安徽省阜阳市临泉县田家炳实验中学（阜阳市临泉县教师进修学校）2024-2025学年高三（下）4月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省临泉县田家炳实验中学高三（下）4月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为纯虚数，且，则( )
A. B. 或 C. 或 D. 或
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.直线与圆相交的充分不必要条件可以是( )
A. B. C. D.
4.毕业前夕，某高中高三班科技创新兴趣小组的名同学与名辅导老师，共人合影留念，站成前后相对应的两排，每排人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学相邻仅包括正前后或左右，则不同站法种数为( )
A. B. C. D.
5.函数的部分图象大致是( )
A. B.
C. D.
6.某校为了促进学生文化学习和体育活动协调发展，对高一年级学生每周在校体育活动时长单位：小时进行了统计，得到如下频率分布表：
分组
频率
则高一年级学生每周体育活动时长的第百分位数约为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线：，过点为的焦距作直线与的一条渐近线平行，直线与交于点，若点到轴的距离为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.如图，这是一张圆形纸片，其半径，剪掉周围的白色部分，将阴影部分折起，使得点重合于点，得到正六棱锥，则该六棱锥体积的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则( )
A. B. C. D.
10.如图，在直三棱柱中，，则( )
A. 平面平面
B. 的长为
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 直三棱柱的外接球的表面积为
11.已知定义在上的函数满足是偶函数，且当时，且，则( )
A. B. 在区间上是减函数
C. 在区间上是减函数 D.
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.已知集合，，则 ______．
13.已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，，，则的内切圆半径为______；若的内切圆与三边相切的切点分别为，，，则的面积为______．
14.已知椭圆：的左、右焦点分别为，直线与轴的交点为，过点作于点，，且的中点在椭圆上，则椭圆的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了估计一个小池塘中鱼的条数，池塘主人先从中打捞出条鱼，做好记号后放回池塘，再从中打捞出条鱼，发现有记号的鱼有条．
试估计的值；
对于中的估计值，若在这条鱼中，种鱼有条，从条鱼中打捞出条，用表示其中种鱼的条数，求的分布列和数学期望．
16.本小题分
在直三棱柱中，点在上，，是上的一点，，，．
若是的中点，求证：平面．
在下面给出的三个条件中任选一个，证明另两个正确：
三棱锥的体积是；
截面将三棱柱分成的两部分的体积的比为：；
平面与平面所成角的余弦值为．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
17.本小题分
已知数列的前项和为，，．
求数列的通项公式；
设，记数列的前项和为，求证：．
18.本小题分
已知抛物线：的焦点为，过点作圆：的切线，一条切线长为．
求抛物线的方程；
若是圆上的动点，，是抛物线的两条切线，，是切点，若直线的斜率为，求直线在轴上的截距．
19.本小题分
已知函数，．
求函数的单调区间；
若存在，当时，，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：已知小池塘中鱼的条数为，
由分层随机抽样方法得，
解得；
由题意可知，的可能取值为，，，，
所以，，，，
所以的分布列为：
所以．
16.证明：
在中，因为，，
所以，，
因为，所以是等腰直角三角形，则可得，
在上取点，使，因为，
所以是等腰直角三角形，则，所以，
连接，易知四边形为矩形，所以，
因为，平面，所以平面，平面，
又因为，，平面，
所以平面平面，因为平面，所以平面；
选证明正确，
三棱锥的体积为：，
得，所以，
则三棱锥的体积，
而三棱柱的体积，
则，所以正确，
由余弦定理可得，
因为，
所以，所以，
又因为平面，
所以建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设的中点为，则，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，取，可得，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，
则，所以正确，
选证明正确，
三棱柱的体积，
三棱锥的体积，
由，得，所以，得，
所以，
所以三棱锥的体积为：，
所以正确，
的正确性，前面已证，此处略，
选证明正确，
由前面解法中，建立空间直角坐标系，
则，设，
的中点为，则，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，取，可得，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，
则，
即，解得舍去或，
所以三棱锥的体积，
所以正确，
又三棱锥的体积，
而三棱柱的体积，
则，所以正确．
17.解：数列的前项和为，，，
由得，
所以．
由得，即，
所以．
由整理得，
所以数列是等差数列．
在中令，得，所以，则可得公差，
所以．
证明：由可得
，
所以
．
18.解：由题，，则，解得：，
所以抛物线的方程为：；
设，，
设切线方程为，
由，得，
所以，
注意到，有，，
方程为，即，
所以，
即切线方程：，同理切线方程：，
设，则有，，
所以方程为：，
所以，解得：，
又在圆上，将代入圆的方程可得：，
又方程为：，令，则或，
故AB在轴上的截距为或．
19.由题意可得，，
当时，，当时，，
所以函数 的单调递增区间为，单调递减区间为；
由可知，当时，单调递减，所以，
所以当时，，与相矛盾，
所以不存在，故不符合题意；
当时，设，
即，
，
令，得，，
当时，，所以在上单调递增，
此时，，
所以存在，当时，，
故满足题意；
当时，由，得，
而当时，一定有，即，
与相矛盾，所以不存在，故不符合题意．
综上，实数的取值范围是．
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