华师大数学七年级下册8.2多边形的内角和与外角和（分层练习）
一、基础夯实
1．（2024七下·平房期末）若一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
2．（2023七下·农安期末）若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角是（ ）
A．60° B．72° C．90° D．108°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设正多边形的边数为n，
根据题意可得：（n-2）×180°=540°，
解得：n=5，
∴正多边形的一个外角=360°÷5=72°，
故答案为：B.
【分析】先求出正多边形的边数，再利用正多边形的一个外角=外角和÷边数求解即可.
3．（2023七下·朝阳期末）从边形的一个顶点引出的对角线把它最多划分为个三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：由题知（n-2）=2023，解得n=2025，故D正确，A、B、C错误。
故答案为：D.
【分析】对多边形内角和的探究过程中，通过从n边形一个顶点画对角线，把n边形分成三角形来研究，易知从一个顶点最多画（n-3）条对角线，把n边形分成（n-2）个三角形，故可求答案。
4．（2024七下·拜城月考）如上图，已知，设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵AB∥ED，
∴∠α=∠A+∠E=180°，
∵∠A+∠E+∠B+∠C+∠D=540°
∴∠β=∠B+∠C+∠D=360°，
∴2α=360°，
∴∠β=2∠α，
∴2α-β=0，
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质以及五边形的内角和可得问题答案。
5．（2023七下·德化期末）将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点则等于（ ）
A．80° B．75° C．65° D．55°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意得：
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】首先根据多边形内角和公式求出∠ABE及∠DCE的度数，然后再利用邻补角求出∠CBE与∠BCE的度数，进而根据三角形内角和180°计算即可.
6．（2024七下·黄石月考）如图，，，若，则的度数为（ ）
A．90° B．60° C．70° D．80°
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，过F作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴
，
即，
解得：，即的度数为90°.
故答案为：A.
【分析】过F作，根据平行公理得到，得到内错角相等，即，，再利用角的倍数关系以及多边形内角和进行代换，可得关于的方程，解之即可.
7．（2021七下·相城月考）如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍还多 ，求这个多边形的内角和.
【答案】解：设外角为x°，
x+4x+30=180，
解得：x=30，
360°÷30°=12，
（12-2）×180=1800°，
∴这个多边形的内角和是1800°.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】 设外角为x°，由题意可得x+4x+30=180，求解可得外角的度数，然后利用360°除以外角的度数求出边数，最后结合多边形内角和公式进行求解.
8．（2022七下·长春期末）求出下列图形中的值．
【答案】（1）根据三角形外角的性质得，
x+（x+10）＝x+70，
解得，x＝60．
（2）根据四边形的内角和为360°得，
x+（x+10）+90+60＝360，
解得，x＝100．
【知识点】三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）根据三角形外角的性质列方程解答即可；
（2） 根据四边形的内角和为360°列方程解答即可。
二、巩固提高
9．（2024七下·长春期中）如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，其中∠BAE的度数是（ ）
A．90° B．108° C．120° D．135°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正五边形的内角和=，
∴∠BAE=，
故选：B．
【分析】本题考查正多边形内角和以及求正多边形的一个内角的度数，根据题意，先求出正五边形的内角和，再除以内角的个数，即可得到答案．
10．（2025七下·宝安开学考）从六边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将六边形分成个三角形.则的值为 .
【答案】7
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：从多边形的一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，则m=6-3=3；
从多边形的一个顶点出发将多边形分为（n-2）条对角线，则n=6-2=4；
m+n=3+4=7
故答案为：7.
【分析】从多边形的一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，则m=3；从多边形的一个顶点出发将多边形分为（n-2）条对角线，则n=4，m+n=7。
11．（2024七下·香坊期末）如果一个正多边形的内角和是它外角和的两倍，则的值为 ．
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
12．（2024七下·仪征月考）如图所示，求的度数是 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：连接．
在与中，，
，
在五边形中
．
故答案为：．
【分析】连接，根据三角形的内角和得到，然后转化为五边形ABEFG的内角和解题即可．
13．（2024七下·长春期中）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以1cm为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 .
【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：观察图形，可知所有扇形的圆心角的和正好是多边形的外角和，即360°.
∵所有扇形正好组成一个半径1的圆.
∴图中阴影部分的面积==.
故答案为：π.
【分析】本题考查了多边形的外角和和圆的面积，由o所有扇形的圆心角的和正好是多边形的外角和，多边形的外角和为360°，得到所有扇形正好组成一个半径1的圆，结合圆的面积公式，即可求解．
14．（2023七下·宿城期末）如图，的度数是 .
【答案】360°
【知识点】三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：对图形进行角标注：
∵∠1=∠B+∠F，∠2=∠A+∠E，∠1+∠2+∠C+∠D=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.
故答案为：360°.
【分析】对图形进行角标注，根据外角的性质可得∠1=∠B+∠F，∠2=∠A+∠E，由四边形内角和为360°可得∠1+∠2+∠C+∠D=360°，据此求解.
15．（2019七下·宜兴月考）如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米。
【答案】120
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】 解：∵360÷30=12，∴他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×10=120米.
故答案为：120.
【分析】此题实质就是告诉了正多边形的一个外角的度数及边长，求多边形的周长的问题，故求出多边形的边数是关键，从而用多边形的外角的总度数除以一个外角的度数即可得出边数，从而即可解决问题.
16．（2022七下·大丰期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．
（1）如图1，若∠B＝∠C，则∠C＝ 度；
（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE//AD，试求出∠C的度数；
（3）①如图3，若∠ABC和∠DCB的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数；
②在①的条件下，若延长BA、CD交于点F（如图4）．将原来条件“∠A＝140°，∠D＝80°”改为“∠F＝40°”．其他条件不变．则∠BEC的度数为 ．
【答案】（1）70
（2）解：∵BE//AD，
∴∠ABE+∠A＝180°，
∴∠ABE＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°，
∵∠ABC的角平分线BE交DC于点E，
∴∠ABC＝80°，
∴∠C＝360°﹣（140°+80°+80°）＝60°．
（3）110°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°，
∴∠B+∠C＝360°﹣（140°+80°）＝140°，
∵∠B＝∠C，
∴∠C＝70°．
故答案为：70；
（3）①∵四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°，
∴∠B+∠C＝360°﹣（140°+80°）＝140°，
∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，
∴∠EBC+∠ECB＝70°，
∴∠BEC＝180°﹣70°＝110°．
②∵∠F＝40°，
∴∠FBC+∠BCF＝180°﹣40°＝140°，
∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，
∴∠EBC+∠ECB＝70°，
∴∠BEC＝180°﹣70°＝110°．
故答案为：110°.
【分析】（1）根据四边形的内角和等于360°，可得∠B+∠C的度数，结合∠B=∠C，即可求出∠C的度数；
（2）由平行线的性质可得∠ABE＝180°﹣∠A＝40°，根据角平分线的定义可得∠ABC＝80°， 再根据四边形内角和等于360°可求出∠C的度数；
（3）①由四边形内角和等于360°，可求∠B+∠C的度数，再由角平分线的定义可求∠EBC+∠ECB的度数，然后利用三角形内角和定理即可求出∠BEC的度数；
②利用三角形内角和定理可求出∠FBC+∠BCF的度数，再利用角平分线的定义可求出∠EBC+∠ECB的度数，然后利用三角形内角和定理即可求出∠BEC的度数.
三、拓展提升
17．（2024七下·长春期中）【教材呈现】根据如图所示的华师版七年级下册教材第77页部分内容，解答下列问题．
如图9.1.9，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角． 三角形的外角与内角有什么关系呢？在图9.1.10中，显然有（外角）（相邻的内角） 那么外角与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？
如图1，请写出与、之间的数量关系，并给出证明．
【拓展延伸】七年级某数学兴趣小组学习了关于三角形外角的性质后，提出问题：四边形的一个外角与它不相邻的三个内角之间具有怎样的数量关系？如图2，已知是四边形的一个外角，直接写出与的数量关系为：______．
【应用提升】如图3，为四边形的一个外角，平分交的角平分线于点F，若，则______°．
【答案】解：（教材呈现），
证明：∵，，
∴；
解：（拓展延伸）；
解：（应用提升）
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（拓展延伸）
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
解：（应用提升）由（教材呈现）可知
∵平分，平分
∴，，
由（拓展延伸）可知，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】（教材呈现）由三角形的内角和定理，得到，，进而得到；
（拓展延伸）根据四边形的内角和定理，得到，再由邻补角互补，得到，得到答案答案；
（应用提升）由（教材呈现）可知，由平分，平分，得到，，又由（拓展延伸），得到，结合，化简运算，即可求解．
18．（2023七下·上蔡期末）问题情境：
如图1，中，BO平分，CO平分.
（1）探索发现：
若，则的度数为 ；若，则的度数为 .
（2）猜想证明：
试判断与的关系，并说明理由.
（3）结论应用：
如图2，在四边形MNCB中，BD平分，且与四边形MNCB的外角的平分线CD交于点D.若，，则的度数为 .
【答案】（1）30°；65°
（2）解：（或）
理由如下：
∵BO平分，CO平分，
∴设，
∴，，
∴
（3）25°
【知识点】三角形的外角性质；多边形内角与外角；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）当∠A=60°时，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCD=∠ACD.
∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A=60°，
∴∠ACD-∠ABC=60°.
∵∠OCD=∠O+∠OBC，
∴∠O=∠OCD-∠OBC=∠ACD-∠ABC=(∠ACD-∠ABC)=30°.
当∠A=130°时，
同理可得∠O=∠OCD-∠OBC=∠ACD-∠ABC=(∠ACD-∠ABC)=∠A=65°.
故答案为：30°，65°.
（3）∵BD平分∠MBC，CD平分∠NCE，
∴∠DBC=∠MBC，∠DCE=∠NCE.
∵∠DBC+∠D=∠DCE，
∴∠MBC+∠D=∠NCE，
∴∠MBC+2∠D=∠NCE.
∵∠NCE+∠BCN=180°，
∴∠NCE=180°-∠BCN，
∴∠MBC+2∠D=180°-∠BCN，
∴∠MBC+∠BCN+2∠D=180°.
∵∠BMN=130°，∠CNM=100°，
∴∠MBC+∠BCN=360°-∠BMN-∠CNM=130°，
∴130°+2∠D=180°，
∴∠D=25°.
故答案为：25°.
【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠OBC=∠ABC，∠OCD=∠ACD，由外角的性质可得∠ACD-∠ABC=60°，∠O=∠OCD-∠OBC=∠ACD-∠ABC=(∠ACD-∠ABC)，据此计算，同理可得∠A=130°时，对应的∠O的度数；
（2）根据角平分线的概念可设∠ABO=∠OBC=∠ABC=α，∠ACO=∠OCD=∠ACD=β，由外角的性质可得∠A=∠ACD-∠ABC=2α-2β，∠O=∠OCD-∠OBC=α-β，据此解答；
（3）根据角平分线的概念可得∠DBC=∠MBC，∠DCE=∠NCE，由外角的性质可得∠DBC+∠D=∠DCE，代入化简可得∠MBC+2∠D=∠NCE，由邻补角的性质可得∠NCE=180°-∠BCN，进而得到∠MBC+∠BCN+2∠D=180°，由四边形内角和为360°可得∠MBC+∠BCN的度数，据此求解.
19．（2023七下·宿迁期中）如图：已知，与的角平分线相交于点F．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若，分别平分与，写出与之间的数量关系，并说明理由；
（3）若，，设，直接写出用含m，n的代数式表示 ．
【答案】（1）解：如下图，过点E做，
，，
，
，
即，
，
，
平分，平分，
，，
，
在四边形中，
；
（2）解：，理由如下：
设，，则，，
由（1）得，
，
在四边形中，
，
，
，
，
；
（3）
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）设∠ABM=x，∠CDM=y，则∠FBM=(n-1)x，∠EBF=nx，∠FDM=(n-1)y，∠EDF=ny.
由（1）得∠ABE+∠E+∠EDC=360°，
∴2nx+2ny+∠E=360°，
∴x+y=.
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM=360°，
∴2nx+2ny+∠E+∠M+(2n-1)x+(2n-1)y+∠E，
∴∠M=.
【分析】（1）过E作EN∥AB，则AB∥CD∥EN，由平行线的性质可得∠ABE+∠BED+∠EDC=360°，结合∠BED的度数可得∠ABE+∠EDC的度数，由角平分线的概念可得∠EBF+∠EDF=(∠ABE+∠CDE)，然后根据四边形内角和为360°进行计算；
（2）设∠ABM=x，∠CDM=y，则∠ABF=∠EBF=2x，∠CDF=∠EDF=2y，由（1）得∠ABE+∠E+∠EDC=360°，则4x+4y+∠E=360°，根据四边形内角和为360°可得3x+3y+∠E+∠M=360°，则4x+4y+∠E=3x+3y+∠E+∠M，推出∠M=x+y，据此解答；
（3）设∠ABM=x，∠CDM=y，则∠FBM=(n-1)x，∠EBF=nx，∠FDM=(n-1)y，∠EDF=ny，由（1）得∠ABE+∠E+∠EDC=360°，则2nx+2ny+∠E=360°，由四边形内角和为360°可得∠M+(2n-1)x+(2n-1)y+∠E=360°，则2nx+2ny+∠E+∠M+(2n-1)x+(2n-1)y+∠E，化简即可.
20．（2021七下·卧龙期末）如图
（1）问题发现：由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”联想到四边形的外角，
如图①， ， 是四边形 的两个外角，
∵四边形 的内角和是360°，
∴ ，
又∵ ，
由此可得 ， 与 ， 的数量关系是 ；
（2）知识应用：如图②，已知四边形 ， ， 分别是其外角 和 的平分线，若 ，求 的度数；
（3）拓展提升：如图③，四边形 中， ， 和 是它的两个外角，且 ， ，求 的度数.
【答案】（1）∠1+∠2=∠A+∠D
（2）解：∵
∴
∵AE、DE分别是∠NAD、∠MDA的平分线
∴∠ADE=
∴
∴ ；
（3）解：∵
∴
∴
∵ ，
∴
∵
∴
【知识点】多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）如图①， ， 是四边形 的两个外角，
∵四边形 的内角和是360°，
∴ ，
又∵ ，
∴ + = + ，
故答案为： + = + ；
【分析】（1）由四边形的内角和可得，利用邻补角的定义可得，从而可得 + = + ；
（2） 由，可得 ，由角平分线的定义可得∠ADE= ，从而得出，利用三角形的内角和可得；
（3）利用四边形内角和可得，即得，从而得出，由于，利用四边形内角和等于360°即可求出∠P的度数.
1 / 1华师大数学七年级下册8.2多边形的内角和与外角和（分层练习）
一、基础夯实
1．（2024七下·平房期末）若一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
2．（2023七下·农安期末）若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角是（ ）
A．60° B．72° C．90° D．108°
3．（2023七下·朝阳期末）从边形的一个顶点引出的对角线把它最多划分为个三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024七下·拜城月考）如上图，已知，设，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023七下·德化期末）将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点则等于（ ）
A．80° B．75° C．65° D．55°
6．（2024七下·黄石月考）如图，，，若，则的度数为（ ）
A．90° B．60° C．70° D．80°
7．（2021七下·相城月考）如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍还多 ，求这个多边形的内角和.
8．（2022七下·长春期末）求出下列图形中的值．
二、巩固提高
9．（2024七下·长春期中）如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，其中∠BAE的度数是（ ）
A．90° B．108° C．120° D．135°
10．（2025七下·宝安开学考）从六边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将六边形分成个三角形.则的值为 .
11．（2024七下·香坊期末）如果一个正多边形的内角和是它外角和的两倍，则的值为 ．
12．（2024七下·仪征月考）如图所示，求的度数是 ．
13．（2024七下·长春期中）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以1cm为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 .
14．（2023七下·宿城期末）如图，的度数是 .
15．（2019七下·宜兴月考）如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米。
16．（2022七下·大丰期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．
（1）如图1，若∠B＝∠C，则∠C＝ 度；
（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE//AD，试求出∠C的度数；
（3）①如图3，若∠ABC和∠DCB的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数；
②在①的条件下，若延长BA、CD交于点F（如图4）．将原来条件“∠A＝140°，∠D＝80°”改为“∠F＝40°”．其他条件不变．则∠BEC的度数为 ．
三、拓展提升
17．（2024七下·长春期中）【教材呈现】根据如图所示的华师版七年级下册教材第77页部分内容，解答下列问题．
如图9.1.9，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角． 三角形的外角与内角有什么关系呢？在图9.1.10中，显然有（外角）（相邻的内角） 那么外角与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？
如图1，请写出与、之间的数量关系，并给出证明．
【拓展延伸】七年级某数学兴趣小组学习了关于三角形外角的性质后，提出问题：四边形的一个外角与它不相邻的三个内角之间具有怎样的数量关系？如图2，已知是四边形的一个外角，直接写出与的数量关系为：______．
【应用提升】如图3，为四边形的一个外角，平分交的角平分线于点F，若，则______°．
18．（2023七下·上蔡期末）问题情境：
如图1，中，BO平分，CO平分.
（1）探索发现：
若，则的度数为 ；若，则的度数为 .
（2）猜想证明：
试判断与的关系，并说明理由.
（3）结论应用：
如图2，在四边形MNCB中，BD平分，且与四边形MNCB的外角的平分线CD交于点D.若，，则的度数为 .
19．（2023七下·宿迁期中）如图：已知，与的角平分线相交于点F．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若，分别平分与，写出与之间的数量关系，并说明理由；
（3）若，，设，直接写出用含m，n的代数式表示 ．
20．（2021七下·卧龙期末）如图
（1）问题发现：由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”联想到四边形的外角，
如图①， ， 是四边形 的两个外角，
∵四边形 的内角和是360°，
∴ ，
又∵ ，
由此可得 ， 与 ， 的数量关系是 ；
（2）知识应用：如图②，已知四边形 ， ， 分别是其外角 和 的平分线，若 ，求 的度数；
（3）拓展提升：如图③，四边形 中， ， 和 是它的两个外角，且 ， ，求 的度数.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
2．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设正多边形的边数为n，
根据题意可得：（n-2）×180°=540°，
解得：n=5，
∴正多边形的一个外角=360°÷5=72°，
故答案为：B.
【分析】先求出正多边形的边数，再利用正多边形的一个外角=外角和÷边数求解即可.
3．【答案】D
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：由题知（n-2）=2023，解得n=2025，故D正确，A、B、C错误。
故答案为：D.
【分析】对多边形内角和的探究过程中，通过从n边形一个顶点画对角线，把n边形分成三角形来研究，易知从一个顶点最多画（n-3）条对角线，把n边形分成（n-2）个三角形，故可求答案。
4．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵AB∥ED，
∴∠α=∠A+∠E=180°，
∵∠A+∠E+∠B+∠C+∠D=540°
∴∠β=∠B+∠C+∠D=360°，
∴2α=360°，
∴∠β=2∠α，
∴2α-β=0，
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质以及五边形的内角和可得问题答案。
5．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意得：
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】首先根据多边形内角和公式求出∠ABE及∠DCE的度数，然后再利用邻补角求出∠CBE与∠BCE的度数，进而根据三角形内角和180°计算即可.
6．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，过F作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴
，
即，
解得：，即的度数为90°.
故答案为：A.
【分析】过F作，根据平行公理得到，得到内错角相等，即，，再利用角的倍数关系以及多边形内角和进行代换，可得关于的方程，解之即可.
7．【答案】解：设外角为x°，
x+4x+30=180，
解得：x=30，
360°÷30°=12，
（12-2）×180=1800°，
∴这个多边形的内角和是1800°.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】 设外角为x°，由题意可得x+4x+30=180，求解可得外角的度数，然后利用360°除以外角的度数求出边数，最后结合多边形内角和公式进行求解.
8．【答案】（1）根据三角形外角的性质得，
x+（x+10）＝x+70，
解得，x＝60．
（2）根据四边形的内角和为360°得，
x+（x+10）+90+60＝360，
解得，x＝100．
【知识点】三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）根据三角形外角的性质列方程解答即可；
（2） 根据四边形的内角和为360°列方程解答即可。
9．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正五边形的内角和=，
∴∠BAE=，
故选：B．
【分析】本题考查正多边形内角和以及求正多边形的一个内角的度数，根据题意，先求出正五边形的内角和，再除以内角的个数，即可得到答案．
10．【答案】7
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：从多边形的一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，则m=6-3=3；
从多边形的一个顶点出发将多边形分为（n-2）条对角线，则n=6-2=4；
m+n=3+4=7
故答案为：7.
【分析】从多边形的一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，则m=3；从多边形的一个顶点出发将多边形分为（n-2）条对角线，则n=4，m+n=7。
11．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：连接．
在与中，，
，
在五边形中
．
故答案为：．
【分析】连接，根据三角形的内角和得到，然后转化为五边形ABEFG的内角和解题即可．
13．【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：观察图形，可知所有扇形的圆心角的和正好是多边形的外角和，即360°.
∵所有扇形正好组成一个半径1的圆.
∴图中阴影部分的面积==.
故答案为：π.
【分析】本题考查了多边形的外角和和圆的面积，由o所有扇形的圆心角的和正好是多边形的外角和，多边形的外角和为360°，得到所有扇形正好组成一个半径1的圆，结合圆的面积公式，即可求解．
14．【答案】360°
【知识点】三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：对图形进行角标注：
∵∠1=∠B+∠F，∠2=∠A+∠E，∠1+∠2+∠C+∠D=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.
故答案为：360°.
【分析】对图形进行角标注，根据外角的性质可得∠1=∠B+∠F，∠2=∠A+∠E，由四边形内角和为360°可得∠1+∠2+∠C+∠D=360°，据此求解.
15．【答案】120
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】 解：∵360÷30=12，∴他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×10=120米.
故答案为：120.
【分析】此题实质就是告诉了正多边形的一个外角的度数及边长，求多边形的周长的问题，故求出多边形的边数是关键，从而用多边形的外角的总度数除以一个外角的度数即可得出边数，从而即可解决问题.
16．【答案】（1）70
（2）解：∵BE//AD，
∴∠ABE+∠A＝180°，
∴∠ABE＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°，
∵∠ABC的角平分线BE交DC于点E，
∴∠ABC＝80°，
∴∠C＝360°﹣（140°+80°+80°）＝60°．
（3）110°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°，
∴∠B+∠C＝360°﹣（140°+80°）＝140°，
∵∠B＝∠C，
∴∠C＝70°．
故答案为：70；
（3）①∵四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°，
∴∠B+∠C＝360°﹣（140°+80°）＝140°，
∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，
∴∠EBC+∠ECB＝70°，
∴∠BEC＝180°﹣70°＝110°．
②∵∠F＝40°，
∴∠FBC+∠BCF＝180°﹣40°＝140°，
∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，
∴∠EBC+∠ECB＝70°，
∴∠BEC＝180°﹣70°＝110°．
故答案为：110°.
【分析】（1）根据四边形的内角和等于360°，可得∠B+∠C的度数，结合∠B=∠C，即可求出∠C的度数；
（2）由平行线的性质可得∠ABE＝180°﹣∠A＝40°，根据角平分线的定义可得∠ABC＝80°， 再根据四边形内角和等于360°可求出∠C的度数；
（3）①由四边形内角和等于360°，可求∠B+∠C的度数，再由角平分线的定义可求∠EBC+∠ECB的度数，然后利用三角形内角和定理即可求出∠BEC的度数；
②利用三角形内角和定理可求出∠FBC+∠BCF的度数，再利用角平分线的定义可求出∠EBC+∠ECB的度数，然后利用三角形内角和定理即可求出∠BEC的度数.
17．【答案】解：（教材呈现），
证明：∵，，
∴；
解：（拓展延伸）；
解：（应用提升）
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（拓展延伸）
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
解：（应用提升）由（教材呈现）可知
∵平分，平分
∴，，
由（拓展延伸）可知，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】（教材呈现）由三角形的内角和定理，得到，，进而得到；
（拓展延伸）根据四边形的内角和定理，得到，再由邻补角互补，得到，得到答案答案；
（应用提升）由（教材呈现）可知，由平分，平分，得到，，又由（拓展延伸），得到，结合，化简运算，即可求解．
18．【答案】（1）30°；65°
（2）解：（或）
理由如下：
∵BO平分，CO平分，
∴设，
∴，，
∴
（3）25°
【知识点】三角形的外角性质；多边形内角与外角；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）当∠A=60°时，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCD=∠ACD.
∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A=60°，
∴∠ACD-∠ABC=60°.
∵∠OCD=∠O+∠OBC，
∴∠O=∠OCD-∠OBC=∠ACD-∠ABC=(∠ACD-∠ABC)=30°.
当∠A=130°时，
同理可得∠O=∠OCD-∠OBC=∠ACD-∠ABC=(∠ACD-∠ABC)=∠A=65°.
故答案为：30°，65°.
（3）∵BD平分∠MBC，CD平分∠NCE，
∴∠DBC=∠MBC，∠DCE=∠NCE.
∵∠DBC+∠D=∠DCE，
∴∠MBC+∠D=∠NCE，
∴∠MBC+2∠D=∠NCE.
∵∠NCE+∠BCN=180°，
∴∠NCE=180°-∠BCN，
∴∠MBC+2∠D=180°-∠BCN，
∴∠MBC+∠BCN+2∠D=180°.
∵∠BMN=130°，∠CNM=100°，
∴∠MBC+∠BCN=360°-∠BMN-∠CNM=130°，
∴130°+2∠D=180°，
∴∠D=25°.
故答案为：25°.
【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠OBC=∠ABC，∠OCD=∠ACD，由外角的性质可得∠ACD-∠ABC=60°，∠O=∠OCD-∠OBC=∠ACD-∠ABC=(∠ACD-∠ABC)，据此计算，同理可得∠A=130°时，对应的∠O的度数；
（2）根据角平分线的概念可设∠ABO=∠OBC=∠ABC=α，∠ACO=∠OCD=∠ACD=β，由外角的性质可得∠A=∠ACD-∠ABC=2α-2β，∠O=∠OCD-∠OBC=α-β，据此解答；
（3）根据角平分线的概念可得∠DBC=∠MBC，∠DCE=∠NCE，由外角的性质可得∠DBC+∠D=∠DCE，代入化简可得∠MBC+2∠D=∠NCE，由邻补角的性质可得∠NCE=180°-∠BCN，进而得到∠MBC+∠BCN+2∠D=180°，由四边形内角和为360°可得∠MBC+∠BCN的度数，据此求解.
19．【答案】（1）解：如下图，过点E做，
，，
，
，
即，
，
，
平分，平分，
，，
，
在四边形中，
；
（2）解：，理由如下：
设，，则，，
由（1）得，
，
在四边形中，
，
，
，
，
；
（3）
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）设∠ABM=x，∠CDM=y，则∠FBM=(n-1)x，∠EBF=nx，∠FDM=(n-1)y，∠EDF=ny.
由（1）得∠ABE+∠E+∠EDC=360°，
∴2nx+2ny+∠E=360°，
∴x+y=.
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM=360°，
∴2nx+2ny+∠E+∠M+(2n-1)x+(2n-1)y+∠E，
∴∠M=.
【分析】（1）过E作EN∥AB，则AB∥CD∥EN，由平行线的性质可得∠ABE+∠BED+∠EDC=360°，结合∠BED的度数可得∠ABE+∠EDC的度数，由角平分线的概念可得∠EBF+∠EDF=(∠ABE+∠CDE)，然后根据四边形内角和为360°进行计算；
（2）设∠ABM=x，∠CDM=y，则∠ABF=∠EBF=2x，∠CDF=∠EDF=2y，由（1）得∠ABE+∠E+∠EDC=360°，则4x+4y+∠E=360°，根据四边形内角和为360°可得3x+3y+∠E+∠M=360°，则4x+4y+∠E=3x+3y+∠E+∠M，推出∠M=x+y，据此解答；
（3）设∠ABM=x，∠CDM=y，则∠FBM=(n-1)x，∠EBF=nx，∠FDM=(n-1)y，∠EDF=ny，由（1）得∠ABE+∠E+∠EDC=360°，则2nx+2ny+∠E=360°，由四边形内角和为360°可得∠M+(2n-1)x+(2n-1)y+∠E=360°，则2nx+2ny+∠E+∠M+(2n-1)x+(2n-1)y+∠E，化简即可.
20．【答案】（1）∠1+∠2=∠A+∠D
（2）解：∵
∴
∵AE、DE分别是∠NAD、∠MDA的平分线
∴∠ADE=
∴
∴ ；
（3）解：∵
∴
∴
∵ ，
∴
∵
∴
【知识点】多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）如图①， ， 是四边形 的两个外角，
∵四边形 的内角和是360°，
∴ ，
又∵ ，
∴ + = + ，
故答案为： + = + ；
【分析】（1）由四边形的内角和可得，利用邻补角的定义可得，从而可得 + = + ；
（2） 由，可得 ，由角平分线的定义可得∠ADE= ，从而得出，利用三角形的内角和可得；
（3）利用四边形内角和可得，即得，从而得出，由于，利用四边形内角和等于360°即可求出∠P的度数.
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