2025年河南省漯河第四高级中学高考模拟
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.在等比数列中，，是函数的极值点，则( )
A. B. C. D.
3.设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为已知，，，，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
4.黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小、密度大、吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为，则( )
A. B. C. D.
5.已知四个数，，，其中最小的是( )
A. B. C. D.
6.已知圆：上的两点、到直线：的距离分别为，，且若，，则( )
A. B. C. D.
7.祈年殿图是北京市的标志性建筑之一，距今已有多年历史殿内部有垂直于地面的根木柱，分三圈环形均匀排列内圈有根约为米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有根约为米的金柱，代表十二个月；外圈有根约为米的檐柱，象征十二个时辰已知由一根龙井柱和两根金柱，形成的几何体图中，米，，则平面与平面所成角的正切值约为( )
A. B. C. D.
8.平面内相距的，两点各放置一个传感器，物体在该平面内做匀速直线运动，两个传感器分别实时记录下，两点与的距离，并绘制出“距离时间”图象，分别如图中曲线，所示已知曲线经过点，，，曲线经过点，且，，若的运动轨迹与线段相交，则的运动轨迹与直线所成夹角的正弦值以及分别为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，样本数据：，，，，则( )
A. 的平均数一定等于的平均数 B. 的中位数一定小于的中位数
C. 的极差一定大于的极差 D. 的方差一定小于的方差
10.数据处理过程中常常涉及复杂问题，此时需要利用符号来衡量某个操作的复杂度设定义在全体正整数上的函数与，若存在正常数，同时存在常数，使任意时，，则称是的复杂函数，则下列函数中，满足是的复杂函数有设均为非零实数( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
11.若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用则下列结论成立的是( )
A. ，，
B.
C. ，使得，，成等比数列
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知抛物线：的焦点为，点为上任意一点，且总有，则的一个值可以为______．
13.已知为坐标原点，过双曲线：的左焦点的直线与的右支交于点，与左支交于点，若，，则双曲线的离心率为______．
14.已知的面积等于，若，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时， ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，．
Ⅰ求的值及的面积；
Ⅱ求证：．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点，．
证明：；
若为线段上一点，且，，，四点共面，求三棱锥的体积．
17.本小题分
某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己次训练情况并将成绩满分分统计如下表所示．
成绩区间
频数
求上表中成绩的平均值及上四分位数同一区间中的数据用该区间的中点值为代表；
该运动员用分层抽样的方式从的训练成绩中随机抽取了次成绩，再从这次成绩中随机选次，设成绩落在区间的次数为，求的分布列及数学期望；
对这次训练记录分析后，发现某项动作可以优化优化成功后，原低于分的成绩可以提高分，原高于分的无影响，优化失败则原成绩会降低分，已知该运动员优化动作成功的概率为在一次资格赛中，入围的成绩标准是分用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时的取值范围．
18.本小题分
已知，是椭圆：的左，右焦点，焦距为，离心率，过左焦点的直线交椭圆于，两点．
求椭圆的方程；
求证：为定值；
求内切圆的面积的最大值．
19.本小题分
数学家高斯在研究整数问题时，发明了取整符号，用表示不超过的最大整数，例如，．
分别求函数和的值域；
若，求函数的值；
若数列满足：，，是数列的前项和，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.只需的值即可
13.
14.
15.解：Ⅰ已知的内角，，所对的边分别为，，，，
由，可得，
根据余弦定理可得，且，，
所以，整理得，
显然不成立，所以，可得，则，
根据三角形的面积公式可得；
证明：Ⅱ由Ⅰ知：，，，
根据余弦定理可得，
则，
又由，所以，
因为，，且，所以．
16.解：证明：由题意知，，
因为，
所以，又平面，又平面，
所以，又，平面，且，
所以平面，又平面，
所以．
因为平面，又，平面，
所以，，又，所以，，两两垂直，
如图以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
则，
不妨令，则，，
所以．
设，，则，
因为，，，四点共面，
则，
解得，
即，
所以．
17.解：依题意，平均值，
因为，，所以上四分位数落在区间，
且等于．
由样本数据可知，训练成绩在，，之内的频数之比为：，由分层抽样的方法得，
从训练成绩在中随机抽取了次成绩，在，之内的次，在之内的抽取了次，
所以可取的值有：，，，，，，
分布列为：
．
设事件，，分别表示动作优化前成绩落在区间，，，
则，，相互互斥，所以动作优化前，在一次资格赛中，
入围的概率，
设事件为“动作优化成功”，则，动作优化后，在一次资格赛中，
入围事件为：且事件，，相互互斥，
所以在一次资格赛中入围的概率，
故，
由解得，又因为，所以的取值范围是．
18.解：由题意知，则，结合，可得，
所以，可得椭圆的方程为．
证明：由题意可得，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时，，可得；
当直线斜率存在时，设直线方程为，
设，，且，
由消去，整理得．
，，．
，，
所以
．
综上所述，定值．
解：的周长，
设的内切圆的半径为，则，
当面积最大时，的内切圆的半径最大，相应地内切圆面积也最大．
，
由可知：当直线斜率不存在时，，
当直线斜率存在且不为时，
．
令，则．
综上所述，，当直线的斜率不存在时取得最大值，
此时内切圆的半径，面积，即内切圆的面积的最大值为．
19.解：由于，所以，由于函数的值域为，所以的值域为整数集；
令，则，当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，又，，
所以当时，，当时，．
由于恒成立，并且当时，，当时，．
故当且时，，，当时，，
所以．
令，则在上单调递减，且，
，所以，，
依次可得：，，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，
故，，又，
所以当为偶数时，
，
，即，
故；
当为大于的奇数时，
，
，
即，故．
所以．
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