重庆市巴蜀中学2025年高考数学二诊试卷（含答案）

2025年重庆市巴蜀中学高考数学二诊试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.过点且与抛物线：有且仅有个公共点的直线的条数为( )
A. B. C. D.
3.复数在复平面内对应的点不可能在第象限．
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
4.已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为，则此圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
5.在钝角中，内角，，的对边分别为，，，，，且最大角，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.我们解不等式时，可以采用如下方法：等价于，即根据以上思路求解：函数，的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知向量都是单位向量，且向量满足向量的夹角为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若函数的图象经过平移后可以得到函数的图象，则称函数与是“全等函数”下列各组函数中，与是“全等函数”的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10.已知，为正实数，，则下列说法正确的是( )
A. B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.数的进制是人们利用符号来计数的方法我们在日常生活中习惯于采用十进制计数与运算，但是在其它领域中，其它进制计数方式也应用广泛，例如计算机处理数据时，采用的就是二进制方法二进制数是用和表示的数，它的基数为，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”若十进制数，其中，，则对应的二进制数为以下说法正确的是( )
A. 十进制数用二进制表示为
B. 满足，，，，中有且只有个的所有二进制数对应的十进制数的和为
C. 将对应的二进制数中的个数记为，则
D. 将对应的二进制数中的个数记为，令，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.若一组数据，，，，，，，，，的第百分位数为，则这组数据的第百分位数为______．
14.已知函数若函数所有零点的乘积为，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图所示，在空间几何体中，四边形为正方形，平面平面，，，．
证明：平面．
求平面与平面所成锐二面角的大小．
16.本小题分
已知函数的图象在处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为．
求的值；
记的极大值点为，证明：．
17.本小题分
甲、乙、丙三位同学组队参加一个闯关活动每次只能派个人参加闯关活动，每次闯关用时分钟，如有必要则派下一个人继续参加闯关活动，直至三人中有两人闯关成功就视为团队“挑战胜利”，否则视为“挑战失败”在已经确定“挑战胜利”或“挑战失败”时，活动立刻结束已知甲、乙、丙各自能闯关成功的概率分别为，且假定每人能否闯关成功的事件是相互独立的．
若改变三个人先后参加闯关的顺序，团队“挑战胜利”的概率是否会发生变化？请说明理由．
为了使活动平均用时最少，三位同学应该以怎样的先后顺序参加闯关活动，并说明理由．
18.本小题分
已知直线：与椭圆交于，两点在下方，在上方，线段的中点为，直线的斜率为为坐标原点．
求椭圆的方程；
若射线与椭圆、直线分别交于，两点，且，，成等比数列．
求点到直线的距离的最大值；
当直线与轴垂直时，求的外接圆方程．
19.本小题分
存在，对任意的，当时，正项数列都满足，则称满足性质例如：当时，，则等比数列满足性质；当时，，则数列不满足性质已知数列同时满足，性质．
证明：数列为等比数列；
已知，，若数列满足：，其中，设为数列的前项和，记．
求的表达式用含的式子表示；
试判断与的大小关系，并说明理由．
参考答案
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14.，
15.解：证明：由四边形为正方形知，
又，故，又，
故，又平面平面，平面平面，
所以平面；
由知平面且，
故DA，，互相垂直，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
不妨设，则，
则，，，，
故，，，
设平面的法向量是，
则，
取，可得，
设平面的法向量是，
则，
取，可得，
记平面与平面所成锐二面角为，
则，
故，
故平面与平面所成锐二面角的大小为．
16.解：，
故；
，故函数的图象在处的切线斜率为，即，
由知，解得．
证明：由知，定义域，，
令，则在上单调递减；
由，知存在，使得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
故即为的极大值点；
由，知，
故，
故，结论成立．
17.解：不会发生变化，理由如下，
记事件：甲闯关成功，事件：乙闯关成功，事件：丙闯关成功，事件：团队“挑战胜利”，
因为甲、乙、丙各自能闯关成功的概率分别为，且每人能否闯关成功的事件是相互独立的，
若闯关的顺序为甲、乙、丙，
则，
若闯关的顺序为乙、甲、丙，
则，
即有闯关的顺序为甲、乙、丙和闯关的顺序为乙、甲、丙时，团队“挑战胜利”的概率一样，
若闯关的顺序为丙、甲、乙，则，
同理有闯关的顺序为甲、丙、乙和闯关的顺序为丙、甲、乙时，团队“挑战胜利”的概率一样，
若闯关的顺序为丙、乙、甲，则，
同理有闯关的顺序为乙、丙、甲和闯关的顺序为丙、乙、甲时，团队“挑战胜利”的概率一样，
所以改变三个人先后参加闯关的顺序，团队“挑战胜利”的概率不会发生变化；
由知，若按甲、乙、丙或乙、甲、丙顺序闯关，
用表示所花的时间，显然可能取值为，，
又，，
由知的分布列为：
则，
若按丙、甲、乙或甲、丙、乙顺序闯关，用表示所花的时间，显然可能取值为，，
又，，
由知的分布列为：
则，
若按丙、乙、甲或乙、丙、甲顺序闯关，用表示所花的时间，显然可能取值为，，
又，
，
由知的分布列为：
则，
显然，所以三位同学应该以甲、乙丙或乙、甲、丙顺序闯关．
18.解：设，，则，
由点，在椭圆上，可得，
两式相减得，
即，
所以，所以椭圆的方程为．
联立，消去并整理得，
设，，则，所以，
因为点为的中点，所以，
若射线与椭圆，直线分别交于，两点，可得，且射线的方程为，
联立，解得，
因为，，成等比数列，则，所以，
故，可得，解得，
所以直线的方程为，所以直线恒过定点，
当直线时，可得，点到直线的距离的最大值为．
由得，
当直线与轴垂直时，可得，
将其代入直线，整理得，
则且，解得舍去或，
因为，所以，此时关于轴对称，
此时直线的方程为，此时，
由于的外接圆的圆心在轴上，可设的外接圆的圆心为，
可得，解得，
所以的外接圆的半径为，
所以的外接圆的方程为．
19.解：证明：因为数列同时满足，性质，所以当时，，
当时，，
当时，由得：，，
将，式代入式得：，
所以，
又因为所以；
取，得；
所以当时，数列为等比数列．设，
将代入式得，所以；
将代入式得，所以
所以对任意的，数列为等比数列．
因为，，所以，所以，
，
当时，，所以为等差数列，
得到：，，
所以，
所以，
所以，
两式相减得：，
所以．
，
理由如下：令，，
所以数列单调递减，所以，
所以
．
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