2025年四川省部分学校高考数学联考试卷（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知命题：，，命题：，，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
3.已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线上的点到焦点的距离为，则到坐标原点的距离为( )
A. B. C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.一组样本数据，，，，的平均数为，方差为，则由这组样本数据得到的新样本数据，，，，，的方差为( )
A. B. C. D.
7.已知曲线的图象是双曲线，则这个双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.在正四棱柱中，，，，分别是平面和上一点，且，，记异面直线与所成的角为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数图象的对称中心也是函数图象的对称中心，则的解析式可以为( )
A. B.
C. D.
10.已知函数的定义域为，，，则( )
A. B. 是增函数
C. D.
11.已知，，设集合，，是的三个不同的子集，若真包含于，则称子集，是的一个“二阶链条”，若真包含于，真包含于，则称子集，，是的一个“三阶链条”记的“二阶链条”的个数为，的“三阶链条”的个数为，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，的夹角为，且，，则 ______．
13.已知是等差数列的前项和，数列的公差为，且是等差数列，则 ______．
14.已知当时，恒成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，．
求角的大小；
若为边上一点，，，求的面积．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，，．
证明：平面．
若，求二面角的余弦值．
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调区间；
若在上的最小值为，求的值．
18.本小题分
某学校举办趣味投篮比赛，选手需要在距离罚球线米，米，米的，，三个位置分别投篮一次选手自行选择投篮顺序，在，，三个位置投篮命中分别可得分，分，分，总分不低于分就可以获得奖品已知甲在，，三处的投篮命中率分别为，，，且在这三处的投篮相互独立．
求甲获得奖品的概率．
在甲获得奖品的情况下，求甲三次投篮都命中的概率．
甲参加投篮训练，训练计划如下：在处先投个球，若这个球都投进，则训练结束，否则额外在处投个球试问为何值时，甲投篮次数的期望最大？
19.本小题分
已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，是椭圆上一点，的最大值是最小值的倍．
求椭圆的离心率；
若点不与椭圆的顶点重合，过作的切线，与轴交于点，求；
已知，，是上两个不同的点，过，分别作直线米与相切，与的交点为，若，求动点的轨迹方程．
附：椭圆以点为切点的切线方程为
参考答案
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15.解：由题意，，
由正弦定理可知，
所以，
因为，所以，
又因为，所以，
则，故，即；
设，则，
因为，所以，
则，即，
在中，，
即，解得，
所以，，
的面积为．
16.解：证明：因为底面为正方形，所以，
又因为，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，与相交，，平面，
所以平面．
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
则，，．
设平面的法向量为，
则，则，即，
令，则，
所以平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
则，则，即，
令，则，
所以平面的一个法向量为．
，
易知二面角的平面角为锐角，
故二面角的余弦值为．
17.解：函数的定义域为，．
当时，，的单调递减区间为；
当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．
当时，在上单调递减，所以，解得或舍去，故．
当时，在上单调递减，所以，解得或舍去，故．
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，所以，故，不符合题意．
综上，．
18.解：甲三次投篮都命中的概率，
甲三次投篮只命中两次且总分不低于分的概率，
甲获得奖品的概率．
记“甲获得奖品”为事件，“甲三次投篮都命中”为事件．
则，
即在甲获得奖品的情况下，甲三次投篮都命中的概率为．
设甲的投篮次数为，则的分布列为：
则．
令，则，
，当时，，当时，，
，
故当时，甲投篮次数的期望最大．
19.解：设，，
则，
因为，所以最大值为，最小值为，
所以，解得，即椭圆的离心率为．
设点，，则，
椭圆在点处的切线方程为．
令，可得，即，
，
．
，
；
因为，所以，，，的方程为．
设，，，
则椭圆在点，处的切线方程分别为，，
则，故直线的方程为，
联立可得，
，，则，
因为，所以，解得，
化简可得，故动点的轨迹方程为．
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