第四章数列检测卷（含解析）-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 第四章数列检测卷（含解析）-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 707.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-22 22:14:31 | ||
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文档简介
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第四章数列检测卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
一、单选题
1．已知数列中，，，，则（ ）
A．4 B．2
C． D．
2．已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知满足：，，则（ ）
A．4720 B．4722 C．4723 D．4725
4．设等差数列和的前项和分别是和，若， 求（ ）
A． B． C．1 D．
5．若等差数列满足，则（ ）
A．2025 B． C． D．
6．若数列满足，则称为“对奇数列”.已知为“对奇数列”，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知 Sn是数列{an}的前n项和，且 则（ ）
A．是等比数列 B．数列是等比数列
C． D．
8．用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知，若数列不是递增数列，则下列数值中的可能取值为（ ）
A．1 B． C． D．
10．若公差为2的等差数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ）
A．数列为等比数列 B．数列为等差数列
C． D．
三、填空题
12．已知数列满足，，则 .
13．某演出团选出155名演员站成排进行演出.已知最后面一排的人数为20，从最后面一排开始，每一排人数比前面一排人数多1人，则 ，最前面一排的人数为 .
14．已知数列的前项和 ，设为数列的前项和，若对任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为 .
四、解答题
15．已知数列的前项之积为，且．求数列和的通项公式；
16．已知数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的最大项是该数列的第几项．
17．在①，；②这两个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要求写序号），并解答该题.
已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有________.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
18．在数列中，已知，且当为奇数时，；当为偶数时，.
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和；
(3)设，若集合中恰好有3个元素，求实数的取值范围.
19．已知数列{an}满足 定义 为{an}的特征方程，特征方程的根和数列通项公式的形式密切相关.设特征方程的两个根为x ，x ，若x ≠x ，则数列{an}的通项公式为 若 则数列{an}的通项公式为 其中A，B均为实数.
(1)若数列{an}满足 且 求{an}的通项公式；
(2)若数列{an}满足 且 求{an}的通项公式；
(3)若数列{an}满足 且 记 为数列{bn}的前n项和，证明：
《第四章数列检测卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D B C B C C BD ACD
题号 11
答案 ACD
1．D
【分析】由数列的递推公式求出数列前几项，即可得数列是周期为3的周期数列，由其周期性即可求值.
【详解】因为，，，
所以，
则，，，，
所以数列是周期为3的周期数列，则.
故选：D.
2．A
【分析】根据数列的项最小，利用列举法判断的最大值.
【详解】要使最大，则数列的项要尽可能的小，注意到，，依此类推，，，
所以的最大值5.
故选：A
3．D
【分析】根据“冰雹猜想”结合递推关系可知数列是以3为周期的数列，结合周期性即可得结果.
【详解】由题意可得：,
可知数列是以3为周期的数列，
因为，所以，
故选：D.
4．B
【分析】根据等差数列的求和公式和等差数列的性质求值.
【详解】因为数列和均为等差数列，
所以.
故选：B
5．C
【分析】根据等差中项的性质，利用倒序相加法，可得答案.
【详解】由等差数列满足，
则对于，当时，，
则，
设，则，
两式相加可得，解得.
故选：C.
6．B
【分析】根据对奇数列的定义可得，化简可证明是以为首项，3为公比的等比数列，进而可得通项公式.
【详解】因为为“对奇数列”，则，即，
且，可知数列是以为首项，3为公比的等比数列，
所以.
故选：B.
7．C
【分析】先根据得到的递推关系式，然后构造一个等比数列写出的通项公式，再写出的通项公式即可判断各选项.
【详解】由，所以，可得.
因为，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，故不是等比数列，且，
所以当时，，
所以，故不是等比数列，且，
综上，ABD选项错误，C选项正确.
故选：C
8．C
【分析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出和的结论，对照即可求解.
【详解】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，
由于，左边；
时，左边，
比较两式，从而等式左边应添加的式子是．
故选：C
9．BD
【分析】根据数列的函数特性，利用单调性即可得出结论.
【详解】若数列是递增数列，则有，
而因为不是递增数列，
所以或，解得，故BD正确.
故选：BD
10．ACD
【分析】根据题设条件得到，即可判断选项A和B的正误，再求出时，，当时，，即可判断选项C和D的正误.
【详解】设等差数列的首项为，由题有，解得，所以选项A正确，选项B不正确，
又，
由，得到，由，得，由，得到，
所以是数列前项和的最小值，故选项CD正确，
故选：ACD.
11．ACD
【分析】首先根据递推公式，结合等比数列和等差数列的定义，即可判断AB，再利用累加法，判断C，最后根据通项公式求和，判断D.
【详解】A.由条件，可知，，
且，则，所以数列为等比数列，故A正确；
B.由条件可知，，，，，，数列的前3项2,5,14不能构成等差数列，
所以数列不是等差数列，故B错误；
C.由A可知，，所以时，，
，也适合，故C正确；
D.由C可知，，
所以，故D正确.
故选：ACD
12．
【分析】根据奇数项和偶数项的特征，根据分组求和得，即可得解.
【详解】由可知：
当为偶数时，，当为奇数时，，
所以，
即
，
由此解得.
故答案为：
13． 10 11
【分析】根据给定信息，利用等差数列前项和公式列出方程求解.
【详解】依题意，从后往前，每排人数依次排成一列，构成以20为首项，为公差的等差数列，
则，整理得，而，
所以，最前面一排的人数为.
故答案为：10；11
14．
【分析】利用与的关系求出数列的通项公式，再用裂项相消法求得，再根据不等式的恒成立问题以及函数的单调性与最值，求实数的取值范围.
【详解】由，，
，
，
则，
由函数在上单调递减，在上单调递增，
又时，，时，，
所以当时，取最小值的取值范围是.
故答案为：.
15．，
【分析】根据题意，利用项与和的关系求得，再利用求得；
【详解】①，
②，
①-②可得，也满足上式，
③．
数列的前项之积为当时，，
代入③可得，
．
16．(1)
(2)第项
【分析】（1）根据求通项即可；
（2）根据得到，然后列不等式求最大项即可.
【详解】（1）当时，，不满足上式，
当时，，
故数列的通项公式为.
（2）由已知得，
当时，，
则，即，
得， 即，
所以当，的最大项为第7项，
又，
所以数列的最大项是该数列的第项.
17．(1)选①②，答案均为；
(2)证明过程见解析
【分析】（1）选①，根据，得到，为首项和公差均为1的等差数列，得到，根据求出通项公式；选②，，求出为首项和公差均为1的等差数列，得到，根据求出通项公式；
（2）求出，求和得到，并作差得到，得到的最小值为，证明出结论.
【详解】（1）选①，，，
因为，
所以，
因为数列的各项均为正数，所以，，
所以，
又，，所以为首项和公差均为1的等差数列，
所以，，
所以当时，，当时，，
显然满足，
综上，；
选②，①，当时，，解得，
当时，，
故，
又因为数列的各项均为正数，所以，
故，即，
又，故为首项和公差均为1的等差数列，
所以，解得，
所以当时，，当时，，
显然满足，
综上，；
（2）由（1）知，，，
，
所以，
因为，
所以，
所以为递增数列，故的最小值为，
所以.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）首先求为奇数时的通项公式，再代入条件求为偶数时的通项公式；
（2）根据（1）的结果，讨论为奇数和偶数两种情况，求；
（3）首先求数列的通项公式，再结合条件，即可求解.
【详解】（1）由条件可知，，
当为偶数时，，所以数列的奇数项成公比为2的等比数列，
所以，所以为奇数时，，
当为偶数时，，
所以；
（2）当为偶数时，
；
当为奇数时，
，
；
，
所以；
（3），
所以当为奇数时，数列单调递减，当为偶数时，数列单调递减，
，，，，
若集合中恰好有3个元素，则.
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题干的条件求出，故，将数值代入即可求得结果.
（2）根据题干的条件求出，故，将数值代入即可求得结果.
（3）根据题干的条件求出，故，将数值代入得到，
再利用防缩法得，再利用分组求和即可证明结论.
【详解】（1）的特征方程为，解得.
所以的通项公式为.
由题意可得解得
所以的通项公式为.
（2）的特征方程为，解得.
所以的通项公式为.
由题意可得解得
所以的通项公式为.
（3）证明：的特征方程为，解得，
所以的通项公式为.
由题意可得解得
所以的通项公式为.
当时，，满足.
当时，.
.
综上，.
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第四章数列检测卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
一、单选题
1．已知数列中，，，，则（ ）
A．4 B．2
C． D．
2．已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知满足：，，则（ ）
A．4720 B．4722 C．4723 D．4725
4．设等差数列和的前项和分别是和，若， 求（ ）
A． B． C．1 D．
5．若等差数列满足，则（ ）
A．2025 B． C． D．
6．若数列满足，则称为“对奇数列”.已知为“对奇数列”，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知 Sn是数列{an}的前n项和，且 则（ ）
A．是等比数列 B．数列是等比数列
C． D．
8．用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知，若数列不是递增数列，则下列数值中的可能取值为（ ）
A．1 B． C． D．
10．若公差为2的等差数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ）
A．数列为等比数列 B．数列为等差数列
C． D．
三、填空题
12．已知数列满足，，则 .
13．某演出团选出155名演员站成排进行演出.已知最后面一排的人数为20，从最后面一排开始，每一排人数比前面一排人数多1人，则 ，最前面一排的人数为 .
14．已知数列的前项和 ，设为数列的前项和，若对任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为 .
四、解答题
15．已知数列的前项之积为，且．求数列和的通项公式；
16．已知数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的最大项是该数列的第几项．
17．在①，；②这两个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要求写序号），并解答该题.
已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有________.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
18．在数列中，已知，且当为奇数时，；当为偶数时，.
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和；
(3)设，若集合中恰好有3个元素，求实数的取值范围.
19．已知数列{an}满足 定义 为{an}的特征方程，特征方程的根和数列通项公式的形式密切相关.设特征方程的两个根为x ，x ，若x ≠x ，则数列{an}的通项公式为 若 则数列{an}的通项公式为 其中A，B均为实数.
(1)若数列{an}满足 且 求{an}的通项公式；
(2)若数列{an}满足 且 求{an}的通项公式；
(3)若数列{an}满足 且 记 为数列{bn}的前n项和，证明：
《第四章数列检测卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D B C B C C BD ACD
题号 11
答案 ACD
1．D
【分析】由数列的递推公式求出数列前几项，即可得数列是周期为3的周期数列，由其周期性即可求值.
【详解】因为，，，
所以，
则，，，，
所以数列是周期为3的周期数列，则.
故选：D.
2．A
【分析】根据数列的项最小，利用列举法判断的最大值.
【详解】要使最大，则数列的项要尽可能的小，注意到，，依此类推，，，
所以的最大值5.
故选：A
3．D
【分析】根据“冰雹猜想”结合递推关系可知数列是以3为周期的数列，结合周期性即可得结果.
【详解】由题意可得：,
可知数列是以3为周期的数列，
因为，所以，
故选：D.
4．B
【分析】根据等差数列的求和公式和等差数列的性质求值.
【详解】因为数列和均为等差数列，
所以.
故选：B
5．C
【分析】根据等差中项的性质，利用倒序相加法，可得答案.
【详解】由等差数列满足，
则对于，当时，，
则，
设，则，
两式相加可得，解得.
故选：C.
6．B
【分析】根据对奇数列的定义可得，化简可证明是以为首项，3为公比的等比数列，进而可得通项公式.
【详解】因为为“对奇数列”，则，即，
且，可知数列是以为首项，3为公比的等比数列，
所以.
故选：B.
7．C
【分析】先根据得到的递推关系式，然后构造一个等比数列写出的通项公式，再写出的通项公式即可判断各选项.
【详解】由，所以，可得.
因为，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，故不是等比数列，且，
所以当时，，
所以，故不是等比数列，且，
综上，ABD选项错误，C选项正确.
故选：C
8．C
【分析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出和的结论，对照即可求解.
【详解】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，
由于，左边；
时，左边，
比较两式，从而等式左边应添加的式子是．
故选：C
9．BD
【分析】根据数列的函数特性，利用单调性即可得出结论.
【详解】若数列是递增数列，则有，
而因为不是递增数列，
所以或，解得，故BD正确.
故选：BD
10．ACD
【分析】根据题设条件得到，即可判断选项A和B的正误，再求出时，，当时，，即可判断选项C和D的正误.
【详解】设等差数列的首项为，由题有，解得，所以选项A正确，选项B不正确，
又，
由，得到，由，得，由，得到，
所以是数列前项和的最小值，故选项CD正确，
故选：ACD.
11．ACD
【分析】首先根据递推公式，结合等比数列和等差数列的定义，即可判断AB，再利用累加法，判断C，最后根据通项公式求和，判断D.
【详解】A.由条件，可知，，
且，则，所以数列为等比数列，故A正确；
B.由条件可知，，，，，，数列的前3项2,5,14不能构成等差数列，
所以数列不是等差数列，故B错误；
C.由A可知，，所以时，，
，也适合，故C正确；
D.由C可知，，
所以，故D正确.
故选：ACD
12．
【分析】根据奇数项和偶数项的特征，根据分组求和得，即可得解.
【详解】由可知：
当为偶数时，，当为奇数时，，
所以，
即
，
由此解得.
故答案为：
13． 10 11
【分析】根据给定信息，利用等差数列前项和公式列出方程求解.
【详解】依题意，从后往前，每排人数依次排成一列，构成以20为首项，为公差的等差数列，
则，整理得，而，
所以，最前面一排的人数为.
故答案为：10；11
14．
【分析】利用与的关系求出数列的通项公式，再用裂项相消法求得，再根据不等式的恒成立问题以及函数的单调性与最值，求实数的取值范围.
【详解】由，，
，
，
则，
由函数在上单调递减，在上单调递增，
又时，，时，，
所以当时，取最小值的取值范围是.
故答案为：.
15．，
【分析】根据题意，利用项与和的关系求得，再利用求得；
【详解】①，
②，
①-②可得，也满足上式，
③．
数列的前项之积为当时，，
代入③可得，
．
16．(1)
(2)第项
【分析】（1）根据求通项即可；
（2）根据得到，然后列不等式求最大项即可.
【详解】（1）当时，，不满足上式，
当时，，
故数列的通项公式为.
（2）由已知得，
当时，，
则，即，
得， 即，
所以当，的最大项为第7项，
又，
所以数列的最大项是该数列的第项.
17．(1)选①②，答案均为；
(2)证明过程见解析
【分析】（1）选①，根据，得到，为首项和公差均为1的等差数列，得到，根据求出通项公式；选②，，求出为首项和公差均为1的等差数列，得到，根据求出通项公式；
（2）求出，求和得到，并作差得到，得到的最小值为，证明出结论.
【详解】（1）选①，，，
因为，
所以，
因为数列的各项均为正数，所以，，
所以，
又，，所以为首项和公差均为1的等差数列，
所以，，
所以当时，，当时，，
显然满足，
综上，；
选②，①，当时，，解得，
当时，，
故，
又因为数列的各项均为正数，所以，
故，即，
又，故为首项和公差均为1的等差数列，
所以，解得，
所以当时，，当时，，
显然满足，
综上，；
（2）由（1）知，，，
，
所以，
因为，
所以，
所以为递增数列，故的最小值为，
所以.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）首先求为奇数时的通项公式，再代入条件求为偶数时的通项公式；
（2）根据（1）的结果，讨论为奇数和偶数两种情况，求；
（3）首先求数列的通项公式，再结合条件，即可求解.
【详解】（1）由条件可知，，
当为偶数时，，所以数列的奇数项成公比为2的等比数列，
所以，所以为奇数时，，
当为偶数时，，
所以；
（2）当为偶数时，
；
当为奇数时，
，
；
，
所以；
（3），
所以当为奇数时，数列单调递减，当为偶数时，数列单调递减，
，，，，
若集合中恰好有3个元素，则.
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题干的条件求出，故，将数值代入即可求得结果.
（2）根据题干的条件求出，故，将数值代入即可求得结果.
（3）根据题干的条件求出，故，将数值代入得到，
再利用防缩法得，再利用分组求和即可证明结论.
【详解】（1）的特征方程为，解得.
所以的通项公式为.
由题意可得解得
所以的通项公式为.
（2）的特征方程为，解得.
所以的通项公式为.
由题意可得解得
所以的通项公式为.
（3）证明：的特征方程为，解得，
所以的通项公式为.
由题意可得解得
所以的通项公式为.
当时，，满足.
当时，.
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综上，.
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