2025年江西省景德镇市昌江一中高考数学4月模拟试卷（二）（含答案）

2025年江西省景德镇市昌江一中高考模拟
数学试卷（二）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知集合，，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.若，则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
5.在中，为边上一点，且，设，，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在圆锥中，是底面圆的直径，已知，，是的中点，二面角的大小为则圆锥的体积为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知，，，则下列结论正确的是( )
A. 且 B. 且 C. D.
8.已知点是抛物线：的焦点，点是抛物线上一点过点作圆：的两条切线，切点分别为，，且分别交抛物线的准线于，两点，，位于轴异侧如图所示若，则的长为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，将的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则关于函数，下列结论正确的是( )
A. 函数的最小正周期为 B. 函数图象关于点对称
C. 函数图象关于直线对称 D. 函数在区间上单调递减
10.设，是一次随机试验中的两个事件，且，，，则( )
A. ，相互独立 B.
C. D.
11.已知函数的定义域为，区间，若，，则称是在上的不动点，集合为在上的不动点集若函数在上的不动点集为，下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数在点处的切线方程为______．
13.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则的面积的最大值为______．
14.已知椭圆的左，右焦点分别为，，其中，直线与椭圆交于，两点，记的面积为，若时，，则椭圆的离心率的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足：，．
求数列的通项公式；
设数列的前项和为，若，求证：．
16.本小题分
为激发学生注重学科核心素养的培养，某校数学教研组开展数学基本技能比赛，比赛采用自主报名参赛方式，全校共有名学生自主报名参赛，统计参赛成绩，参赛学生所得分数的分组区间为，，，得到如下的频数统计表：
分数区间性别
男生名
女生名
若学生得分不低于分，则认为基本技能优秀，得分低于分，则认为基本技能良好，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生的基本技能与性别是否有关？
为进一步调研男生和女生在基本技能上的差异，在参加数学基本技能比赛的名学生中，按性别比例分层抽样的方式随机抽取名学生进行问卷调研，然后再从这名学生中随机抽取名学生进行座谈调研，记取出的人中女生的人数为，求的分布列和数学期望．
附：
，．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，为边上异于，两点的动点，平面与边交于点．
请判断四边形的形状，并说明理由；
已知侧面底面，，，，求直线与平面所成角的大小．
18.本小题分
已知函数，．
证明：函数与的图象关于直线对称；
设．
(ⅰ)判断函数的单调性；
(ⅱ)证明：，．
19.本小题分
已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线的右支上一点，若，双曲线的离心率为．
求双曲线的标准方程；
设，分别是双曲线的左，右顶点，平行轴的直线交双曲线于，异于，两点直线与直线交于点，求交点的轨迹的方程；
过点且斜率为的直线交第问的轨迹于，不在坐标轴上两点，点是轨迹上一点，满足轴，直线，分别交直线于点，，其中为坐标原点，记，，求的最小值．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：数列满足，，
所以当时，，，，，
上述各式相加得，
又，所以，
又满足上式，故．
证明：设数列的前项和为，若，
所以，
所以数列的前项和
，
即．
16.解：学生得分不低于分，则认为基本技能优秀，得分低于分，则认为基本技能良好，
根据题意得如下列联表：
男生 女生 合计
基本技能优秀
基本技能良好
合计
零假设：该校学生的基本技能与性别无关联．
，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为该校学生的基本技能与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于．
在参加数学基本技能比赛的名学生中，按性别比例分层抽样的方式随机抽取名学生进行问卷调研，
然后再从这名学生中随机抽取名学生进行座谈调研，
记取出的人中女生的人数为，由题意知，随机抽取进行问卷调查的名学生中，女生名，男生名，
随机变量的可能取值有，，，
故，
，
，
的分布列为：
．
17.解：在三棱柱中，，
又平面，平面，
所以平面，又平面平面，平面，
所以，
又平面平面，
平面平面，平面平面，
所以，
所以四边形为平行四边形；
取的中点，连接，
在中，因为，所以，
因为侧面底面，底面侧面，底面，
所以平面，又侧面，所以．
在中，由，，可知，
在中，因为，，所以，
所以，所以，
从而，，两两垂直．
以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则
令，得，
设直线与平面所成角为，
则，
因为，所以，
即直线与平面所成角的大小为．
18.解：证明：设点为函数上任一点，又点关于直线对称的点为，
，，点在函数的图象上．
设点为函数上任意一点，又点关于直线对称的点为，
，，点在函数的图象上．
综上可得，函数的图象与的图象关于直线对称；
由已知，
得，
令，则，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
，，
则在单调递增．
(ⅱ)证明：，
当时，令，
则，
令，则，
在上单调递增，则，
，在上单调递增，
则，
，
即，．
19.解：，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线的右支上一点，
且，
，
又双曲线的离心率为，
即，得，
，
双曲线的标准方程为．
由得双曲线的方程为，
设，
则，又，，
则，
由，，三点共线得：；
又，
由，，三点共线得：，
两式相除得，
，
所以，
即，得，
直线与直线的交点的轨迹的方程为．
由已知可设直线的方程为，，设，，
联立
化简可得，
，
，
，
，
又直线的方程为，与直线联立可得，
，
直线的方程为，与直线联立可得，
，
，
，，
，
又，
，
，当且仅当时取等号，
的最小值为．
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