2025年重庆市高考数学第二次联考试卷（含答案）

2025年重庆市高考数学第二次联考试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.某高校全体大一新生参加一项体能测试，将测试结果转换为相应分值，满分为分，统计发现得分，若得分在的学生有人，则得分在的学生人数满足( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线：，则“的渐近线互相垂直”是“的离心率等于”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若是关于的方程的虚数根，且，，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.已知等差数列的前项为，，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知是定义在的奇函数，且若，则( )
A. B. C. D.
7.已知直线：与圆：相交于，两点，若劣弧与弦围成的图形面积为，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，则( )
A. B. 若，则
C. 若，则 D. ，，
10.从年月日起，新的酒驾检验标准开始实施，只要每血液中乙醇含量大于或等于，就是酒驾，属于违法行为；而大于或等于，则认定为醉驾，属于犯罪行为张师傅某次饮酒后，若其血液中的乙醇含量单位：与酒后代谢时间单位：的数量关系满足则张师傅此次饮酒后( )
A. 当代谢时间时，血液中的乙醇含量最低
B. 血液中的乙醇含量开始是代谢时间的增函数，然后是代谢时间的减函数
C. 若执意驾车，完全不可能被认定为酒驾违法行为，更不可能被认定为醉驾犯罪行为
D. 若执意驾车，饮酒后接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾
11.已知为坐标原点，曲线：的焦点为，是的准线上一点，过点的直线与有且仅有一个交点，则( )
A. 若与轴平行，则
B. 若与轴平行，则
C. 若与轴不垂直，则
D. 若与轴不垂直，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若二项式展开式的所有项系数之和为，则 ______．
13.函数的值域为______．
14.在正四棱柱中，，，是的中点，则平面与平面夹角的余弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，已知．
证明：；
若，求．
16.本小题分
已知，函数．
若，判断的单调性；
若，求．
17.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线的斜率为且与的另一个交点为，的周长为．
求的方程及的值；
如图，将沿轴折起，使得折叠后平面平面，求到平面的距离．
18.本小题分
若抛掷一枚硬币，每次落地后正面向上的概率为，张华同学思考了以下抛掷硬币问题：
一共抛掷硬币次，求恰有次正面朝上且第次抛掷是反面朝上的概率；
如果抛掷硬币前约定“双上次原则”：即最多抛掷硬币次，当出现两次正面朝上时就不再抛掷，抛掷硬币次后即使没有出现两次正面朝上也不再抛掷设表示“双上次原则”中抛掷硬币的次数．
若，求；
若为整数表示抛掷硬币次时恰有次正面朝上的概率，证明：．
19.本小题分
已知数列的各项均为正数，若从第二项起的每一项都大于其相邻两项的等比中项，则称为新质数列．
判断正整数数列是否为新质数列，并说明理由；
已知函数，若的各项系数都是正数且存在个不同零点，证明数列，，，为新质数列；
设数列的前项和为，记如果对于数列中任意三个不同项，，，使得式子的计算结果为一个常数，当时，证明：数列为新质数列．
参考答案
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15.解：证明：根据题意可知，
根据正弦定理，，
因为，所以，
则有，
由于，，所以有；
由得，因为，
则有，
根据余弦定理，，故．
16.解：函数的定义域，，
当时，由，得，，得，
所以，当时，在上是增函数，在上是减函数．
当时，由知，函数为增函数，且，所以不成立，
当时，由知，存在最大值，
由题意，，
令，则，
当时，，是减函数，
当时，，是增函数，
所以，则．
17.解：根据题目：已知椭圆的左、右焦点分别为，，
上顶点为，直线的斜率为且与的另一个交点为，的周长为．
设，，，其中，
因为的周长为，所以，故，
又，所以，
故椭圆方程为，
所以，联立方程可得，
所以，
故
建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，
所以，，
设平面的法向量为，则
，即，取，则，
所以到平面的距离
18.解：抛掷硬币次，恰好有次正面朝上且第次是反面朝上，
则在，，次中有两次是正面朝上，则概率为；
若，则出现的情况有两种，
情况一：前四次抛掷均为反面，第五次无论何种情况均符合题意，；
情况二：前四次抛掷出现一次正面，第五次无论何种情况均符合题意，；
所以；
证明：由题意可得的所有取值有，
，
，
所以，
因为，由于，则，
所以，
故，得证．
19.解：由题意可得新质数列满足：，，且，即．
显然，且，
即，所以正整数数列是新质数列．
证明：因为，且，
由题意必有两个不相等的实数根，所以，
即，又因为个零点都不为，
由可化为，
令，说明关于的方程存在个不同零点，
同理可得，所以数列，，，为新质数列．
证明：设式子的计算结果为常数，
由题意将第，项互换得，
所以常数，又取，，得，
所以，所以，数列是等差数列，又因为，
所以，，因为，公差，
所以，所以，
当时，
，所以，故数列为新质数列．
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