2025年福建省泉州市安溪一中、养正中学、泉州实验中学高考数学模拟试卷（含答案）

2025年福建省泉州市安溪一中、养正中学、泉州实验中学高考
数学模拟试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知是虚数单位，复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.已知，为单位向量，且在上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
5.已知为曲线与的一个交点的横坐标，则函数的一个单调增区间为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线虚轴的两个端点分别为、，左、右焦点分别为、，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.从集合中任取三个数，取出的三个数之和是的倍数的概率为( )
A. B. C. D.
8.若斜率为的直线交曲线于点，交曲线于点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.某地种植的新品种哈密瓜获得了丰收，随机从采摘好的哈密瓜中挑选了个称重单位：，并整理数据，得到如图频率分布直方图根据此频率分布直方图，下面结论正确的是( )
A.
B. 估计该哈密瓜的质量不低于的比例为
C. 估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于至之间
D. 估计该哈密瓜的质量的中位数介于至之间
10.已知是抛物线：的焦点，点在圆：上，圆在点处的切线与只有一个公共点，动直线，则下列说法正确的是( )
A.
B. 与和圆各恰有一个公共点的直线有条
C. 若圆上仅有一个点到的距离为，则满足条件的的值有个
D. 若，上一点到的距离为，则的最小值为
11.在三棱锥中，已知平面，，过点作，，分别交，于点，记三棱锥、四棱锥、三棱锥的外接球的表面积分别为，，，体积分别为，，，若，则( )
A. 平面 B.
C. D. 的取值范围为
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.已知二项式展开式中含有常数项，则的最小值为______．
13.已知正实数，满足，若的最小值为，则实数的取值范围是______．
14.在中，内角，，所对的边长分别为，，，已知，，则的内切圆半径的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.记的内角，，的对边分别为，，，已知．
若，求；
求的最小值．
16.如图，平行六面体的所有棱长均为，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内．
若中点为，求的面积；
若平面，求线段长度的最小值．
17.小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是的倍数，则由对方接着投掷．
规定第次从小明开始．
(ⅰ)求前次投掷中小明恰好投掷次的概率；
(ⅱ)设游戏的前次中，小芳投掷的次数为，求随机变量的分布列与期望．
若第次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率．
18.已知椭圆的离心率为，点在上，直线与交于，两点，点关于轴的对称点为，为坐标原点．
Ⅰ求的方程；
Ⅱ证明：的面积为定值；
Ⅲ若点在直线的右侧，求直线在轴上的截距的最小值．
19.若函数的图象上存在三点，，，且，使得直线与的图象在点处的切线平行，则称为在区间上的“中值点”．
Ⅰ若函数在区间上的中值点为，证明：，，成等差数列．
Ⅱ已知函数，存在，使得．
求实数的取值范围；
当时，记在区间上所有可能的中值点之和为，证明：
参考答案
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14.
15.解：，，
化为：，
，
，，
，
，．
由可得：，，，
为钝角，，都为锐角，．
，
，当且仅当时取等号．
的最小值为．
16.
17.解：一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为的倍数的概率为．
(ⅰ)因为第次从小明开始，所以前次投掷中小明恰好投掷次的概率，
．
(ⅱ)设游戏的前次中，小芳投掷的次数为，依题意，可取，，，，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：
所以．
若第次从小芳开始，则第次由小芳投掷骰子有两种情况：
第次由小芳投掷，第次继续由小芳投掷，其概率为；
第次由小明投掷，第次由小芳投掷，
其概率为，
因为两种情形是互斥的，所以，
所以，
因为时，概率为，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即．
18.解：Ⅰ因为椭圆的离心率为，
所以，
解得，
因为点在椭圆上，
所以，
联立，
解得，，
则椭圆的方程为；
Ⅱ证明：设，，
可得，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，
则
，
故的面积为定值；
Ⅲ因为点在直线的右侧，
所以，
设直线与轴的交点为，
当时，点，中有一个点与椭圆的上顶点重合，
此时即为的上顶点，，
当时，
因为，，共线，
所以，
整理得，
因为
，
当且仅当时，等号成立，
此时．
则直线在轴上的截距的最小值为．

19.解：证明：由题意知．
因为，
又，
所以，即，
所以，，成等差数列．
，
设，则，
令，解得，则在上单调递增，
令，解得，则在上单调递减．
故，
且当时，，当时，．
若，则在和上分别存在一个零点，记为，，
当时，，即，单调递减，
当时，，即，单调递增，当时，，即，单调递减，
故存在，满足；
若，则恒有，所以在上单调递减，不符合题意；
综上，的取值范围是．
证明：因为，所以中值点满足，
由知当时，即有两个零点，，
所以在区间上所有可能的中值点即，．
先证明：
由，得．
要证，即证．
设，
则．
设，当时，，
所以在上单调递增，所以，
所以当时，，所以在上单调递减．
所以当时，，即．
因为，所以，即，
又，，再结合在上单调递减，
可得，从而．
令，得，
所以．
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