华师大数学七年级下册8.3用正多边形铺设地面（分层练习）
一、基础夯实
1．（2021七下·遂宁期末）小飞家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖，建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能铺满地面的，但可以与另外一种形状的地砖混合使用，你认为要使地面铺满，小飞应选择另一种（ ）形状的地砖
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】正八边形的每个内角为 135゜，
A、正八边形、正三角形的内角分别为135゜、60゜，显然不能构成360゜的周角，故不能铺满；
B、正八边形、正方形的内角分别为135゜、90゜，由于2×135゜+90゜=360゜，故能铺满；
C、正八边形、正五边形的内角分别为135゜、108゜，显然不能构成360゜的周角，故不能铺满；
D、正八边形、正六边形的内角分别为135゜、120゜，显然不能构成360゜的周角，故不能铺满；
故答案为：B.
【分析】分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形每个内角的度数，然后根据周角为360°进行解答.
2．（2024七下·二道期末）下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（ ）
A．正六边形和正三角形 B．正六边形和正方形
C．正八边形和正五边形 D．正十二边形和正五边形
【答案】A
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A、∵正六边形的内角为：（6-2）×180°÷6=120°，
正三角形的内角为：180°÷3=60°，
而，
∴正六边形和正三角形能构成周角，
∴正六边形和正三角形的组合能铺满地面，此选项符合题意；
B、同理可得：正六边形和正方形内角分别为、，120°和90°不能构成周角，
∴正六边形和正方形不能铺满地面，此选项不符合题意；
C、同理可得：正八边形和正五边形内角分别为、，135°和108°不能构成周角，
∴ 正八边形和正五边形不能铺满地面，此选项不符合题意；
D、同理可得：正十二边形正五边形内角分别为、，150°和108°不能构成周角，
∴ 正十二边形和正五边形不能铺满地面，此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据几何图形镶嵌成平面的关键"围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角"可知：正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满，计算每一个选项中各多边形的内角，计算能否能构成周角即可判断求解．
3．（2024七下·金堂期末）一个正多边形每个外角都等于，若用这种多边形拼接地板，需与下列哪种正多边形组合（ ）
A．正四边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正三角形
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
4．（2024七下·辉县市期末）现有几种形状的多边形地砖，分别是：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤一般三角形；⑥一般四边形．每一种地砖的大小形状都相同，且都有很多块，如果只用其中的一种多边形地砖镶嵌，那么能够镶嵌成一个平面图案的有（ ）
A．2 种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】D
【知识点】平面镶嵌（密铺）
5．（2024七下·项城期末）如图1，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．用个全等的正五边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则的值为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
6．（2023七下·镇平县期末）有足够多的如下4种边长相等的正多边形瓷砖图案进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是（ ）
A．①②④ B．①② C．①④ D．②③
【答案】D
【知识点】平面镶嵌（密铺）
7．（2023七下·福州期末）图形的密铺（或称图形的镶嵌）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．如图①是15世纪艺术家阿尔布雷希特·丢勒利用正五边形和对角相等的四边形创作的镶嵌图案设计，图②是镶嵌图案中的某一片段的放大图，其中四边形的最小内角为 度．
【答案】#36度
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
8．（2021七下·射洪期末）下列边长相等的正多边形能完成镶嵌的是（ ）
A．2个正八边形和1个正三角形 B．3个正方形和2个正三角形
C．1个正五边形和1个正十边形 D．2个正六边形和2个正三角形
【答案】D
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A. 2个正八边形和1个正三角形：135°+135°+60°=330°，故不符合；
B. 3个正方形和2个正三角形：90°+90°+90°+60°+60°=390°，故不符合；
C. 1个正五边形和1个正十边形：108°+144°=252°，故不符合；
D. 2个正六边形和2个正三角形：120°+120°+60°+60°=360°，符合；
故答案为：D.
【分析】正多边形的组合能否镶嵌地面，关键是看位于同一个顶点处的几个角之和能否为360°，若能，则说明能镶嵌；反之，则说明不能镶嵌.
二、巩固提高
9．（2023七下·温州期末）四个大小相同的大正方形和一个小正方形的面积之和为260，四个大小相同的长方形的面积之和为64，将它们无缝隙不重叠地摆成图1所示的正方形.现将这四个长方形再次无缝隙不重叠地拼成如图2所示的图形，则该图形的周长为（ ）
A．9 B．18 C．36 D．64
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平面镶嵌（密铺）；平移的性质
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为a，四个大正方形的边长为b，则四个长方形的长为b，宽为a，
由题意得a2+4b2=260，4ab=64，
∴a2+4b2+4ab=324，即（a+2b）2=324，
∴a+2b=18，
∴新图形的周长为：4b+2a=2(a+2b)=36.
故答案为：C.
【分析】设小正方形的边长为a，四个大正方形的边长为b，则四个长方形的长为b，宽为a，由题意得a2+4b2=260，4ab=64，将两式相加后等式的左边利用完全平方公式分解因式，然后根据算术平方根可求出a+2b=18，进而利用平移的顺序可得新图形的周长为4b+2a，将其利用提取公因式法分解因式后整体代入计算可得答案.
10．（2024七下·新华期末）小颖家买了新楼，她想在边长相同的①正三角形、②正方形、③正五边形、④正六边形四种瓷砖中，选择一些瓷砖进行地面的镶嵌（彼此之间不留空隙、不重叠）．
（1）她想选用两种瓷砖，若已选用正三角形瓷砖，则可以再选择的是______瓷砖（填写序号）；
（2）她发现仅用正五边形瓷砖不能镶嵌地面，若将三块相同的正五边形瓷砖按如图所示放置，求的度数．
【答案】（1）②或④，
（2）．
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
11．（2024七下·盐都期末）大到市民广场，小到家居装修，常常用形状各异的瓷砖来铺设．
正多边形是指各边相等、各角相等的多边形．
用一种或几种正多边形在公共顶点处进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠，这就是正多边形的共顶点密铺．共顶点密铺其实就是围绕一点的几个正多边形的内角的和为360°．
共顶点单一密铺：仅用同一种正多边形密铺．
如右图可知，正五边形不能共顶点单一密铺，可用下面的方法说明．
解：设有x 个正五边形．
因为正五边形的每一个内角为，
若想用x 个围成，则，
解得 （不符合题意）．
所以正五边形不可以共顶点单一密铺．
（1）问题1：探索正三角形能不能共顶点单一密铺 请用上述方法说明．
（2）问题2：符合共顶点单一密铺的正多边形不止一种，请尝试再找出一种，并说明理由．
共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺．
（3）问题3：某中学图书馆拟用正多边形地砖铺设地面.已有正三角形形状的地砖，现打算购买另外一种形状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺.请设计两种不同的共顶点组合密铺方案，并说明理由．
（4）问题4：创意设计：选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合密铺，请写出设计方案．
【答案】（1）能，6个正三角形可以共顶点单一密铺
（2）正方形（答案不唯一）
（3）2个正三角形，2个正六边形；4个正三角形，1个正六边形（答案不唯一）
（4）1个正三角形，2个正方形，1个正六边形（答案不唯一）
【知识点】二元一次方程的解；多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
12．（2023七下·秦安期末）已知个正多边形和个正多边形可绕一点周围镶嵌（密铺），的一个内角的度数是的一个内角的度数的．
（1）试分别确定，是什么正多边形？
（2）画出这个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形（画一种即可）．
【答案】（1）解：设B的内角为x，则A的内角为x，
∵2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），
∴3x+2×x=360°，
解得：x=60°，
∴x=90°
∴可确定A为正四边形，B为正三边形．
（2）解：所画图形如下：
【知识点】平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质
【解析】【分析】（1）设B的内角为x，则A的内角为x，根据题意列出方程3x+2×x=360°，再求解即可；
（2）根据题意作出图形即可.
13．（2024七下·长春期末）【问题再现】
现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至服装面料设计中随处可见．在七年级课题学面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题．今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中的几个问题，共同来探究．
我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．比如用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角．
试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着_______个正六边形的内角．
【问题提出】
如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可设计出几种不同的组合方案？
【问题解决】
猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？
分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决．从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．
验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一个点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意可得方程：，整理得．我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为．
结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．
猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．
验证2：_____________________；
结论2：_____________________；
上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其他可能的组合方案．
【问题拓广】
请你仿照上面的研究方式，探索出同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案：①_________；②__________（直接写出两种方案）．
【答案】试想：3；
验证2：可以找到适合方程的正整数解为或；结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角可以拼成一个周角，或者在一个顶点周围围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌；
【问题拓广】①正三角形、正方形、正六边形；②正方形、正六边形、正十二边形；（答案不唯一）
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
三、拓展提升
14．（2024七下·安丘期末）阅读理解：
平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖．
对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是．若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺．
图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．对于一些不规则的多边形也可以进行平面密铺．图4就是利用不规则的五边形得到的一种密铺图案．
解决问题：
（1）上文中“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，这种做法体现的一种数学思想是________；（填字母代号即可）
A．数形结合思想；B．转化思想；C．方程思想
（2）除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形________；
（3）图5是图4中的一个基本图形，若，，求的度数．
拓展延伸：
（4）现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是_____________；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是______________．（填数字序号即可）
（5）用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是________．
【答案】（1）B；（2）正六边形；（3）；（4）①②或①④或②⑤（答案不唯一）；①②④或②④⑦；（5）
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：（1）根据题意，将n边形的内角和转化为三角形的内角和来计算，这种做法体现的一种数学思想是转化思想；
故答案为：B．
（2）当一个内角度数能整除时，这样的正n边形就可以进行平面密铺，
为整数，
当时，，
除“正三角形”“正方形”外，正六边形可以进行平面密铺；
故答案为：正六边形．
（3）根据五边形的内角和可知，
，，
，
解得：；
（4）若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺：
正三角形的每个内角是，正方形的每个内角是，
，
正三角形和正方形能密铺；
正三角形的每个内角是，正六边形的每个内角是，
，
正三角形和正六边形能密铺；
正方形的每个内角是，正八边形的每个内角是，
，
正方形和正八边形能密铺；
故答案为：①②或①④或②⑤．（答案不唯一）
若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，只有两种情形：
，
正三角形，正方形和正六边形能密铺；
，
正方形，正六边形和正十二边形能密铺；
故答案为：①②④或②④⑦．
（5）根据题意可得，
．
故答案为：．
【分析】（1）利用数学思想及数学的转化思想分析求解即可；
（2）利用正多边形的性质及角的运算方法分析求解即可；
（3）利用多边形的内角和公式列出方程求解即可；
（4）分类讨论，再利用多边形密铺的计算方法分析求解即可；
（5）利用多边形的内角和及外角和列出方程， 再求解即可.
1 / 1华师大数学七年级下册8.3用正多边形铺设地面（分层练习）
一、基础夯实
1．（2021七下·遂宁期末）小飞家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖，建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能铺满地面的，但可以与另外一种形状的地砖混合使用，你认为要使地面铺满，小飞应选择另一种（ ）形状的地砖
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
2．（2024七下·二道期末）下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（ ）
A．正六边形和正三角形 B．正六边形和正方形
C．正八边形和正五边形 D．正十二边形和正五边形
3．（2024七下·金堂期末）一个正多边形每个外角都等于，若用这种多边形拼接地板，需与下列哪种正多边形组合（ ）
A．正四边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正三角形
4．（2024七下·辉县市期末）现有几种形状的多边形地砖，分别是：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤一般三角形；⑥一般四边形．每一种地砖的大小形状都相同，且都有很多块，如果只用其中的一种多边形地砖镶嵌，那么能够镶嵌成一个平面图案的有（ ）
A．2 种 B．3种 C．4种 D．5种
5．（2024七下·项城期末）如图1，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．用个全等的正五边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则的值为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（2023七下·镇平县期末）有足够多的如下4种边长相等的正多边形瓷砖图案进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是（ ）
A．①②④ B．①② C．①④ D．②③
7．（2023七下·福州期末）图形的密铺（或称图形的镶嵌）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．如图①是15世纪艺术家阿尔布雷希特·丢勒利用正五边形和对角相等的四边形创作的镶嵌图案设计，图②是镶嵌图案中的某一片段的放大图，其中四边形的最小内角为 度．
8．（2021七下·射洪期末）下列边长相等的正多边形能完成镶嵌的是（ ）
A．2个正八边形和1个正三角形 B．3个正方形和2个正三角形
C．1个正五边形和1个正十边形 D．2个正六边形和2个正三角形
二、巩固提高
9．（2023七下·温州期末）四个大小相同的大正方形和一个小正方形的面积之和为260，四个大小相同的长方形的面积之和为64，将它们无缝隙不重叠地摆成图1所示的正方形.现将这四个长方形再次无缝隙不重叠地拼成如图2所示的图形，则该图形的周长为（ ）
A．9 B．18 C．36 D．64
10．（2024七下·新华期末）小颖家买了新楼，她想在边长相同的①正三角形、②正方形、③正五边形、④正六边形四种瓷砖中，选择一些瓷砖进行地面的镶嵌（彼此之间不留空隙、不重叠）．
（1）她想选用两种瓷砖，若已选用正三角形瓷砖，则可以再选择的是______瓷砖（填写序号）；
（2）她发现仅用正五边形瓷砖不能镶嵌地面，若将三块相同的正五边形瓷砖按如图所示放置，求的度数．
11．（2024七下·盐都期末）大到市民广场，小到家居装修，常常用形状各异的瓷砖来铺设．
正多边形是指各边相等、各角相等的多边形．
用一种或几种正多边形在公共顶点处进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠，这就是正多边形的共顶点密铺．共顶点密铺其实就是围绕一点的几个正多边形的内角的和为360°．
共顶点单一密铺：仅用同一种正多边形密铺．
如右图可知，正五边形不能共顶点单一密铺，可用下面的方法说明．
解：设有x 个正五边形．
因为正五边形的每一个内角为，
若想用x 个围成，则，
解得 （不符合题意）．
所以正五边形不可以共顶点单一密铺．
（1）问题1：探索正三角形能不能共顶点单一密铺 请用上述方法说明．
（2）问题2：符合共顶点单一密铺的正多边形不止一种，请尝试再找出一种，并说明理由．
共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺．
（3）问题3：某中学图书馆拟用正多边形地砖铺设地面.已有正三角形形状的地砖，现打算购买另外一种形状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺.请设计两种不同的共顶点组合密铺方案，并说明理由．
（4）问题4：创意设计：选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合密铺，请写出设计方案．
12．（2023七下·秦安期末）已知个正多边形和个正多边形可绕一点周围镶嵌（密铺），的一个内角的度数是的一个内角的度数的．
（1）试分别确定，是什么正多边形？
（2）画出这个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形（画一种即可）．
13．（2024七下·长春期末）【问题再现】
现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至服装面料设计中随处可见．在七年级课题学面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题．今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中的几个问题，共同来探究．
我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．比如用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角．
试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着_______个正六边形的内角．
【问题提出】
如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可设计出几种不同的组合方案？
【问题解决】
猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？
分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决．从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．
验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一个点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意可得方程：，整理得．我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为．
结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．
猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．
验证2：_____________________；
结论2：_____________________；
上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其他可能的组合方案．
【问题拓广】
请你仿照上面的研究方式，探索出同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案：①_________；②__________（直接写出两种方案）．
三、拓展提升
14．（2024七下·安丘期末）阅读理解：
平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖．
对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是．若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺．
图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．对于一些不规则的多边形也可以进行平面密铺．图4就是利用不规则的五边形得到的一种密铺图案．
解决问题：
（1）上文中“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，这种做法体现的一种数学思想是________；（填字母代号即可）
A．数形结合思想；B．转化思想；C．方程思想
（2）除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形________；
（3）图5是图4中的一个基本图形，若，，求的度数．
拓展延伸：
（4）现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是_____________；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是______________．（填数字序号即可）
（5）用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是________．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】正八边形的每个内角为 135゜，
A、正八边形、正三角形的内角分别为135゜、60゜，显然不能构成360゜的周角，故不能铺满；
B、正八边形、正方形的内角分别为135゜、90゜，由于2×135゜+90゜=360゜，故能铺满；
C、正八边形、正五边形的内角分别为135゜、108゜，显然不能构成360゜的周角，故不能铺满；
D、正八边形、正六边形的内角分别为135゜、120゜，显然不能构成360゜的周角，故不能铺满；
故答案为：B.
【分析】分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形每个内角的度数，然后根据周角为360°进行解答.
2．【答案】A
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A、∵正六边形的内角为：（6-2）×180°÷6=120°，
正三角形的内角为：180°÷3=60°，
而，
∴正六边形和正三角形能构成周角，
∴正六边形和正三角形的组合能铺满地面，此选项符合题意；
B、同理可得：正六边形和正方形内角分别为、，120°和90°不能构成周角，
∴正六边形和正方形不能铺满地面，此选项不符合题意；
C、同理可得：正八边形和正五边形内角分别为、，135°和108°不能构成周角，
∴ 正八边形和正五边形不能铺满地面，此选项不符合题意；
D、同理可得：正十二边形正五边形内角分别为、，150°和108°不能构成周角，
∴ 正十二边形和正五边形不能铺满地面，此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据几何图形镶嵌成平面的关键"围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角"可知：正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满，计算每一个选项中各多边形的内角，计算能否能构成周角即可判断求解．
3．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
4．【答案】D
【知识点】平面镶嵌（密铺）
5．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
6．【答案】D
【知识点】平面镶嵌（密铺）
7．【答案】#36度
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
8．【答案】D
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A. 2个正八边形和1个正三角形：135°+135°+60°=330°，故不符合；
B. 3个正方形和2个正三角形：90°+90°+90°+60°+60°=390°，故不符合；
C. 1个正五边形和1个正十边形：108°+144°=252°，故不符合；
D. 2个正六边形和2个正三角形：120°+120°+60°+60°=360°，符合；
故答案为：D.
【分析】正多边形的组合能否镶嵌地面，关键是看位于同一个顶点处的几个角之和能否为360°，若能，则说明能镶嵌；反之，则说明不能镶嵌.
9．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平面镶嵌（密铺）；平移的性质
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为a，四个大正方形的边长为b，则四个长方形的长为b，宽为a，
由题意得a2+4b2=260，4ab=64，
∴a2+4b2+4ab=324，即（a+2b）2=324，
∴a+2b=18，
∴新图形的周长为：4b+2a=2(a+2b)=36.
故答案为：C.
【分析】设小正方形的边长为a，四个大正方形的边长为b，则四个长方形的长为b，宽为a，由题意得a2+4b2=260，4ab=64，将两式相加后等式的左边利用完全平方公式分解因式，然后根据算术平方根可求出a+2b=18，进而利用平移的顺序可得新图形的周长为4b+2a，将其利用提取公因式法分解因式后整体代入计算可得答案.
10．【答案】（1）②或④，
（2）．
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
11．【答案】（1）能，6个正三角形可以共顶点单一密铺
（2）正方形（答案不唯一）
（3）2个正三角形，2个正六边形；4个正三角形，1个正六边形（答案不唯一）
（4）1个正三角形，2个正方形，1个正六边形（答案不唯一）
【知识点】二元一次方程的解；多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
12．【答案】（1）解：设B的内角为x，则A的内角为x，
∵2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），
∴3x+2×x=360°，
解得：x=60°，
∴x=90°
∴可确定A为正四边形，B为正三边形．
（2）解：所画图形如下：
【知识点】平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质
【解析】【分析】（1）设B的内角为x，则A的内角为x，根据题意列出方程3x+2×x=360°，再求解即可；
（2）根据题意作出图形即可.
13．【答案】试想：3；
验证2：可以找到适合方程的正整数解为或；结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角可以拼成一个周角，或者在一个顶点周围围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌；
【问题拓广】①正三角形、正方形、正六边形；②正方形、正六边形、正十二边形；（答案不唯一）
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
14．【答案】（1）B；（2）正六边形；（3）；（4）①②或①④或②⑤（答案不唯一）；①②④或②④⑦；（5）
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：（1）根据题意，将n边形的内角和转化为三角形的内角和来计算，这种做法体现的一种数学思想是转化思想；
故答案为：B．
（2）当一个内角度数能整除时，这样的正n边形就可以进行平面密铺，
为整数，
当时，，
除“正三角形”“正方形”外，正六边形可以进行平面密铺；
故答案为：正六边形．
（3）根据五边形的内角和可知，
，，
，
解得：；
（4）若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺：
正三角形的每个内角是，正方形的每个内角是，
，
正三角形和正方形能密铺；
正三角形的每个内角是，正六边形的每个内角是，
，
正三角形和正六边形能密铺；
正方形的每个内角是，正八边形的每个内角是，
，
正方形和正八边形能密铺；
故答案为：①②或①④或②⑤．（答案不唯一）
若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，只有两种情形：
，
正三角形，正方形和正六边形能密铺；
，
正方形，正六边形和正十二边形能密铺；
故答案为：①②④或②④⑦．
（5）根据题意可得，
．
故答案为：．
【分析】（1）利用数学思想及数学的转化思想分析求解即可；
（2）利用正多边形的性质及角的运算方法分析求解即可；
（3）利用多边形的内角和公式列出方程求解即可；
（4）分类讨论，再利用多边形密铺的计算方法分析求解即可；
（5）利用多边形的内角和及外角和列出方程， 再求解即可.
1 / 1
