2024-2025学年高二下学期数学第一章 数列 单元复习测试卷（A）（含解析）

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第一章 数列 单元复习测试卷（A）
一、选择题
1．已知在等差数列中,,则( )
A.6 B.8 C.7 D.10
2．已知数列2,,,,,…,,…,则该数列的第40项是( )
A. B. C.11 D.5
3．在等差数列中，若，，则( )
A.195 B.196 C.197 D.198
4．已知是等差数列的前n项和，若，，则数列的首项( )
A.3 B.2 C.1 D.
5．数列的通项公式为，该数列的前50项中最大项是( )
A. B. C. D.
6．在等差数列中,,设数列的前n项和为,则( )
A.12 B.99 C.132 D.198
7．设等比数列的前n项和为,若,,则( )
A.20 B.30 C.35 D.40
8．用“作切线”的方法求函数零点时，若数列满足，则称该数列为言蹊数列.若函数有两个零点1和2，数列为言蹊数列.设，已知，的前n项和为，则( )
A.2022 B.2023 C. D.
二、多项选择题
9．近年来，宝鸡市教育局致力于构建“学好上、上好学、学得好”的“宝鸡好教育”品牌体系.在关注学生身体健康的同时，也高度重视学生的心理健康，为此特别推出了“和风计划”.某校积极响应“和风计划”，为了缓解学生的学习压力，面向1630名高三学生开展了团建活动.如果将所有参加活动的学生依次按照1，2，3，4，5，6，7，…编上号，并按图所示的顺序排队，我们将2，3，5，7，10，…位置称为“拐角”，因为指向它的箭头与离开它时的箭头方向发生了改变，那么下面说法正确的有( )
A.站在第20拐角的学生是111号 B.站在第23拐角的学生是137号
C.第133号同学站在拐角位置 D.站在拐角位置的同学共有79名
10．等差数列中，，，若，，则( )
A.有最小值，无最小值 B.有最小值，无最大值
C.无最小值，有最小值 D.无最大值，有最大值
11．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”,而把1,4,9,16…这样的数称为“正方形数”.如图中可以发现,任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和,下列等式中,符合这一规律的表达式为( )
A. B.
C. D.
三、填空题
12．已知正项等比数列满足,则其公比___________.
13．等差数列的前n项和为，，，则________.
14．已知正项等比数列的前n项和为，若，，则__________.
四、解答题
15．已知数列满足，，其中为的前n项和，.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式.
16．已知数列中,,且,为数列的前n项和,,数列是等比数列,,．
(1)求数列和的通项公式;
(2)若,求数列的前n项和．
17．设正项数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）记的前n项和为，求证：.
18．已知数列是首项为1的正项数列，且，数列满足，且.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求.
19．从社会效益和经济效益出发，某地准备投入资金进行生态环境建设，以发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
（1）设n年内（本年度为第1年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出，的表达式；
（2）至少经过多少年，旅游的总收入能超过总投入？（取）
第一章 数列 单元复习测试卷（A）
（参考答案）
1．答案：D
解析：因为,所以.
故选:D.
2．答案：C
解析：依题意,所给数列的通项公式为,
所以该数列的第40项.
故选：C.
3．答案：C
解析：设等差数列的首项为，
公差为d，则
解得
所以，
所以.
故选：C
4．答案：B
解析：设等差数列的公差为d，因为，
可得，即，所以，
又因为，可得，
即，联立解得，.
故选：B.
5．答案：C
解析：因为
所以当，即时，，所以.
当，即时，，所以.
且时，数列为递减数列，
所以该数列的前50项中最大项是.
故选：C
6．答案：C
解析：,,
.
故选：C.
7．答案：B
解析：由等比数列的前n项和的性质可得,,也成等比数列,所以,则,解得.
8．答案：D
解析：函数有两个零点1，2
，
,
则由题意得
,
,
,且
,
所以数列是以1为首项,
以2为公比的等比数列,
所以,
,
故选：D.
9．答案：ACD
解析：观察给出的前几个拐角位置对应的编号：2，3，5，7，10，13，17，21，26，…
将奇数项的拐角即为，易得：;
偶数序号的拐角即为，由规律可得：
第20拐角的学生编号为：正确；
站在第23拐角的学生编号为：错误；
由，解得，也即第133号同学站在第22拐角位置；
由，可得，由，可得，
所以拐角总序号可到第79个，所以站在拐角位置的同学共有79名，正确；
故选：ACD
10．答案：AD
解析：设等差数列的公差为d，
依题意，得，
解得，
，
，
当时，有最小值-25，无最大值，
而，
易得，，，，
且，
当时，，
当时，有最大值，无最小值.
故选：AD.
11．答案：BD
解析：这些三角形数的规律是1,3,6,10,15,21,28,36,45,…,
且正方形数是这串数中相邻两数之和,容易得到：,,,,只有BD是对的.
故选：BD.
12．答案：3
解析：依题意可得,,代入原式得.
即,解得或,当时,与题意矛盾舍去,故.
故答案为：3.
13．答案：13
解析：因为为等差数列，
所以，所以，
所以，所以，
故答案为：13.
14．答案：
解析：设首项，公比q，易知，
∴，
由于均为正，∴，
∴.
故答案为：
15．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为，，
所以，即，
所以，即，所以，
则.
又，
所以是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1）知，所以.
当时，，
当时，不满足上式，
所以数列的通项公式为
16．答案：(1),;
(2)数列的前n项和为.
解析：(1)由已知当,时,,,
所以,
又,
所以,
所以,
所以数列为等差数列,公差为1,
又,所以,
所以当,时,,
又,
所以,,
设等比数列的公比为q,
因为,,
所以,,
所以,所以,
(2)由(1),
所以,
所以数列的前n项和,
所以.
17．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为，
当时，，又，则，
当时，，，
两式相减，整理可得，
又为正项数列，即，
所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以.
（2）由（1）可得，所以，
所以，
两式相减得
，
所以.
18．答案：（1）数列的通项公式为；数列的通项公式为
（2）
解析：（1）由，
可得，
又数列是首项为1的正项数列，
所以，即，
所以，
所以有，
也满足，
所以数列的通项公式为.
数列满足，即，
则有，
所以
，
也满足，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，
设，
则，①
，②
可得
，
所以.
19．答案：（1），
（2）5年
解析：（1）第1年投入为800万元，第2年投入为万元，
第n年投入为万元，
所以n年内的总投入.
第1年旅游业收入为400万元，
第2年旅游业收入为万元，
第n年旅游业收入为万元，
年内的旅游业总收入万元.
（2）设至少经过n年旅游业的总收入就能超过总投入，
即，即，
化简得，
设，则不等式等价为，
解得或（舍去）.
即，又，所以.
即经过5年旅游业的总收入就能超过总投入.
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