，若，则( )
A. 这两组数据的平均数一定相等 B. 这两组数据的极差一定相等
C. 这两组数据的第百分位数一定相等 D. 这两组数据的众数一定相等
10.已知数列的通项公式为，则( )
A. ， B. ，，
C. ，， D. 、，，
11.已知函数、定义域为，其中为偶函数，，且，，则( )
A. B. 为奇函数
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆锥的母线长为，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为______．
13.已知，则 ______．
14.如图，由个单位小方格组成的方格表中共有个格点，将每个格点染成灰色或黑色，满足：若任意个格点构成矩形的个顶点，则这点中至多有点被染成灰色则被染为灰色的格点数目最多为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角、、的对边分别为、、，．
求；
若，，求．
16.本小题分
已知，，且在处的切线与的交点横坐标为．
求；
记，求的单调区间；
在的条件下，证明：．
17.本小题分
如图，是平行六面体，底面是边长为的正方形，，，点，满足．
求证：，，，四点共面；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
如图所示，，，，分别是“曲圆”与轴、轴的交点，已知，扇形的面积为．
注：题目中把半椭圆与圆弧合成的曲线称作“曲圆”，其中为半椭圆的右焦点
求，的值；
过点且倾斜角为的直线交“曲圆”于，两点，试将的周长表示为的函数；
在的条件下，当的周长取得最大值时，探究的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出面积的取值范围．
19.本小题分
“由样本估计总体”是统计学中一种重要的思想方法，而我们利用一些样本去估计某一参数的值时，常采用最大似然估计的方法最大似然估计是由高斯首次提出，费尔希推广并使之得到广泛应用的一种估计方法，其原理是从总体中抽出具有个值的采样，，，，求出似然函数，似然函数表示样本同时取得，，，的概率，当似然函数取得最大值时参数的取值即为该参数的最大似然估计值．
已知一工厂生产产品的合格率为，每件产品合格与否相互独立，现从某批次产品中随机抽取件进行检测，有件不合格；
估计该批次产品合格率；
若用随机变量表示产品是否合格，表示不合格，表示合格，求合格率的最大似然估计值，并判断与中估计值是否相等；
设一次试验中随机变量的概率分布如下：
现做次独立重复试验，出现了次，出现了次，出现了次，求的最大似然估计值；
泊松分布是一种重要的离散分布，其概率分布为，设一次试验中随机变量的取值服从泊松分布，进行次试验后得到的值分别为，，，，已知的最大似然估计值为，求数列的前项和．
参考答案
1.
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8.
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13.
14.
15.解：因为，即，可得，
由余弦定理可得，
因为，故；
因为，，则，
由正弦定理得，解得．
16.解：依题意，，
则，
又，
所以函数在处的切线为，即．
则，
解得．
由题知，
．
记，则，
易得在上单调递增．
又，
所以时，；时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，即，
所以在单调递增，
即的单调递增区间为，无单调递减区间．
证明：当时，，，
所以；
由知：当时，因为在单调递增，
则．
综上，，即得证．
17.证明：因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以，，， 四点共面；
解：设，，，
则由题意可得：，，，，
设为平面的法向量，
则由，有，
令，有，，所以，
则，
设为平面的法向量，
则由，可得，
令，有，，所以，
则，
又，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：扇形的面积为，所以，
与轴的交点，右焦点，
因此在三角形中，，
又由于，因此．
显然的斜率不为，因此，
根据第一问知半椭圆方程为，
圆弧方程为，恰为椭圆的左焦点，
当时，、在半椭圆上，
由于、在半椭圆上，因此，
因此三角形的周长；
当时，、分别在半椭圆和圆弧上，
由于，因此三角形是腰为的等腰三角形，且，
因此，
由于在半椭圆上，因此，
因此三角形的周长；
当时，、分别在圆弧和半椭圆上，
由于，因此三角形是腰为的等腰三角形，且，因此，
由于在半椭圆上，因此，
因此三角形的周长．
综上所述，．
根据第二问知，当时，，
当时，，
因此当时，取得最大值，此时、在上，
设为，
联立直线和椭圆方程可得，化简得，
根据韦达定理可得，
，
点到的距离，
因此，
令，由于，因此，，
，
由于函数在上单调递增，因此，所以，
因此
，
所以三角形的面积不是定值，取值范围是．
19.解：根据题目：已知一工厂生产产品的合格率为，每件产品合格与否相互独立，现从某批次产品中随机抽取件进行检测，有件不合格；
(ⅰ)由题该批次产品合格率；
(ⅱ)由题意得，似然函数，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
则当时，取得最大值，即的最大似然估计值为，与(ⅰ)中的估计值相等；
，
令，
则，令，解得，
易知在上单调递减，
则当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则时，取得最大值，所以的最大似然估计值为．
，
设，
则函数与单调性相同，因为为减函数，
令，得，则时，
函数单调递增；时，函数，单调递减，
所以为极大值点也及最大值点，
所以为极大值点也及最大值点，
则由题的最大似然估计值为，即．
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