陕西省西安市长庆二中2024-2025学年高一（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省西安市长庆二中高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知正方形的边长为，为的中点，则( )
A. B. C. D.
3.已知点是所在平面内一点，点为边的中点，且，，则的值为( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，且，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
6.复数在复平面内表示的点如图所示，则使得是纯虚数的一个是( )
A.
B.
C.
D.
7.设的内角，，的对边分别为，，，若的面积为，，那么外接圆的半径为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，若，则( )
A. B. C. D.
9.在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点给出下列四个结论，错误的是( )
A. 存在点，使得平面
B. 对于任意的点，平面平面
C. 存在点，使得平面
D. 对于任意的点，四棱锥的体积均不变
10.已知，，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于( )
A. B. C. D.
11.已知向量，，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法画出的图形，，，则平面图形的面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量，，若与的夹角是钝角，则的取值范围是______．
14.已知，，向量绕点顺时针旋转到位置，则点的坐标为______．
15.若复数满足，其中是虚数单位，则 ______．
16.已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
Ⅰ已知为虚数单位，计算；
Ⅱ已知是复数，与均为实数为虚数单位，求复数．
18.本小题分
中，角、、的对边分别为、、，．
求的值；
若，边上的高为，求的值．
19.本小题分
如图，已知矩形，，，点为矩形内一点且，设．
当时，求证，；
求的最大值．
20.本小题分
已知正三棱锥的高为，底面边长为，其内有一个内切球，球心到该三棱锥的四个面的距离都相等求：
Ⅰ棱锥的表面积；
Ⅱ球的半径．
21.本小题分
在中，角，，的对边分别是、、，已知，，且．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ若，的面积，求的值．
参考答案
1.
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14.
15.
16.
17.解：Ⅰ；
Ⅱ设，
为实数，
则，
为实数，
则，解得，
故．
18.解：，
，，
，．
由已知，，，，
又，
，
．
19.解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
当时，，
则，，
则，
故．
设，
则，，，
则，
故
，
因为，
故当时，取最大值．
20.解：Ⅰ因为正三棱锥的高为，底面边长为，
所以底面正三角形的中心到正三角形边的距离为，
所以侧面三角形的斜高为，
所以棱锥的表面积为；
Ⅱ设斜高与高线夹角为，则，解得．
21.解：Ⅰ，
，
，
即，
，
，
即，
，即，
又，
，
Ⅱ，由Ⅰ知，，
，
由余弦定理有，
．
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