第二章 导数及其应用（40分钟限时练）1.平均变化率与瞬时变化率（含解析）

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第二章 导数及其应用（40分钟限时练）
2.1平均变化率与瞬时变化率
一、选择题
1．若一射线从处开始，绕O点匀速逆时针旋转（到处为止），所扫过的图形内部的面积S是时间t的函数，的图象如图所示，则下列图形中，符合要求的是( )
A. B. C. D.
2．某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等.在各时段内平均增长速度分别为，，，该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为( )
A. B. C. D.
3．有一机器人的运动方程为，（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻时的瞬时速度为( )
A.7 B.14 C.21 D.28
4．在附近，取，在四个函数①、②、③、④中，平均变化率最大的是( )
A.④ B.③ C.② D.①
5．水滴在水面上形成同心圆，边上的圆的半径以的速度向外扩大，从水滴接触水面开始，末时圆面积的瞬时变化率为( )
A. B. C. D.
6．若函数在处的瞬时变化率是，则( )
A. B. C.1 D.3
二、多项选择题
7．下列函数在区间上的平均变化率是正数的有( )
A. B. C. D.
8．一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为，则下列说法正确的是( )
A.前内球滚下的垂直距离的增量
B.在时间内球滚下的垂直距离的增量
C.前内球在垂直方向上的平均速度为
D.在时间内球在垂直方向上的平均速度为
三、填空题
9．若函数，，则函数在上平均变化率的取值范围为_________.
10．蜥蜴的体温T（单位：）与太阳落山后的时间t（单位：min）的关系为，则从到，蜥蜴体温的平均变化率为________.
四、解答题
11．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第时，原油的温度（单位：℃）为.计算第与第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
第二章 导数及其应用（参考答案）
2.1平均变化率与瞬时变化率
1．答案：D
解析：因为OP是匀速旋转，
选项A，OP扫过的圆内阴影部分面积在开始时段缓慢增加，中间增速最快，后面时段相对增速越来越慢，不合题意；
选项B，OP扫过的圆内阴影部分面积是匀速变化的，不合题意；
选项C，OP扫过正方形的阴影部分，是开始时段缓慢增加，中间增速最快，后面时段相对增速越来越慢，不合题意；
选项D，OP扫过的三角形内阴影部分面积在开始时段的增速和最后时段的增速比中间时段快，选项D符合.
故选：D.
2．答案：D
解析：设三个连续时段为，，，各时段的增长量相等，
设为M，则，
整个时段内的平均增长速度为.
故选：D.
3．答案：A
解析：该机器人在时刻时的瞬时速度为.
故选：A.
4．答案：B
解析：时，①在附近的平均变化率；②在附近的平均变化率；③在附近的平均变化率；④在附近的平均变化率. ，故应选B.
5．答案：B
解析：由题意可知，水滴接触水面后边上圆的半径R与时间t的关系为，则边上圆的面积，所以.，当无限趋近于0时，无限趋近于，故末时圆面积的瞬时变化率为.
6．答案：A
解析：.当无限趋近于0时，无限趋近于，所以，所以.
7．答案：ABC
解析：对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：ABC.
8．答案：BCD
解析：前内，，，
此时球在垂直方向上的平均速度为，A错误；C正确；
在时间内，，，
此时球在垂直方向上的平均速度为，B正确；D正确.
故选：BCD.
9．答案：
解析：当，时，
在上平均变化率为，
令，，
可看做，图象上任一点与点连线的斜率，
即，，当点P从点B运动到点A，斜率逐渐减小，点P，A重合时，
表示函数在点处的切线的斜率，
，
所以，当点P位于点B时，点P，A连线的斜率最大，
，
故.
故答案为：.
10．答案：
解析：从到，蜥蜴体温的平均变化率为（）
故答案为：.
11．答案：在第和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和3.意义见解析
解析：在第和第时，原油温度的瞬时变化率就是和.
根据导数的定义，，
所以，.同理可得.
在第和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和3.
这说明在第附近，原油温度大约以的速率下降；在第附近，原油温度大约以的速率上升.
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