陕西省西安市长安一中2024-2025学年高一（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省西安市长安一中高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合正四棱柱，长方体，直四棱柱，正方体，则这些集合间的关系是( )
A. B.
C. D.
2.设集合，为虚数单位，，则为( )
A. B. C. D.
3.如图，圆锥的底面半径为，高为，且该圆锥内切球球与圆锥的底面和侧面均相切的半径为，则( )
A.
B.
C.
D.
4.若函数的两个零点分别为和，则( )
A. B. C. D.
5.设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值是( )
A. B. C. D.
6.已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则( )
A. B. C. D.
7.将正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数为自然对数的底数，则函数的零点个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.纯音是指单一频率的声音，纯音的数学模型是函数我们在日常生活中听到的声音，几乎都是复合音，而复合音是由多个频率不同的纯音组成的已知某声音的函数是，则( )
A. 的最小正周期为
B. 的最大值为
C. 的图象关于直线对称
D. 函数的最小值为
10.是边长为的等边三角形，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 在上的投影向量是
11.设函数，若，则的值可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，则与的夹角为钝角时，的取值范围为______．
13.已知正四棱台的上下底面分别是边长为和的正方形，侧棱长为，则该正四棱台的体积为______．
14.使成立的自变量的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数．
求复数的模；
若，求，的值．
16.本小题分
已知向量，，．
求函数的单调递增区间和最小正周期；
若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，求面积．
18.本小题分
设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：，试求解下列问题．
已知向量满足，求的值；
在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值；
已知向量，求的最小值．
19.本小题分
已知函数．
求的值域；
若，求的取值范围；
解关于的方程：．
参考答案
1.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.，或
15.解：，
则；
，
又，
，解得，．
16.解：已知向量，，．
则
，
令，
解得，
所以函数的单调增区间，最小正周期．
由可设，，
又当时，关于的不等式恒成立，
则，
因为，
所以，
而，
所以当时，取得最大值，
即的取值范围是．
17.解：记的内角，，的对边分别为，，，已知，
根据余弦定理可得，
所以，解得：；
由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
18.解：设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：，
已知向量满足，
由已知，得，
设的夹角为，根据平面向量数量积公式可得，
可得，即，
又，所以，
根据向量新定义计算可得；
在平面直角坐标系中，已知点，，，
设，根据向量模长公式可得，，
设的夹角为，根据两向量夹角公式可得，
，
所以，
又，
所以；
已知向量，
由得，
故，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是．
19.解：根据题目：已知函数，
易知；
因为，所以的值域为，
若，即；
整理得，
令函数，易知函数为奇函数，且在上单调递增，
由可得；
化简得，解得；
故当时，的取值范围为；
解关于的方程，即解方程；
因为，；
所以，；
因此问题等价于解方程，且，；
当时，
若，则，方程无解；
若，则，方程无解；
当时，
经检验方程：，的解是或．
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