第二章 一元函数的导数及其应用 目标达成A卷（含解析）

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2024-2025学年高二下学期 数学 第二章 导数及其应用 目标达成A卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项： 注意事项： 1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题(共45分)
1．(5分)下列求导运算正确的是( )
A. B. C. D.
2．(5分)已知函数在R上可导,若,则( )
A.9 B.12 C.6 D.3
3．(5分)若,则等于( )
A. B.3 C. D.6
4．(5分)已知函数，若在上单调递增，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5．(5分)设,若函数在内存在极值点,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6．(5分)若直线与曲线相切,则实数a的值可以是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
7．(5分)若函数在区间上单调递增，则k的取值范围为( )
A. B. C. D.
8．(5分)已知,,,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(共18分)
9．(6分)设是函数的导函数，在同一个直角坐标系中，和的图象可能是( )
A. B. C. D.
10．(6分)已知函数,则( )
A.的定义域为 B.的图像在处的切线斜率为
C. D.有两个零点,,且
11．(66分)函数，下列说法正确的是( )
A.当时，在处的切线的斜率为1 B.当时，在上单调递增
C.对任意，在上均存在零点 D.存在，在上有唯一零点
三、填空题(共15分)
12．(5分)已知函数在处的导数,则a的值为______________.
13．(5分)若函数在R上无极值点,则实数m的取值范围是_____________.
14．(5分)已知函数在上有两个极值点,则实数m的取值范围是_________．
四、解答题(共94分)
15．(13分)已知曲线，求：
(1)曲线在点处的切线方程；
(2)曲线过点的切线方程．
16．(15分)已知函数
(1)当时,求函数在点处的切线方程;
(2)求函数的极值;
(3)若函数在区间上是增函数,试确定的取值范围.
17．(15分)已知函数在处取得极值.
(1)求a，b的值；
(2)求曲线在点处的切线方程；
(3)求函数在上的最值.
18．(17分)已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)讨论的单调性.
19．(17分)已知函数,若有极大值,且极大值为2.
(1)求a的值;
(2)若在上恒成立,求b的取值范围.
2024-2025学年高二下学期 数学 第二章 导数及其应用 目标达成A卷
（参考答案）
1．答案：D
解析：选项A.,故选项A不正确.
选项B.,故选项B不正确.
选项C.,故选项C不正确.
选项D.,故选项D正确.
故选：D.
2．答案：B
解析：由导数定义可知：,
故.
故选：B.
3．答案：D
解析：因为,
所以,
所以,
所以,
所以,
故选:D.
4．答案：C
解析：，
因为在上单调递增，
所以在上恒成立，
则，
解得，
故选：C
5．答案：B
解析：依题意,在内存在变号零点,而不是的零点,从而得,又在上递增,所以,B正确.
6．答案：B
解析：设直线与曲线相切的切点为,
由函数,可得,可得,
所以,可得,解得,,
则,,即切点为,
将切点代入,
可得,所以,,
当时,可得.
故选：B.
7．答案：D
解析：由题意得：，
在上单调递增，在上恒成立，即，
令，则，，即k的取值范围为.
故选：D.
8．答案：C
解析：令,则,
则当时,,当时,,
即在上单调递增,在上单调递减,
又、、,
由,故.
故选:C.
9．答案：ABC
解析：根据原函数单调递增部分对应的导函数图象应在x轴上方，而原函数单调递减部分对应的导函数图象应在x轴下方，可知选ABC.
10．答案：BCD
解析：由题意,,
对于选项A,易知且,故选项A错误,
对于选项B,因为,则,故选项B正确,
对于选项C,因为,所以,故选项C正确,
对于选项D,由选项可知,易知在和上单调递增,
因为,
,
所以,使得,
又因为,则,结合选项C,得,
即也是的零点,则,,故,故选项D正确,
故选：BCD.
11．答案：AD
解析：选项A，当时，，所以切线斜率，选项A正确.
选项B，当时，，，
又，，
所以存在，使得，
则在上，，在上，，
所以在上，单调递减，在上，单调递增.所以B不正确.
对于选项C、D，，，
令，所以，则令，
，令，得，，，
由函数的图像性质可知：
时，，单调递减.
时，，单调递增.
所以，，时，取得极小值，
即当，，……时取得极小值，
又，即
又因为在上单调递减，所以
所以，，时，取得极大值，
即当，，……时取得极大值，
又，即
所以
当时，
所以当，即时，在上无零点，所以C不正确.
当，即时，与的图象只有一个交点
即存在，在上有且只有一个零点，故D正确.
故选：AD
12．答案：1
解析：由,得 ,
,得
故答案为：1.
13．答案：
解析：因为函数在R上无极值点,故函数单调递增,所以恒成立,
即恒成立,又,所以.
14．答案：
解析：因为函数在上有两个极值点,
所以在上有两个变号零点,
因为,令,即,可得,
令,则,
令,得,令,得,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,
又,,,作出函数在上图象,
当时,直线与函数在上的图象有两个交点,
设两个交点的横坐标分别为、,且,由图可知,
当或时,,此时,
当时,,此时,
所以函数在上递增,在上递减,在上递增,
此时,函数有两个极值点,合乎题意.因此,实数m的取值范围为.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)或
解析：(1)由于，
从而点是切点，
又，所以，
从而曲线在点处的切线方程为，
即；
(2)由，从而点不是切点，
设切点为，显然，
一方面，
另一方面，
联立以上两式可得，
所以或，也就是或，
又，，，
所以曲线过点的切线方程为或，
也就是或.
16．答案：1.当时, ,,
,又,∴切线方程为.
2.定义域为,,当时, 恒成立, 不存在极值.
当时,令,得,当时, ,当时, ,
∴当时, 有极小值.
3.∵在上递增,∴对恒成立,
即恒成立.∴.
解析：
17．答案：(1),
(2)
(3)最小值为-14，最大值为18
解析：（1）因，故，
由于在处取得极值，
故有即,
化简得解得,
经检验，，时，,
令解得或，令解得，
所以在单调递增，单调递减，单调递增，
所以在处取得极值，
符合题意，所以，
（2）由（1）得，
故，
所以曲线在点处的切线方程为：
，即.
（3）由（1）知，
令，得，.
在时，随x的变化.，的变化情况如下表所示：
x 2 3
正 0 负 0 正
11 单调递增 18 单调递减 单调递增
当时，有极大值，当时，有极小值.
因为，
因此在的最小值为.最大值为.
18．答案：(1)极大值为14，极小值为
(2)答案见解析
解析：(1)当时，，
所以在区间上，单调递增，
在区间上单调递减，
所以的极大值是，
极小值为.
(2)，
，
当时，单调递增；
当，时，在区间上单调递增，
在区间上单调递减.
当时，在区间上单调递增，
在区间上单调递减.
综上：当时，在R上单调递增；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)易知函数的定义域为,
根据题意可得,令,得,
当时,,即在上单调递增,
当时,,即在上单调递减;
所以,
解得
(2)由(1)知,
因为,所以可化为,
设,
所以,则在上恒成立,
即可得在上单调递减,,
因此b的取值范围是
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