云南省红河州、文山州、普洱市、临沧市2025年高考统测
数学试卷（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若为虚数单位，其，为实数，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆：的右焦点为，则的长轴长为( )
A. B. C. D.
3.已知集合，，若，则实数的值为( )
A. B. C. D. 或
4.( )
A. B. C. D.
5.广东省第十二届大学生运动会将于年月日至月日在广州市举行某电视台为了报道此次运动会，计划从甲、乙、丙、丁、戊名记者中选派人前往现场进行报道若记者甲被选中，则记者乙也被选中的概率为( )
A. B. C. D.
6.函数的零点个数是( )
A. B. C. D.
7.在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，若四棱锥的外接球半径为，则与所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.定义在上的函数满足：都有，，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在菱形中，点，分别是，的中点，，，下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
10.长时间玩手机可能影响视力为研究近视与玩手机时长的关系，某市随机抽取名高中生进行调查，其中有的人近视而这名学生中有的学生每天玩手机超过小时，这些人的近视率达根据以上数据得到如下列联表：
近视 不近视 合计
每天玩手机超过小时
每天玩手机不超过小时
合计
附：
参考公式：，其中．
下列说法正确的是( )
A.
B. 依据小概率值的独立性检验，认为玩手机时长与近视之间有关
C. 用频率估计概率，若从该市高中生中随机抽取人进行视力调查，记近视人数为，则的数学期望
D. 若从列联表中每天玩手机超过小时的人中随机抽取人，记近视人数为，则
11.已知一圆台上、下底面半径分别为，，母线长为，下列说法正确的是( )
A. 该圆台的体积为
B. 该圆台母线与下底面所成的角为
C. 存在一个球与该圆台的两个底面和侧面都相切
D. 过该圆台的轴上一点作平行于下底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量，若，则 ______．
13.已知直线：，若直线被圆所截得的弦长为，则的最大值为______．
14.抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴如图，抛物线：的焦点为，由点发出的光线经点反射后经过点，若点在上，且，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知为数列的前项和，．
求的通项公式；
若，求取得最大值时的值．
16.本小题分
已知函数的最小正周期为．
求函数的单调递增区间；
在中，角，，的对边分别为，，，，从下列，中任选一个作为条件，求的取值范围．
条件：若的面积为，；
条件；．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分
17.本小题分
已知函数．
求曲线在处的切线方程；
求函数的极值；
设，求函数在区间上的最大值．
18.本小题分
已知双曲线：的离心率为，其右焦点到一条渐近线的距离为．
求双曲线的方程；
若直线：与双曲线交于不同的两点，，且以线段为直径的圆经过点．
证明：直线过定点；
已知点，判断双曲线上是否存在点，使为的重心，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
高斯一博内公式是大范围微分几何学的一个经典公式，是关于曲面的图形由曲率表征和拓扑由欧拉示性数表征间联系的一个重要表述，建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系其特例是球面三角形总曲率与球面三角形的面积满足，其中为球的半径如图，把球面上的三个点用三个大圆以球心为圆心的圆的圆弧连接起来，所围成的图形叫做球面三角形，若平面，平面，平面两两所成的二面角的平面角分别为，，，则球面三角形的面积，已知．
若图中，求劣弧的长；
若图中球面三角形中的劣弧，，的长均为，求球面三角形的总曲率；
由图截出三棱锥，并延长使，得到图所示的三棱锥，，，，为线段上的一个动点，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，直线与平面所成的角为，求的最大值．
参考答案
1.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：已知为数列的前项和，．
则当时，，
即，
又满足上式，
即；
由可得：，
则，
当时，，
当时，，
当时，，
即取得最大值时的值为或．
16.解：因为函数的最小正周期为，
所以由周期公式得：，
所以，
令，解得，，
所以函数的单调递增区间为，；
因为，
所以，
选择条件：因为，
结合余弦定理，得，
因为，所以；
选择条件：因为，所以，
由正弦定理得：，
即，因为，所以，
所以，因为，所以；
由正弦定理：，其中为外接圆半径，
因为，，设，则，
则，，，
所以
，
因为，所以，
所以，所以．
17.解：函数的定义域为，
由，则切线的斜率，
又，故切点为，
所以切线的方程为，即．
因为，
则，得；，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故当时，有极大值，无极小值．
由得：当且，即时，
在上恒成立，函数在上单调递增，
所以；
当，即时，
时，，时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以；
当时，在上恒成立，函数在上单调递减，
所以，
综上所得：当时，；
当时，；
当时，．
18.解：因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为，
所以右焦点为到渐近线的距离为，因为双曲线的离心率为，
所以，所以，解得，所以双曲线的方程为．
证明：设，，联立，得，
则，，，
，，
因为以线段为直径的圆经过点，所以，所以，
即，所以．
化简得，即，因为，，所以，
所以直线的方程为，所以直线过定点；
假设双曲线上存在点，使为的重心，
则，即，
由知，，所以，
又，所以，因为点在双曲线上，
所以，即，
化简得，即，所以或舍，
又因为，所以假设不成立，故双曲线上不存在点，使为的重心．
19.解：设劣弧的长度为，因为，，
所以；
设，，的长度为，，
则，且，
所以，，，
故平面，平面，平面两两垂直，得，
所以球面三角形的面积，
故球面三角形的总曲率；
由余弦定理知：，
所以，
，
所以，
因为，所以，因为，故AC，
由题知，是球的直径，则，，
因为，，且，平面，
所以平面，又平面，
则，因为，，且，平面，
所以平面，
因为，所以为等腰直角三角形，
所以．
因为，，两两垂直，
以为坐标原点，以，所在直线为，轴，过点作的平行线为轴，建立如图空间直角坐标系，
设，
则，，，，，，，
，
则，，，，
设平面法向量，
则，
取，则，，
可得，
设平面法向量，
则，
取，则，，可得，
要使取最大值，则取最小值，取最大值，
因为
，
令，，则，，
可得，
当且仅当，即时等号成立，
则取最大值，为最小值，
所以．
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