2025年山东省名校高考数学校际联考试卷（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前项和为，若，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知，为单位向量，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.已知随机变量：∽，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.若函数有个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知轴截面是正三角形的圆锥，其内接圆柱的下底面在圆锥底面内，上底面圆在圆锥的侧面上，若圆柱与圆锥的侧面积之比为，则此圆柱与圆锥的体积之比为( )
A. B. 或 C. 或 D. 或
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 两组样本数据，，，和，，，的平均数分别为，，若已知，则
B. 已知变量，的对样本数据，，，，，变量，的线性回归方程为，若，，则
C. 若随机变量服从二项分布：，则
D. 某学生次考试的数学成绩分别为：，，，，，，，，则这次数学成绩的分位数为
10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线交椭圆于，两点，则( )
A. 的周长为
B. 若直线经过点，则的最小值是
C. 若线段中点坐标为，则直线的方程为
D. 若点是椭圆上的任意一点，点是圆：上的任意一点，则的最大值为
11.已知函数，则( )
A. 函数的值域为
B. 函数在处的切线方程为
C. 若函数的图象关于点对称，则点的坐标为
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式的展开式中含项的系数为______．
13.已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于、两点，若，的面积为，则实数的值为______．
14.已知直线与曲线相切，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，函数．
求函数的单调递增区间；
在中，若，，且的面积为，求．
16.本小题分
如图所示，在四面体中，平面，是的中点，，分别在线段，上，且，．
求证：平面；
若，，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
证明：当时，．
18.本小题分
已知双曲线的左、右焦点分别为、，焦距为，且点到其渐近线的距离为．
求的标准方程．
若点是上第一象限的动点，过点作直线不与渐近线平行，若与只有一个公共点，且与轴相交于点与点不重合．
证明：．
若点在直线上，且，那么点是否在定直线上？若在定直线上，求出该直线方程；若不在定直线上，请说明理由．
19.本小题分
“马尔科夫链”是一种随机过程，它具有马尔科夫性质，也称为“无记忆性”，即一个系统在某时刻的状态仅与前一时刻的状态有关为了让学生体验马尔科夫性质，数学老师在课堂上指导学生做了一个游戏他给小聪和小慧各一个不透明的箱子，每个箱子中都有个红球和个白球，这些球除了颜色不同之外，其他的物质特征完全一样规定“两人同时从各自的箱子中取出一个球放入对方的箱子中”为一次操作，假设经过次操作之后小聪箱子里的白球个数为随机变量，且．
求的值；
随机变量的分布列和期望；
求．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意，，，
则
，
所以，
由，
可得，，
所以的增区间为；
由，得，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以，
因此，又，
所以，
即，
所以，
即．
16.解：证明：如图，在线段上取一点，使，
由已知，，且，
在线段上取一点，使，
由已知，，且，
所以，且，因此四边形为平行四边形，
所以，又平面，且平面，
所以平面．
由，，知．
以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，
分别以，所在直线为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系．
又，得，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：由题意，函数的定义域为，则，
当时，，则在上单调递减，
当时，由，得，由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
证明：由可知，当时在上单调递增，在上单调递减，
所以，
要证，即证，
因为，因此只需证，
设，，则，
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
所以，所以当时，，从而命题得证．
18.解：根据题目；已知双曲线的左、右焦点分别为、，
焦距为，且点到其渐近线的距离为．
可知，可得，
双曲线的渐近线方程为，即，
点到其渐近线的距离为，所以，，
因此，双曲线的方程为．
证明：因为是上第一象限的动点，则，可得且，
易知点、，
所以，
，
由双曲线的定义可得，
所以，，
先证明出双曲线在点处的切线方程为，
联立可得，整理可得，解得，
所以，双曲线在点处的切线方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，且，
所以，，因此，；
如下图所示：
直线的斜率为，
因为，则直线的斜率为，
所以，直线的方程为，
联立直线和直线的方程，
可得，解得，
点在定直线上．
由已知条件求出、的值，可得出的值，由此可得出双曲线的方程；
利用两点间的距离公式化简、的表达式，证明出双曲线在点处的切线方程为，求出点的坐标，由此可证得；
求出直线的方程，将该直线方程与直线的方程联立，求出点的坐标，即可得出结论．
本题考查直线与双曲线的综合，属于难题．
19.解：由题意可得，解得．
由已知可得随机变量的所有可能取值为，，，
则，，已知，
所以，
，
，
所以随机变量的分布列如下表所示：
期望．
，
又，
所以，
所以，
因为，
所以，
．
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