江西省景德镇市乐平中学2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省景德镇市乐平中学高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则( )
A. B. C. D.
2.等差数列的前项和为，若，则的值( )
A. B. C. D.
3.已知具有线性相关的两个变量，之间的一组数据如表：
且回归方程是，则( )
A. B. C. D.
4.的展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
5.，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得( )
A. B. C. D.
6.如图，已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，设，，，，若，，，构成一个公差为等差数列，则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛若数列满足，则称数列为牛顿数列若，数列为牛顿数列，且，，数列的前项和为，则满足的最大正整数的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆：的半径为，则( )
A.
B. 点在圆的外部
C. 圆与圆外切
D. 当直线平分圆的周长时，
10.关于函数，下列语句正确的是( )
A. 的极大值等于 B. 的极小值等于
C. 的单调递减区间是 D. 的单调递增区间是
11.如图，菱形的边长为，，为边的中点，将沿折起，折叠后点的对应点为，使得平面平面，连接，，则下列说法正确的是( )
A. 点到平面的距离为
B. 与所成角的余弦值为
C. 三棱锥的外接球的体积为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量，若，则 ______．
13.数列的首项，且，令，则______．
14.若任意两个不等正实数，，满足，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求的最大值．
16.本小题分
已知公比大于的等比数列满足，．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ设为的前项和，，求的前项和．
17.本小题分
已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于、两点．
求的值；
求的值．
18.本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列，，经过第一次“和扩充”后得到数列，，，，；第二次“和扩充”后得到数列，，，，，，，，设数列，，经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为．
若，，，求，直接写出答案；
求满足不等式的正整数的最小值；
求数列的通项公式．
参考答案
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14.
15.解：因为，
故，且，，
故曲线在点处的切线方程为；
．
则，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，，
又时，，
所以的最大值为．
16.解：Ⅰ公比大于的等比数列满足，，
设等比数列的公比为，，可得，
则有，，所以的通项公式为．
Ⅱ由等比数列的求和公式可得，，
，
．
17.解：抛物线：的焦点为，
的方程为，代入
整理得，故，
所以，．
利用抛物线定义可得，，
．
18.解：，
，
当时，，在上是单调增函数；
当时，，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上是单调增函数；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
由可得，当时，，
由不等式恒成立，得恒成立，
即在时恒成立．
令，，则．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以的最大值为，得，所以实数的取值范围是．
19.解：第一次“和扩充”：，，，，；
第二次“和扩充”：，，，，，，，，；
故，．
数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，
所以数列，，经过次“和扩充”后，得到，，，，，所以，
因为数列，，经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，
则经第次“和扩充”后增加的项数为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，故，
又因为，所以，即，解得．
所以的最小值为．
因为，
，
依次类推，，
所以
．
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