2024-2025学年内蒙古呼和浩特二中高三（下）质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.已知，，，，且数列是等比数列，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5.已知定义在上的函数满足，当时，，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，且，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.在正三棱台中，，，与平面所成角为，则该三棱台的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数满足，且当时，，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
10.设函数，则( )
A. 当时，的极大值大于
B. 当时，无极值点
C. ，使在上是减函数
D. ，曲线的对称中心的横坐标为定值
11.已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则( )
A. B. 的图象关于点对称
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，的模相等且夹角为，若向量与向量垂直，则实数 ______．
13.若曲线：与曲线：存在公共切线，则的取值范围是______．
14.已知函数有两个零点、，且存在唯一的整数，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，已知．
求角的大小；
若的角平分线与边相交于点，，，求的周长．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，且．
证明：平面平面；
求平面与平面夹角的正弦值．
17.本小题分
已知数列满足：，，．
记，求数列的通项公式；
记数列的前项和为，求．
18.本小题分
已知双曲线：的右顶点，斜率为的直线交于、两点，且中点．
求双曲线的方程；
证明：为直角三角形；
经过点且斜率不为零的直线与双曲线的两支分别交于点，若点是点关于轴的对称点，试问，不论直线的斜率如何变化，直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说明理由．
19.本小题分
已知函数．
判断曲线是否具有对称性，若是，求出相应的对称轴或对称中心，并加以说明；
若在定义域内单调递增，求的取值范围；
若函数有两个零点，，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由及正弦定理，
可得，由，
可得，
又因为，所以，
所以，
整理得，
又，所以；
因为，
所以有，
由，，可得，
由余弦定理，有，
结合，可得舍负，
则的周长为．
16.解：证明：由题意，
则，
因为，，
所以，，
因为平面平面，平面平面，
且，平面，
所以平面，因为平面，
所以，且，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
如图，以为原点，，所在直线分别为轴，轴，在平面内过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量，
则，令，得，
设平面的法向量，
则，令，得，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的正弦值为．
17.解：因为，
所以当时，有；当时，有，，
即，
因为，所以，
故数列是首项为，公差为的等差数列，
所以数列的通项公式为．
因为，
所以当时，有；当时，有，，
所以
．
18.解：设，，斜率为的直线交于、两点，且中点．
则，，
，两点在双曲线上，
，由得，
即，，
，即，，
又，，
双曲线的方程为：．
由已知可得，直线的方程为：，即，
联立，，
则，，
，
，为直角三角形；
经过点且斜率不为零的直线与双曲线的两支分别交于点，设方程为，，
联立直线与的方程，消去得，
因为直线与的两支分别交于点，，
设，，
所以，得，
则，，，
因为，所以直线的方程为，
由对称性可知，若直线过定点，则定点在轴上，
在直线的方程中，令，
得
，
直线过定点，定点坐标为．
19.解：令，
此时，
解得，
所以的定义域为，
因为，
所以具有中心对称，对称中心为点，
显然不为常函数，
所以不具有轴对称，
所以具有中心对称，对称中心为点；
因为，
可得，
若在定义域内单调递增，
此时在上恒成立，
当时，，当且仅当时，等号成立，
所以，
解得，
则的取值范围为；
证明：易知，
令，
解得，
此时，函数定义域为，
令，
解得，
设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
当时，；当时，，
若函数有两个零点，，
此时直线与函数的图象有两个交点，
则，
即，
又因为，
两式相减得，
两式相加得，
设，
令，
此时，
因为，
所以，
即，，
设，函数定义域为，
可得，
设，函数定义域为，
可得，
所以在上单调递增，
此时，
即，单调递增，
所以，
即，．
故．
第1页，共1页
