双曲线压轴题专项训练（含解析）-2025年高考数学二轮复习题

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双曲线压轴题专项训练-2025年高考数学二轮复习题
1．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，过的直线与交于两点，当轴时，．
(1)求双曲线的离心率；
(2)若经过点，为的左支上一动点．
（ⅰ）当的斜率为时，求的面积的最小值；
（ⅱ）设，为的右支上一动点，若三点不共线，且平分，证明：直线恒过定点．
2．已知双曲线的右焦点为，点在右支上，且的最小值为1，的渐近线为．
(1)求的方程；
(2)若点在轴上方，且轴，过点的直线与双曲线交于两点．
（ⅰ）求证：直线和的斜率之和为定值；
（ⅱ）过点作轴的垂线，与直线交于点，设线段的中点为，过点作平行于轴的直线，交于两点，的面积为，求点的坐标．
3．已知双曲线与抛物线有公共焦点，且.
(1)若抛物线的方程为.
①求双曲线的方程；
②设直线与轴交于点，过点的直线交于两点，点在直线上，且直线轴，证明：直线恒过定点.
(2)过的直线与抛物线交于两点，与的两条渐近线交于两点（均位于轴右侧）.若实数满足，求的取值范围.
4．已知双曲线的实轴长为2，且过点为其右焦点．
(1)求双曲线的标准方程．
(2)直线经过点，倾斜角为，与交于两点（点在两点之间），若，求的值．
(3)已知点，过点作直线与交于两点，记直线的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
5．设．如图，在平面直角坐标系中，是双曲线和圆在第一象限内的交点，曲线由中满足的部分和中满足的部分构成．
(1)若，求的值；
(2)设，、分别为与轴的左、右两个交点．第一象限内的点也在上，且，求的大小；
(3)过点作斜率为的直线．若与恰有两个不同的公共点，求的取值范围以及双曲线的离心率的取值范围．
6．已知双曲线过点，其右焦点到渐近线的距离为1，过作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)为双曲线C上一动点，过点分别作两条渐近线的平行线交渐近线于，四边形OEPG的面积是否为定值？若是求出该定值，若不是请说明理由；
(3)在轴上是否存在定点，使恒成立，若存在求出定点的坐标，若不存在请说明理由．
7．已知双曲线的右顶点到其渐近线的距离为，点在上.
(1)求的方程；
(2)过点的直线交双曲线于，两点.
（ⅰ）若与的渐近线交于点，，且（是坐标原点），求的方程；
（ⅱ）记，若点满足，求点的轨迹方程.
8．已知双曲线的离心率为，直线与双曲线相交于，两点．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若以为直径的圆过双曲线的左顶点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由；
(3)设点是满足（2）的双曲线上的一个动点，过分别作的渐近线的两条垂线，垂足分别为，，判断的面积是否为定值；若是，求出该定值并证明；若不是，请说明理由．
9．已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，焦距为，且点到其渐近线的距离为．
(1)求C的标准方程；
(2)若点是C上第一象限的动点，过点作直线l（l不与渐近线平行），若l与C只有一个公共点，且l与x轴相交于点M．
（i）证明：；
（ii）若点N在直线l上，且，那么点N是否在定直线上？若在定直线上，求出该直线方程；若不在定直线上，请说明理由．
10．已知双曲线的两条渐近线的斜率之积为.
(1)求的离心率.
(2)若过点且斜率为1的直线与交于两点（在左支上，在右支上），且.
①求的方程；
②已知不经过点的直线与交于两点，直线的斜率存在且直线与的斜率之积为1，证明：直线过定点.
11．已知等轴双曲线的对称中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴上，且焦距均为4．设两点分别在上，满足直线的斜率之积为1，点为上异于的另一点，过分别作平行于的直线，交于两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：；
(3)设，，证明：为定值．
12．已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中，均为常数，动点P的轨迹称为曲线．
(1)若曲线为双曲线，试问，应满足什么条件？
(2)设曲线C为曲线，点是C上位于第一象限的一点，点A，B关于原点O中心对称，点A，D关于y轴对称．延长AD至E，使得，且直线BE和曲线C的另一个交点G位于第二象限内．
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）设直线OA斜率为，直线AG斜率为，判断与的关系，并求的取值范围．
13．我们把焦点在x轴上，且离心率相同的双曲线称为双曲线系），记的方程为，左、右顶点为．已知双曲线系中曲线经过两点．
(1)求双曲线系的离心率；
(2)已知是双曲线系上的动点，其中在第二象限，在第三象限，依次构造点满足当三点共线时，直线的斜率与直线的斜率之比恒为常数．
（ⅰ）证明：数列是以为公比的等比数列；
（ⅱ）定义：无穷等比递减数列的所有项之和为，其中为的首项，q为的公比，且．设O是坐标原点，的面积的最小值为，求数列的所有项之和T．
14．已知双曲线（，）的两条渐近线为，且经过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线于点、和点、，、分别为弦和的中点，直线与轴交于点；过点作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线于点、和点、，、分别为弦和的中点，直线与轴交于点……；依此类推得到点列，.
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）、分别在双曲线的左支和右支上，且直线经过点，当，时满足：①直线的倾斜角总是；②点和关于轴对称.设点的坐标为，数列的前项和为.证明：.
15．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧）．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若点，且，求点的坐标；
(3)若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值．
16．如图，已知双曲线的离心率为，线段、分别为的实轴与虚轴，四边形的面积为．
(1)求的标准方程；
(2)若直线与的左、右两支分别交于、两点，且总有平分．
①求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；
②若直线、与直线分别交于、两点，求与面积之和的最小值．
17．已知双曲线的离心率为，且经过点．
(1)求的方程；
(2)过曲线上任意一点作曲线的切线，设与的两条渐近线分别交于点，，试讨论的面积是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由；
(3)将横、纵坐标均为正整数的点称为“格点”，记上的所有格点为，，，…，且，证明：为定值．
18．已知点，动点满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线;
(2)直线l过定点D，与曲线C在第一，四象限交于两点，分别记为H，N两点，且满足，求直线l的方程.
(3)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE交C于点G. 证明：;
19．已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且，，三点中有且仅有两点在双曲线上．
(1)求双曲线的标准方程．
(2)直线，均经过的右焦点，与交于两点，与交于两点，以为直径的圆记作，以为直径的圆记作．
①求证：存在定圆与相切；
②设与的公共弦所在直线为，求直线经过的定点．
20．圆锥曲线第二定义：设动点到定点的距离与点到定直线的距离的比是，当时，该动点的轨迹为双曲线.定直线称为准线，比值称为离心率，称为焦半径.如图，为曲线的左、右焦点，该曲线离心率，准线.动点在曲线的右支上.设的平分线与轴、轴分别交于点.
(1)求曲线的标准方程；
(2)求的取值范围；
(3)设过点的直线与双曲线交于两点，求面积的最大值.
《双曲线压轴题专项训练-2025年高考数学二轮复习题》参考答案
1．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.
【分析】（1）根据弦长列式计算得出结合双曲线计算求解即可；
（2）（ⅰ）联立方程得出弦长，再结合对称性应用点到直线距离即可得出面积最小值；（ⅱ）设出直线直线的方程为及方程，联立应用斜率公式结合韦达定理计算求解即可得出定点.
【详解】（1）当轴时，，解得．
由，得，所以，
整理得，解得（舍去），
故双曲线的离心率为．
（2）由（1）知，，又，所以，所以的方程为．
将代入，得，故的方程为．
（ⅰ）当的斜率为时，其直线方程为，设，，
联立得，
则，，
所以．
设过点与直线平行的直线的方程为，当直线与的左支相切时，直线与直线之间的距离最小，此时的面积最小．
联立得，
则，解得，
当时，直线与的左支相切，符合题意；当时，直线与的右支相切，不符合题意，
所以直线与直线之间的距离，
故的面积的最小值为．
（ⅱ）
证明：由上可知，，所以直线的方程为．
因为平分，所以直线与关于直线对称，所以直线与的斜率之积为1，
显然直线的斜率存在，设其方程为，设，，
联立得，
则，且，
，，
，
整理得，
所以，
即，解得，或．
当时，直线的方程为，即直线恒过定点，三点共线，舍去；
当，且时，此时直线恒过定点．
综上可知，直线恒过定点．
2．(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【分析】（1）由题意计算出，，然后解出方程；
（2）（ⅰ）由题意设直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示计算即可；
（ⅱ）方法1：设点的横坐标为，由直线的方程和直线的方程结合中点坐标公式求出点的坐标为．代入双曲线方程得出，通过计算求得点的坐标；
方法2：设点的坐标为，令代入双曲线方程解得，再结合计算得．又由（ⅰ）知计算即可求出点的坐标.
【详解】（1）由题意知，，解得，，
所以双曲线的方程为．
（2）（ⅰ）由题意知．显然直线的斜率存在，设直线的方程为，，．
由得．
由，，得且，，．
所以
．
故直线和的斜率之和为定值4．
（ⅱ）方法1：设点的横坐标为，
由（ⅰ）设直线的方程为，则直线的方程为，
于是，，
所以，
所以点的坐标为．
在方程中，令，得，
所以，
所以，
可得，
所以或，又因为，
所以，所以点的坐标为．
方法2：设点的坐标为，
在方程中，令，得，所以，
所以，解得．
又，且为线段的中点，所以，
又由（ⅰ）知或（舍去）．
所以点的坐标为．
3．(1)①；②证明见解析
(2).
【分析】（1）①根据抛物线计算得出即可得出双曲线方程；②联立直线和双曲线得出韦达定理，再令，再计算求出恒过点；
（2）联立直线和抛物线得出，再应用计算及，代入计算求出范围.
【详解】（1）①设双曲线的焦距为，则有，又，则
所以，则，
所以双曲线的方程为.
②由题意得，，
当直线与轴不重合时，设直线的方程为.
由整理得，，
恒成立，由韦达定理得，
则有
由得，直线的方程为，令，
即直线恒过点，
当直线与轴重合时，设，点，直线为轴，也过点
.综上，直线恒过定点.
（2）由题意知，，又，则，
所以双曲线的渐近线方程为，
易知直线的斜率不为0，设直线，
由于两点且均位于轴右侧，有，
由，解得，
设，由，消去得，
则有，
由及得，
，即，
又，则，所以，
故实数的取值范围为.
4．(1)
(2)
(3)为定值，且该定值为
【分析】（1）根据题意得到，再通过点在双曲线上，构造等式求解即可；
（2）利用点斜式方程得直线的方程为，与双曲线方程联立求出点C，D坐标，最后利用向量的坐标运算求出即可；
（3）设直线方程，与双曲线方程联立，韦达定理，代入两点斜率公式化简求解即可；
【详解】（1）由题意可知，则此双曲线方程为，
把点代入方程，得
所以得，即双曲线的标准方程为．
（2）因为直线经过点，倾斜角为，
所以直线的方程为，由
解得或故得点和点，
则，
由得，解得．
（3）如图，由题意得直线的斜率存在且不可能与轴重合，
设直线的方程为，
由得到
而．
由韦达定理得
则
，
故为定值，且该定值为．
5．(1)2
(2)
(3)，离心率的取值范围
【分析】（1）由点在圆和双曲线上代入可解；
（2）由双曲线的性质和在中由余弦定理可得；
（3）由与的渐近线平行结合点斜式设出直线方程，利用点到直线的距离得到与相切，然后由点坐标为方程组的实数解解出，再联立与相切和圆的方程解出点坐标，令可得的范围；由离心率的齐次式计算可得.
【详解】（1）将分别代入与可得，解得，因为，所以；
（2）由题设，．
、的坐标分别为、，即为的两个焦点．
因为，所以点只能在上．
由双曲线的定义，可得，故．
在中，，
故；
（3）由题设，直线的方程为，与的渐近线平行，故与有且仅有一个公共点．
由圆的圆心到直线的距离，
得与相切，即与有且仅有一个公共点．
由题意，与及各有一个公共点，依次记为、，且点的横坐标大于．
由点坐标为方程组的实数解，解得
由与相切，得，直线的方程为，
代入圆的方程，解得点的坐标为．
于是，由，即解得．
．
6．(1)；
(2)是定值，定值为；
(3)存在定点，该定点坐标为.
【分析】（1）设出双曲线的标准方程，利用焦点到渐近线的距离及过的点求出参数值即可.
（2）求出双曲线的渐近线方程，求出过点与其中一条渐近线平行的直线并求出与另一条渐近线的交点，再利用平行四边形面积公式计算求解.
（3）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及已知求解.
【详解】（1）设双曲线的标准方程为，右焦点，
双曲线的渐近线，点到渐近线的距离，
又，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）双曲线：的渐近线为，
由在双曲线上，得，即，
过点与直线平行的直线方程为，
由，解得，得交点，
依题意，四边形是平行四边形，，
点到直线的距离，
所以四边形的面积为定值.

（3）假设存在点，
由（1）知，，由直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，
由消去得，设，
，解得或，
由，得，而，
于是，则平分，因此直线的斜率互为相反数，
即，
，解得，
所以在轴上存在定点，使恒成立.
7．(1)
(2)（i）或；（ii）
【分析】（1）先求得到双曲线右顶点为和一条渐近线方程为，结合题意，列出方程组，求得的值，即可求得双曲线的方程；
（2）（ⅰ）设直线的方程为，联立方程组，得到，求得，得到，再联立方程组，求得的坐标，得到，结合，求得，即可得到直线的方程；
（ⅱ）设，由，得到，再由在曲线上，联立方程组，求得，结合，得到，代入计算，求得，即可得到点的轨迹方.
【详解】（1）解：由双曲线，可得右顶点为，其中一条渐近线方程为，
因为双曲线经过点，可得，
又因为右顶点到渐近线的距离为，可得，
联立方程组，解得，所以双曲线的方程为.
（2）解：（ⅰ）由双曲线，可得渐近线方程为，即，
设直线的方程为，且，
联立方程组，整理得，
则且，解得，
可得，
则，
即，所以，
联立方程组，解得，
所以，
因为，可得，解得，
所以直线的方程为，即或.
（ⅱ）设，
由，可得，可得，
因为在曲线上，可得，所以，
解得，所以
又由，可得，
即，即，
将和，代入化简得，
因为，可得，所以点的轨迹方程为.
8．(1)
(2)过定点，定点为
(3)为定值，定值为，证明见解析
【分析】（1）由题意利用离心率求出，即得答案；
（2）求出双曲线方程，联立直线方程，可得根系数关系式，结合题意知，化简可得，即可得结论；
（3）求出的值，设渐近线的倾斜角为，则，求出，即可求出的面积，可得结论.
【详解】（1）由，知，
双曲线的渐近线方程为；
（2）由，得，双曲线的方程为
联立方程组得，
设，，则，，
则，．
因为
即，
展开得
即，
即，，或．
当时，直线过，不符合题意，舍去；
当时，直线过定点．
（3）由（1）知双曲线的两条渐近线方程为和；
设，有，即
则，
设渐近线的倾斜角为，则，
所以的面积,
即的面积为定值，定值为．
9．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）点N在定直线上
【分析】（1）由已知条件求出、的值，可得出的值，由此可得出双曲线的方程；
（2）（i）利用两点间的距离公式化简、的表达式，证明出双曲线在点处的切线方程为，求出点的坐标，由此可证得；
（ii）求出直线的方程，将该直线方程与直线的方程联立，求出点的坐标，即可得出结论.
【详解】（1）由题意可知，可得，
双曲线C的渐近线方程为，即，
点到其渐近线的距离为，所以，
因此，双曲线C的方程为．
（2）（i）因为是C上第一象限的动点，则，
可得且，易知点、，
所以，
，
由双曲线的定义可得，
所以，
先证明：双曲线在点处的切线方程为．
联立，可得，又，
整理可得，解得，
所以双曲线在点P处的切线方程为，
由，令，可得，即点，且，
所以，因此．
（ii）如下图所示：
直线的斜率为，
因为，则直线的斜率为，
所以，直线的方程为，
联立直线和直线l的方程，
消去y，可得，解得，
因此点N在定直线上．
10．(1)2
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）根据双曲线渐近线方程和离心率公式，即可求解；
（2）①直线方程与双曲线方程联立，根据向量共线的条件，结合韦达定理，即可求解；
②首先设直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示，即可证明定点问题.
【详解】（1）由题意可知，
则.
（2）①解：直线的方程为，
联立得，
.
设，则，
由，得，
代入，得，
则的方程为.
②证明：设的方程为.
联立得，
，且，
.
因为，
所以，
即，
则，
整理得，
即.
因为点不在直线上，所以，则，
则，
故直线过定点.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用直线与双曲线方程联立，利用韦达定理表示坐标运算.
11．(1)的方程为，的方程为
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）设，，由焦距为4即可求出；
（2）设点，，由直线的斜率之积为1以及点在双曲线上即可求证；
（3）由题意，设点，，，
得，点在双曲线上，代入方程即可求解.
【详解】（1）设，，
因此，所以，
的方程分别为，；
（2）设点，，
因此，，且，，
所以，
因此，，，
所以；
（3）由题意，设点，，，
因此，
又，从而，
整理得，
由（2）可知，因此为定值．
12．(1)，且
(2)（ⅰ）；（ⅱ），
【分析】（1）由化为，根据曲线为双曲线可得答案；
（2）方法一：（ⅰ）由题意得，，设点，由求出点坐标，求出直线BE的斜率可得直线BG的方程与双曲线方程联立， 由韦达定求出、，且可得答案；（ⅱ）由（ⅰ）得、，结合的范围可得求出的范围可得答案；方法二：（ⅰ）由题意得，，设点，由．求出点坐标，求出直线BE的斜率可得直线BG的方程， 将两式作差，将直线BG方程代入并化简得可得答案；（ⅱ） 由（ⅰ）得的范围，可得答案．
【详解】（1）由，得，
若曲线为双曲线，则，
所以可化为，
则，则，
所以当，且时，曲线为双曲线；
（2）方法一：当，时，，即，
（ⅰ）由题意得，，设点，由，
即，
即，得，则，
直线BE的斜率为，
所以直线BG的方程为，即，
联立，得，
由直线BG与双曲线有2个交点，则，
又因为满足，
由韦达定得，解得，
因为，且，
得，所以，
又因为，可得，
所以，
因为，所以，
所以，可得，即的取值范围为．
（ⅱ）由（ⅰ）得
，
所以，
因为，则，则，
；
方法二：当，时，，即，
（ⅰ）由题意得，，
设点，由．即，
即，得，则，
直线BE的斜率为，
所以直线BG的方程为，
设点（，），因为，
所以，所以，，
同理，由，
两式作差得，
将直线BG方程代入并化简得（*）
所以，所以，
可得，即的取值范围为；
（ⅱ）由（*）式可得，
所以，
由（ⅰ）得，
所以．
13．(1)
(2)（i）证明见解析；（ⅱ）
【分析】（1）利用给定条件应用点在双曲线上列式得出，进而求出离心率；
（2）（ⅰ）由（1）求出双曲线方程，设出直线的方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理定理求出直线的斜率与直线的斜率，计算即可得出等比数列；（ⅱ）利用（1）求出的面积结合函数值域得出最小值，求出数列的所有项和即可.
【详解】（1）双曲线系中曲线经过两点
由题意，得，，则，
所以双曲线的离心率为，
所以双曲线系的离心率为；
（2）（ⅰ）由（1）及题意，知，，．
设，．
设直线的方程为，其中在第二象限，在第三象限，
联立得方程组，
消去并整理，得，
则，
，，
所以，
则
，
所以，则．
故数列是以为公比的等比数列．
（ⅱ）由（ⅰ）知，直线也恒过定点，
因此
，
设，则，
则，当时，则 ，
，
所以数列的所有项之和.
14．(1)；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，列式求出即得双曲线方程.
（2）（ⅰ）设出过点的两条直线方程，与双曲线方程联立求得弦中点坐标，再求出直线的方程，建立的关系即可求得通项公式；（ⅱ）求出直线的方程，与双曲线方程联立求出，再利用分组求和及等比数列前项和公式计算推理得证.
【详解】（1）由双曲线的两条渐近线为，得，即，
又双曲线经过点，得，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）令，设两条直线的方程分别为和，
设，，由得，
由，得，，
则，，
点，同理得点，
于是直线的斜率，
直线的方程为：，
令，得，因此，
由，得，则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.

（ⅱ）设直线的方程为，由点的坐标为，得的坐标为，
由消去得，因此，，
则，
所以.
15．(1)
(2)点的坐标为
(3)的最小值为
【分析】（1）根据双曲线方程即可得其渐近线方程；
（2）由点可得，从而可利用三角形外角关系从而可得直线的斜率，将直线方程代入双曲线方程求解即可得点的坐标；
（3）设直线，代入双曲线方程得交点坐标关系，由重心可得，根据点线关系即可得的范围，再结合三角形面积关系得与的关系，由基本不等式可得最值.
【详解】（1）已知双曲线，则，所以双曲线方程为；
（2）双曲线的右焦点，
又，所以，则，
因为，所以，
则直线，即，
所以，解得，即，
则，所以点的坐标为；
（3）设直线，
，
则，
因为直线过点且与双曲线右支交于、两点，所以，
又因为的重心在轴上，所以，
由点在点的右侧，可得，所以，解得，所以，
而，代入可得，
所以，
代入化简可得：，
所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为.
16．(1)
(2)①证明见解析，定点坐标为；②
【分析】（1）由题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出双曲线的标准方程；
（2）①分析可知，直线、的斜率之积为，且直线的斜率显然存在，设的方程为，设点、，将该直线方程与双曲线方程联立，列出韦达定理，根据结合韦达定理可得出、的关系式，化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标；
②不妨设，将直线的方程与双曲线的方程联立，求出、的坐标，求出直线的坐标，可求出点的坐标，同理可得出点的坐标，利用三角形的面积公式以及基本不等式可求得的最小值.
【详解】（1）由题意得，解得，
所以，双曲线的标准方程为.
（2）①因为直线的方程为，且直线平分，
所以，直线、关于直线对称，
不妨设直线、的倾斜角分别为、，则，
即，
若直线垂直于轴，则直线与双曲线相切，不合乎题意，
同理可知直线的斜率也存在，
所以，，
所以，两直线的斜率之积．
直线的斜率显然存在，设的方程为，设点、，
联立整理得．
则有，且，
由韦达定理可得，，
又，
整理得，
即，
所以，，得或．
当时，直线的方程为，
即直线过定点，此时不存在，舍去；
当，且时，此时直线的方程为，恒过定点．
综上所述，直线恒过定点．
②由①知，直线的方程为，显然时不符合题意，不妨设．
联立得．
不妨设点在第三象限，点在第一象限，
则，，
所以．
又直线的方程为，令，得，
即．同理．
所以．
所以，
当且仅当时，即当时取等号．
所以与面积之和的最小值为．
17．(1)
(2)是定值，定值为；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据离心率公式并代入得到方程组，解出即可；
（2）首先讨论直线斜率不存在的情况，再采用设线法并联立双曲线得到判别式等于0，计算出坐标，最后利用三角形面积公式即可得到答案；
（3）利用赋值法得和是C上的一个格点，从而总结出规律最后证明一般性即可.
【详解】（1）由题意得，解得，
所以C的方程为．
（2）①当直线经过双曲线的顶点时直线的斜率不存在，此时直线方程为，
渐进性方程为，当时，，两渐近线夹角为，
则此时，点到直线的距离为1，所以此时；
②当直线的斜率存在时，设直线为，
由得，
因为直线与双曲线相切，所以且，
整理得且，即，
由得，则，
同理得到，
所以
，，
所以.
（3）在方程中，令，得，令，得，则．
因为，
所以，得是C上的一个格点，
，得是C上的一个格点．
按这种构造方式，由可以得到一系列格点．
下面证明C上的任意一个格点都满足该式：
任取两个由上述方式得到的相邻格点和，
假设在点和之间存在另外的格点，即存在，，满足．
因为是C上的格点，所以，
所以，
得，
设，，则．
由点，在C上，可得，，且，
所以，，再由，，，，得，，
故也是C上的格点．
另一方面，因为，，所以，
即，所以．
而，即．
显然，C上不存在格点满足该式，矛盾，假设不成立，
故C上的所有格点都满足．
由，，得．
所以
所以，为定值．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法并联立双曲线方程得到判别式等于0，再计算出坐标，最后计算面积即可.
18．(1)，以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的双曲线
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）分别求出直线AM与BM的斜率，由已知直线AM与BM的斜率之积为，可以得到等式，化简可以求出曲线C的方程，注意直线AM与BM有斜率的条件；
（2）设直线l的方程为，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果；
（3）方法一：表示出直线的斜率，以及，再由代入计算，即可证明；方法二：根据题意，由Q，E，G三点共线，再由点差法代入计算，即可证明.
【详解】（1）直线的斜率为，直线的斜率为，
由题意可知：，
所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的双曲线，
其方程为；
（2）
设直线l的方程为，，
由题意知，
因为，所以
，得
联立上式可得，因为，所以.
直线l的方程为.
（3）[方法一]依题意设，
直线的斜率为，则，
所以．
又，所以，
进而有．
[方法二]由题意设，则．
因为Q，E，G三点共线，所以，
又因为点P，G在双曲线上，所以，
两式相减得，
所以，所以．
19．(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】(1)根据题意有双曲线经过点，代入方程即可求解；
（2）①先讨论直线的斜率不存在和斜率为0的情况，猜想所求圆为，再讨论当直线的斜率不为0时，设，与双曲线方程联立即可得，设，，根据韦达定理有，得的中点，计算，得圆的方程，利用几何法验证圆和圆相切即可；
②当直线的斜率不为0时，设，计算圆，圆的方程和圆的方程相减得公共弦所在直线的方程，化简即可得定点.
【详解】（1）由题意可知，双曲线经过点，．
设双曲线的方程为，把点代入，得，
所以双曲线的方程为．
（2）①当直线的斜率不存在时，，
当直线的斜率为0时，，
结合对称性，猜想所求圆为．
当直线的斜率不为0时，设，
联立得．
设，，则
所以的中点，
．
所以．
又，则，半径为2，
所以．
所以．
当时，与的半径之和，
所以，与外切；
当时，与的半径之差的绝对值，
所以，与内切．
综上所述，存在定圆与相切．
②当直线的斜率不为0时，设，
则．
又，
两圆方程相减，得直线的方程为
，
，
，
，
，
，
即．
令，得，
所以直线经过定点．
20．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据已知求双曲线参数，即可得双曲线方程；
（2）法一：根据已知有得到，进而有，结合双曲线的性质得，即可确定参数范围；法二：根据已知写出、，由角平分线及点线距离公式列方程得，结合即可得参数范围；
（3）设直线的方程，求得，进而有并联立双曲线，应用韦达定理、弦长公式和三角形面积公式得，即可求最值.
【详解】（1）由题设，可得，
则，故；
（2）法一：依题意有.
由焦半径的定义知，.
在中，由角平分线定理知，即，
整理得，
将代入上式得，
由，及.
所以，从而m的取值范围是.
法二：依题意有，
则，
，
由点N在的平分线上知，
则.
故，由及，
所以，故的取值范围是.

（3）由（1）知，
令，故点，
由，
与双曲线方程联立消去得①，
，
设，则，
，
由，知，
设，故.
当，即点时，面积取最大值.
从而面积的最大值为.
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