2025年广东省广州市真光中学高考数学适应性试卷（含答案）

2025年广东省广州市真光中学高考数学适应性试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 实轴上 B. 虚轴上 C. 直线上 D. 直线上
2.已知命题：，，命题：，，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
3.已知变量关于的回归方程为，若对两边取自然对数，可以发现与线性相关，现有一组数据如下表所示：
则当时，预测的值为( )
A. B. C. D.
4.目前新能源汽车越来越受到人们的关注与喜爱，其中新能源汽车所配备电池的充电量及正常使用年限是人们购车时所要考虑的重要因素之一某厂家生产的某一型号的新能源汽车配备了两组电池，且两组电池能否正常使用相互独立电池的正常使用年限单位：年服从正态分布，，，则这两组电池在年内都能正常使用的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知点为抛物线：的焦点，点在的准线上，点在上，若，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数是上的奇函数，且，对于任意的，，，都有，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8.已知，函数，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为，成绩位于内的同学成绩方差为则( )
A.
B. 估计该年级学生成绩的中位数约为
C. 估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的平均数为
D. 估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为
10.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，则( )
A. 直线与恰有两个公共点
B. 双曲线的离心率为
C. 当时，的面积为
D. 当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时，
11.三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于年首次发现，当内一点满足条件：时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角如图，在中，角，，所对的边分别为，，，记的面积为，点是的布洛卡点，布洛卡角为，则( )
A. 当时，
B. 当且时，
C. 当时，
D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.展开式中的系数为______．
13.若是区间上的单调函数，满足，，且为函数的导数，则可用牛顿切线法求在区间上的根的近似值：取初始值，依次求出图象在点处的切线与轴交点的横坐标，当与的误差估计值为的最小值在要求范围内时，可将相应的作为的近似值用上述方法求方程在区间上的根的近似值时，若误差估计值不超过，则满足条件的的最小值为______，相应的值为______．
14.已知正四棱锥的一个侧面的周长为，则该四棱锥体积的最大值为______，此时其外接球表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，的面积为，求边上的高．
16.本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，，为棱的中点，点在棱上，，且．
证明：平面；
若，求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响．
已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择：
方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值元的学习用品，中奖两次获得价值元的学习用品，其他情况没有奖励．
方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值元的学习用品，中奖两次获得价值元的学习用品，其他情况没有奖励；
通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？
若一位同学答对了一道题目他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率．
18.本小题分
已知曲线，当变化时得到一系列的椭圆，我们把它称为“椭圆群”．
若“椭圆群”中的两个椭圆、，对应的分别为、，如图所示，直线：与椭圆、依次交于，，，四点，证明：．
当时，直线与椭圆在第一象限内的交点分别为，设
求证：为等比数列，并求出其通项公式；
令数列，求证．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，设点，若点满足，其中为定点，则称点是点关于点的“相关点”．
已知，，当时，求点关于点的“相关点”的坐标．
已知点，，若点是点关于点的“相关点”，且，求的值．
已知圆：，点，点是圆上的动点，点是点关于点的“相关点”，若点的轨迹与圆有公共点，求的取值范围．
参考答案
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15.解：由正弦定理及，得，
即，
整理得，，即，
因为，所以，
所以，即．
因为的面积为，
所以，即，
由余弦定理，得，
所以，
设边上的高，
由，解得．
16.解：证明：如图，取棱靠近的三等分点，连结，，则是的中点，
因为为棱的中点，所以是的中位线，所以，
因为，所以，
设，因为，所以，作，连接，
则，因为，所以．
在中，由余弦定理得：，
因为，所以．
又因为，，面，所以平面，
因为面，所以．
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面；
由知，，以为原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
令，所以，
设平面的法向量为，
则即令，可得，所以．
连接，此时，，由余弦定理得：，
因为，所以，
因为平面，所以，
因为，面，，
所以面，所以平面的一个法向量为．
设平面和平面的夹角为，则，
所以平面和平面夹角的余弦值为．
17.解：若选择方案一，设该同学获得学习用品的价值为元，
由题意可知，的所有可能取值为，，，
则，，，
所以；
若选择方案二，设该同学获得学习用品的价值为元，
由题意可知，的所有可能取值为，，，
则，，，
所以，
因为，
所以，
故选择方案一比较合适；
设“该同学抽取中奖”为事件，“选择甲、乙、丙抽奖箱”的事件分别记为，，，
则，，，
所以，
故．
18.解：证明：根据题意可知，曲线，
直线：与椭圆、依次交于，，，四点，
联立方程可得，
，即，
由图可知，椭圆与直线的交点为点、，设，，则，
同理，将与直线联立可得：，
，即，
可得，则线段的中点与线段中点重合，设为点，
即有，，所以，即；
证明：由题意，联立方程可得，即，
因为交点在第一象限内，所以点的横坐标，同理可得点的横坐标，
则，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，其通项公式为；
证明：由可知，，则，
设，
设，
由时，，可得，
，
即，
，
，
即得证．
19.解：已知，，，，，那么，
因此．
由于，，点是点关于点的“相关点”，
因此，，
那么，所以．
由于，因此，，，那么，得，
化简得，，解得．
设，由于在圆：上，因此．
点是点关于的“相关点”，
那么，，
因此，即
设，那么，可得．
由于，因此，整理得．
由于点的轨迹与圆有公共点，因此两圆的圆心距满足．
连不等式前面可化为．
可得，展开得．
可得．
当时，，即，解得或，结合，所以；
当时，，即，即，恒成立，所以．
综上所述，的解集为．
连不等式后边可化为．
可得，展开得．
移项可得，
当时，可得，即，无解；
当时，可得，解得．
因为不等式的解集为，不等式的解集为，
所以原不等式的解集为．
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