湖南省益阳市2025届高三4月教学质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知为纯虚数，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
4.某同学参加跳远测试，共有次机会用事件表示随机事件“第次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为( )
A. B. C. D.
5.( )
A. B. C. D.
6.长沙是一座有着悠久历史和丰富文化底蕴的城市，其当地美食也独具特色某个假期期间，一名游客前往长沙旅游打卡，现要每天分别从臭豆腐、炸藕夹、剁椒鱼头、辣椒小炒肉、酱板鸭、糖油粑粑这种美食中随机选择种品尝选择的种美食不分先后顺序，若三天后他品尝完这种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为( )
A. B. C. D.
7.已知正六棱柱的各个顶点都在半径为的球面上，一个能放进该正六棱柱内部的最大的球半径为若，则当最小时，该正六棱柱的体积为( )
A. B. C. D.
8.设抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，其中点位于第一象限，当斜率为正时，轴上存在三点，，满足，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的图象关于直线对称 B. 在区间上单调递增
C. 的最小正周期为 D. 在点处的切线方程为
10.化学课上,老师带同学进行酸碱平衡测量实验,由于物质的量浓度差异等因素,测量酸碱度pH值时会造成一定的误差,甲小组实验数据的误差X和乙小组实验数据的误差Y均符合正态分布,其中X~N(0.3,0.0001),Y~N(0.28,0.0004).已知正态分布密度函数f(x)=,记X和Y所对应的正态分布密度函数分别为(x),(x),则（）
A. (0.3)>(0.28)
B. 甲小组实验数据的误差相对于乙小组更集中
C. P(X<0.28)+P(X0.32)=1
D. P(Y<0.31)< P(X<0.31)
11.已知函数的定义域为，若，，且，都有，则称是次可加函数，则( )
A. 是次可加函数
B. 是次可加函数
C. 若，，，则次可加函数可以是周期函数
D. 若，，，则次可加函数的表达式不唯一
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知椭圆上一动点到其两个焦点的距离之和为，则 ．
13.某小区公园内有条同心圆环步道，其长度依次构成公比为的等比数列，若最长步道与最短步道的长度之差为，则最长步道的长度为
14.幻方是一种数学游戏，具有悠久的历史，其要求每行每列以及两条对角线的数字之和均相等，且每格的数字均不相同现将填入幻方，部分数据如图所示，则的取值集合是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知双曲线的左顶点为，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为当时，．
求的离心率
若，求直线的一般式方程．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知，B.
求的面积
若，求的值．
17.本小题分
如图，长方体中，，，，，分别为棱，的中点．
过点，，的平面截该长方体所得的截面多边形记为，求的周长
设为线段上一点，当平面平面时，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
记为数列的前项和，且为等差数列，为等比数列，．
求的值，并求的通项公式
探究是否存在唯一的最大项
证明：．
19.本小题分
已知函数．
当时，讨论的单调性
已知，为曲线上任意两点，且，关于点对称．
(ⅰ)求的取值范围
(ⅱ)若，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.ABC
11.
12.
13.
14.
15.解：当时，，故的横坐标为，代入的方程，得，
因为，所以，故，
所以，故，解得，
故C的离心率为．
由知，设，，
因为，是上的两点，故两式相减得：，
整理得，
因为是线段的中点，所以，，
则，
所以直线的方程为，
其一般式方程为，经检验此时该直线与双曲线有两个交点，满足题意．
16.解：对右边等式，由余弦定理知，
设边上的高为，
则，
因为，
所以，解得，
所以的面积为．
由，
解得，，由知，，
故，由正弦定理得，，
所以，又因为，
所以．
17.解：如图，步骤延长，交于点，连接交于点，连接
步骤延长，交于点，连接交于点，连接，
多边形即为所求截面，由为中点，可得为中点，
从而与相似，所以，
又为中点，从而与全等．
又与相似，所以，
所以，，
，，，
故所求截面多边形的周长为．
当为线段中点时，平面平面，理由如下
易得，，，
故，所以又，故EF
取中点，连接，，因为，分别为，中点，故E，
所以，，，四点共面，易知四边形为正方形，故D
又平面，平面，故，
而，，平面故D平面
因为平面，所以又，，平面，
所以平面，而平面，故平面平面．
以为原点，，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，则，．
设平面的法向量，则
可取又，，
设平面的法向量，则
可取
则．
故平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：因为为等差数列，取前项知，，成等差数列，即，
因为为等比数列，取前项知，，成等比数列，即，
代入得，即，
也即，所以或，
若，那么，
所以，但不为等比数列，与题干不符，
则，得，
经检验得符合题意，故．
由可得，即，
令，解得，令，解得，且，
所以，即最大值不唯一
证明：因为
，
于是
，
因此．
19.解：，记，则，
所以在单调递增又，所以在区间单调递减，在单调递增．
由题意可得．
由对称性，不妨设，则又，即．
记，则，
又，，所以，
所以在区间上单调递增，所以，即．
下面证明，，即证，有解，记，则，
取，则，
所以，使得，所以
由题意可得，即
记，，
则，．
记，，
所以在区间上单调递增，所以，即
，即，即．
若，则
所以在区间上单调递减，所以，符合题意．
若，时，，
所以在单调递增，所以，不符合题意．
综上所述，．
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