2025年四川省达州高级中学高考数学冲刺试卷（一）（含答案）

2025年四川省达州高级中学高考数学冲刺试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.设，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.记是等差数列的前项和，若，则的最大值是( )
A. B. C. D.
5.某鱼塘只养殖有鲢鱼和鲫鱼，若鲢鱼和鲫鱼的数量比是：，鲢鱼和鲫鱼被钓上来的概率分别是，现有一条鱼被钓上来了，这条鱼是鲢鱼的概率为( )
A. B. C. D.
6.设均为单位向量，且，则的最大值是( )
A. B. C. D.
7.某市将要承办“全国太极拳公开赛总决赛”，组委会将甲、乙、丙、丁、戊等五位志愿者分配到个人赛、对练赛和集体项目比赛等三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到个人赛场馆，乙不能分配到对练赛场馆，则不同分配方案的种数是( )
A. B. C. D.
8.若，函数的图象恒在函数图象的上方，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线，，不同的平面，，下列命题中正确的是( )
A. 若，，且，则
B. 若，，且，则
C. 若，，且，则
D. 若，，且，则
10.若实数，都是一次函数的零点，则下列不等关系中可能成立的是( )
A. B. C. D.
11.已知是椭圆的内接三角形，且，下列说法正确的是( )
A. 的离心率是
B. 的面积的最大值是
C. 若直线，的斜率之积为，则
D. 若，的中点满足方程
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，且，则 ______．
13.已知在平面直角坐标系中有两个点，，数学上，我们常把定义为欧几里得距离，把定义为曼哈顿距离分别记，为双曲线的右顶点和右焦点，若，则点的轨迹与双曲线的公共点个数是______．
14.记表示不小于的最小整数，例如已知是大于的正整数，设是函数的零点，记，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
年末促销是商场常用清理库存和资金回笼的一种措施某商场对消费超过元的消费者提供一次抽奖活动，抽奖箱中装有个同种材质且大小相同的红球、黄球和绿球绿球的个数最多，消费者从抽奖箱中同时抽取个小球，若个小球都是红球即获得一等奖，都是黄球即获得二等奖，其余情况，均是不获奖若从抽奖箱中同时抽取个小球，其中黄球和绿球各个的概率是，某消费者抽奖一次．
求其获得一等奖的概率；
记抽到的绿球个数为，求的分布列及其期望．
16.本小题分
已知函数，其中，若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，且是偶函数．
求的解析式及单调递减区间；
在中，角，，所对的边分别为，，，已知且，若是的中点，求的最大值．
17.本小题分
过抛物线：的焦点作平行于轴的直线被抛物线截得的弦长为，已知点，，设过点的直线与抛物线交于点，，且直线交抛物线于点点与点不重合．
求抛物线的方程；
设直线交以为直径的圆于点，，求的最小值．
18.本小题分
如图，在三棱锥中，，，，，，分别是，，，的中点．
证明：；
若，求四边形面积的最大值；
若，且二面角的余弦值为，求点到平面的距离．
19.本小题分
设，其中，，都是实数．
当时，证明：仅有一个零点，且；
当，时，求过坐标原点且与相切的直线方程；
当，，时，若实数，其中同第问，且，求的最大值．
参考答案
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15.解：设个小球中黄球为个，绿球为个，且，，，
由题意得，，
整理得，
解得，，则红球有个，
记事件：某消费者抽奖一次获得一等奖，则；
由题意，的取值是，，，
则，，，
所以的分布列为：
所以．
16.解：因为
，
因为将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，
所以．
因为是偶函数，所以．
又因为，所以，
所以．
令，解得，，
所以的单调递减区间是．
因为，
所以，即．
又因为，所以，
所以，解得．
由余弦定理有：，得，
即，当且仅当时取等号，
因为是的中点，所以，
所以，
所以，则的最大值是．
17.解：易知抛物线的焦点为，
将代入抛物线的方程中，
解得，
则，
故抛物线的方程为；
设直线的方程为，，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
因为，
所以直线，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
所以，
所以，
则，
直线，
因为，，
所以，
又，
所以，
所以直线恒过定点．
以为直径的圆的方程是，该圆的圆心为，
当且仅当时此时点，重合最小，
此时，
故最小值为．
18.解：证明：如图，设是在平面上的射影，连接，，，，
因为平面，平面，
所以．
又，，平面，平面，
所以平面．
因为平面，所以．
同理可得，，所以是的垂心，
所以．
又，，平面，平面，
所以平面．
因为平面，
所以．
连接，，，．
因为，，且
所以且，
故四边形是平行四边形．
又，，且，
所以，
所以平行四边形是矩形，则．
由可知，四边形是矩形，
则的面积，当且仅当时取等号，
所以四边形面积的最大值是．
如图，连接，连接并延长交于点，则，．
在中，由等面积法，得，即．
在中，，
所以在中，．
以为原点，，所在的直线为，轴，以过点垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系如图所示，即为三棱锥的高，
设，则，
所以，，
设平面的法向量为，
则，则，即，
令，得，，则．
设平面的一个法向量为，
则，则，则，
令，则，，
所以平面的一个法向量为，
所以，
解得，则点到平面的距离是．
19.解：证明：的定义域为，，
所以在上单调递增．
又，
所以由零点存在性定理可知：有且只有一个，使得，
即当时，仅有一个零点，且．
由，得．
设是的图象上一点，
则在该点处的切线为，整理得．
因为切线经过原点，所以，解得或，
所以当，时，所求直线方程为．
根据题目：当，，时，
若实数，其中同第问，且，
设，则．
设，则．
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
因为，
所以由零点存在性定理可知：，使得，
所以当或时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，
所以时，，
即，当且仅当时等号成立．
因为，所以，
所以当，即时，，当且仅当，即时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以最大值为．
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