第五章一元函数的导数及其应用检测卷（含解析）-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
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| 名称 | 第五章一元函数的导数及其应用检测卷（含解析）-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 962.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-22 22:15:19 | ||
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文档简介
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第五章一元函数的导数及其应用检测卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
一、单选题
1．已知函数在处可导，且，则（ ）
A． B． C． D．2
2．已知，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的两个极值点满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．设，则（ ）
A．的极大值为1 B．与有不同的极大值
C．时， D．时，
6．如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（ ）
A． B． C．1 D．2
7．已知函数及其导数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”，给出下列四个函数：
（1） （2） （3） （4）
其中有“巧值点”的函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．函数在上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．函数，则（ ）
A． B．在上单调递增
C．没有零点 D．最大值为2
10．下列函数求导正确的是（ ）
A．已知，则
B．已知，则
C．已知，则
D．已知，则
11．已知函数，其导函数为，则（ ）
A．有两个极值点
B．有三个互不相同的零点
C．方程有三个不同解，则实数的取值范围为
D．
三、填空题
12．已知函数，则的最小值为 ．
13．已知函数，若方程有三个相异的实根，则实数的取值范围为 .
14．已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列所有真命题序号为： ．
①在区间上严格增；②是的极小值点；
③在区间上严格增，在区间上严格减；④是的极小值点．
四、解答题
15．已知函数及其导函数满足.
(1)求的解析式；
(2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程.
16．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
17．已知函数，．
(1)当时，证明：在上是增函数；
(2)若，当时，
（i）证明：；
（ii）证明：，．
18．函数.
(1)若曲线在处的切线的方程为，求实数、的值；
(2)若，对任意且，不等式成立，求的最小值.
19．在研制飞机的自动着陆系统时，需要研究飞机的降落曲线.如图，一架水平飞行的飞机的着陆点为原点O，飞机降落曲线大致为，其中x（单位：m）表示飞机距离着陆点的水平距离，y（单位：m）表示飞机距离着陆点的竖直高度.假设飞机开始降落时的竖直高度为4500m，距离着陆点的水平距离为，飞机在整个降落过程中始终在同一个竖直平面内飞行，且飞机开始降落和落地时的降落曲线均与水平方向的直线相切.
(1)求降落曲线；
(2)若飞机开始降落时的水平速度150m/s，且在整个降落过程中水平速度保持不变，另外，基于安全考虑，飞机在降落过程中的竖直加速度（即y关于降落时间t（单位：s）的导函数的导数）的绝对值不超过，求开始下降点所能允许的最小值.
《第五章一元函数的导数及其应用检测卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B D D C C A ABC ABD
题号 11
答案 ACD
1．D
【分析】利用导数的定义即可求值.
【详解】由导数的定义知.
故选：D.
2．B
【分析】根据条件和复合函数的导数公式，求，以及，再根据到底几何意义写出切线方程.
【详解】令，则，得，
，，则，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故选：B
3．B
【分析】求导后令导数小于等于零，分离参数再由二次函数性质求解.
【详解】由得，
由函数单调递减可得恒成立，
因为，所以，所以，
所以实数的取值范围是.
故选：B
4．D
【分析】根据极值点为导函数零点，整理变形得，然后令代入后表示出，代入目标式转化为关于的函数，利用导数求最值即可.
【详解】由题知，的定义域为，，
因为有两个极值点，所以，则①，
令，因为，所以，
将代入①整理可得，
所以，
令，则，
设，则，
因为，所以，所以在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，
所以.
故选：D
5．D
【分析】通过对函数求导，即可判断函数的单调性，进而可判断其极大值，可得A错误；由可得的解析式，求导判断其单调性，进而可得极大值与相同，故B错误；根据函数的单调性，可判断C错误，D正确.
【详解】由，得，
令，解得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以是函数的极大值点，极大值为，故A错误；
由，得，得，
令，解得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以是函数的极大值点，极大值为，
与的极大值相同，故B错误；
当时，函数单调递增，
又时，，所以，
而时，，所以，故C错误；
当时，，所以，故D正确.
故选：D.
6．C
【分析】根据图像算出函数在点处的切线，即可求出其在处的函数值与导数取值。
【详解】由图象可得，切线过点和，切线斜率为，所以，
又因为切线方程为，则切点坐标为，有，
所以.
故选：C
7．C
【分析】根据题意利用“巧值点”的定义及方程解的情况判断即可.
【详解】（1）因为，不存在使得，没有巧值点；
（2）由，令，即，得或2，有巧值点；
（3）因为，如图，
由图象知有解，有巧值点；
（4）因为，满足，有巧值点.
所以有巧值点的函数有3个.
故选：C．
8．A
【分析】根据函数的奇偶性，求导确定单调性即可判断.
【详解】因为，所以，
所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除答案CD，
又，，
设，，则，.
所以在上为增函数，又，
所以在上恒成立，即在上单调递增，故排除B.
故选：A
9．ABC
【分析】根据导数运算法则求导函数可判断A正确，结合指数函数性质求解函数单调区间可判断B正确，结合函数单调性及最小值可知C正确，D错误.
【详解】的定义域为，因为，所以，故A正确；
令得，即，令得，即，
因此在单调递增，在单调递减，且，
因此没有零点，即BC正确，D错误.
故选：ABC
10．ABD
【分析】应用基本函数的导数公式及加法和乘法法则、复合函数的导数运算求各项函数的导函数.
【详解】对于A，已知，则，故正确；
对于B，已知，则，故正确；
对于C，已知，则，故错误；
对于D，已知，则，故正确．
故选：ABD
11．ACD
【分析】利用导数分析函数的单调性与极值点，可判断A选项；解方程可判断B选项；数形结合可判断C选项；直接验证，可判断D选项.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，，
由可得或，列表如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以，函数的递增区间为、，单调递减区间为，
所以，函数有两个极值点，A对；
对于B选项，由得或，
所以，只有两个不同的零点，B错；
对于C选项，由A选项可知，函数的极大值为，极小值为，
如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，
所以，若方程有三个不同解，则实数的取值范围为，C对；
对于D选项，由A选项可知，，
则，D对.
故选：ACD.
12．
【分析】利用导数求出函数的单调性，易知函数的极小值即为函数的最小值，代入数值即可得解.
【详解】由题意，
令得，得，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是，
所以函数的最小值为.
故答案为：.
13．
【分析】利用导数以及二次函数的性质，可得函数的单调区间，并作图，根据方程与函数的关系，可得答案.
【详解】当时，，求导可得，
令，解得，
当时，；当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，
易知函数在上单调递增，在上单调递减，
可作图如下：
由方程存在三个根，等价于直线与函数的图象存在三个交点，
则.
故答案为：.
14．
【分析】已知导函数的图象，结合图象可识别导数值的正负，从而判断函数的单调情况，由变号零点的先负后正或先正后负判断极小或极大值点即可得解.
【详解】当时，，此时，函数单调递减，①错误；
时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，
则是的极小值点，②正确；
时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，
则是的极大值点，③正确，④错误.
故答案为：
15．(1)；
(2).
【分析】（1）利用赋值法求出，，即可得到函数解析式；
（2）设切点为，利用导函数求出切线的斜率，根据直线的点斜式方程写出切线方程，通过切线过坐标原点，求得，即可得到切线方程.
【详解】（1）令，得即，
由求导可得，
令，可得，即.
所以，则.
（2）设切点为，因为，所以，
所以切线方程为.
因为切线恰好经过坐标原点，所以，解得.
所以切线方程为，即.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义即可得解；
（2）利用导数求得的最小值，从而得到关于的不等式，解之即可得解.
【详解】（1）当时，，，
故，.
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2），
因为，所以由，得，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，
因为恒成立，所以，解得，
所以实数的取值范围为.
17．(1)证明见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）求导后构造函数，再求导分析单调性和极值可得；
（2）（i）求导后分析单调性可得；
（ii）令，由对数的运算结合（i）可得，再运用累加法可得.
【详解】（1）当时，，，
所以，
设，则，
当时，有，所以在区间上单调递减，
当时，有，所以在区间上单调递增，
所以，即对任意的恒成立，
所以在为增函数．
（2）（i）因为，所以，，
，有，所以，
所以在单调递增，故，得证;
（ii）由（i）可知，，即
令，则，，
，
，
，
累加得．
得证.
18．(1)，
(2)12
【分析】（1）通过曲线在某一点的切线的相关知识直接求解；
（2）设，将原表达式化为，构造函数，根据为上的减函数，参变分离求解函数的最值即可.
【详解】（1）因为，
所以，
因为曲线在处的切线的方程为，
所以，
解得，
（2）因为，所以，
所以函数在上单调递增，
因为，不妨设，则
因为，
所以，
即恒成立，
设，
若，则是上的常函数，显然不成立，
若，则是上的减函数，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
又函数在上是增函数，所以（当且仅当时等号成立）．
综上，，即的最小值为
19．(1)
(2)米.
【分析】（1）对求导，，由解得即可.
（2）求得的解析式，设飞机降落时间为，则，代入函数解析式，求导，结合题意求出的最小值即可.
【详解】（1）由．求导则，
由题意可知，，即
解得，．
则降落曲线
（2）由（1）可知，，，
设飞机降落时间为，则，
则，，
，
，，
当或时，取最大值，故，
可得．
所以飞机开始下降时距离着陆点水平距离的最小值为米．
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一、单选题
1．已知函数在处可导，且，则（ ）
A． B． C． D．2
2．已知，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的两个极值点满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．设，则（ ）
A．的极大值为1 B．与有不同的极大值
C．时， D．时，
6．如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（ ）
A． B． C．1 D．2
7．已知函数及其导数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”，给出下列四个函数：
（1） （2） （3） （4）
其中有“巧值点”的函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．函数在上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．函数，则（ ）
A． B．在上单调递增
C．没有零点 D．最大值为2
10．下列函数求导正确的是（ ）
A．已知，则
B．已知，则
C．已知，则
D．已知，则
11．已知函数，其导函数为，则（ ）
A．有两个极值点
B．有三个互不相同的零点
C．方程有三个不同解，则实数的取值范围为
D．
三、填空题
12．已知函数，则的最小值为 ．
13．已知函数，若方程有三个相异的实根，则实数的取值范围为 .
14．已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列所有真命题序号为： ．
①在区间上严格增；②是的极小值点；
③在区间上严格增，在区间上严格减；④是的极小值点．
四、解答题
15．已知函数及其导函数满足.
(1)求的解析式；
(2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程.
16．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
17．已知函数，．
(1)当时，证明：在上是增函数；
(2)若，当时，
（i）证明：；
（ii）证明：，．
18．函数.
(1)若曲线在处的切线的方程为，求实数、的值；
(2)若，对任意且，不等式成立，求的最小值.
19．在研制飞机的自动着陆系统时，需要研究飞机的降落曲线.如图，一架水平飞行的飞机的着陆点为原点O，飞机降落曲线大致为，其中x（单位：m）表示飞机距离着陆点的水平距离，y（单位：m）表示飞机距离着陆点的竖直高度.假设飞机开始降落时的竖直高度为4500m，距离着陆点的水平距离为，飞机在整个降落过程中始终在同一个竖直平面内飞行，且飞机开始降落和落地时的降落曲线均与水平方向的直线相切.
(1)求降落曲线；
(2)若飞机开始降落时的水平速度150m/s，且在整个降落过程中水平速度保持不变，另外，基于安全考虑，飞机在降落过程中的竖直加速度（即y关于降落时间t（单位：s）的导函数的导数）的绝对值不超过，求开始下降点所能允许的最小值.
《第五章一元函数的导数及其应用检测卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B D D C C A ABC ABD
题号 11
答案 ACD
1．D
【分析】利用导数的定义即可求值.
【详解】由导数的定义知.
故选：D.
2．B
【分析】根据条件和复合函数的导数公式，求，以及，再根据到底几何意义写出切线方程.
【详解】令，则，得，
，，则，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故选：B
3．B
【分析】求导后令导数小于等于零，分离参数再由二次函数性质求解.
【详解】由得，
由函数单调递减可得恒成立，
因为，所以，所以，
所以实数的取值范围是.
故选：B
4．D
【分析】根据极值点为导函数零点，整理变形得，然后令代入后表示出，代入目标式转化为关于的函数，利用导数求最值即可.
【详解】由题知，的定义域为，，
因为有两个极值点，所以，则①，
令，因为，所以，
将代入①整理可得，
所以，
令，则，
设，则，
因为，所以，所以在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，
所以.
故选：D
5．D
【分析】通过对函数求导，即可判断函数的单调性，进而可判断其极大值，可得A错误；由可得的解析式，求导判断其单调性，进而可得极大值与相同，故B错误；根据函数的单调性，可判断C错误，D正确.
【详解】由，得，
令，解得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以是函数的极大值点，极大值为，故A错误；
由，得，得，
令，解得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以是函数的极大值点，极大值为，
与的极大值相同，故B错误；
当时，函数单调递增，
又时，，所以，
而时，，所以，故C错误；
当时，，所以，故D正确.
故选：D.
6．C
【分析】根据图像算出函数在点处的切线，即可求出其在处的函数值与导数取值。
【详解】由图象可得，切线过点和，切线斜率为，所以，
又因为切线方程为，则切点坐标为，有，
所以.
故选：C
7．C
【分析】根据题意利用“巧值点”的定义及方程解的情况判断即可.
【详解】（1）因为，不存在使得，没有巧值点；
（2）由，令，即，得或2，有巧值点；
（3）因为，如图，
由图象知有解，有巧值点；
（4）因为，满足，有巧值点.
所以有巧值点的函数有3个.
故选：C．
8．A
【分析】根据函数的奇偶性，求导确定单调性即可判断.
【详解】因为，所以，
所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除答案CD，
又，，
设，，则，.
所以在上为增函数，又，
所以在上恒成立，即在上单调递增，故排除B.
故选：A
9．ABC
【分析】根据导数运算法则求导函数可判断A正确，结合指数函数性质求解函数单调区间可判断B正确，结合函数单调性及最小值可知C正确，D错误.
【详解】的定义域为，因为，所以，故A正确；
令得，即，令得，即，
因此在单调递增，在单调递减，且，
因此没有零点，即BC正确，D错误.
故选：ABC
10．ABD
【分析】应用基本函数的导数公式及加法和乘法法则、复合函数的导数运算求各项函数的导函数.
【详解】对于A，已知，则，故正确；
对于B，已知，则，故正确；
对于C，已知，则，故错误；
对于D，已知，则，故正确．
故选：ABD
11．ACD
【分析】利用导数分析函数的单调性与极值点，可判断A选项；解方程可判断B选项；数形结合可判断C选项；直接验证，可判断D选项.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，，
由可得或，列表如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以，函数的递增区间为、，单调递减区间为，
所以，函数有两个极值点，A对；
对于B选项，由得或，
所以，只有两个不同的零点，B错；
对于C选项，由A选项可知，函数的极大值为，极小值为，
如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，
所以，若方程有三个不同解，则实数的取值范围为，C对；
对于D选项，由A选项可知，，
则，D对.
故选：ACD.
12．
【分析】利用导数求出函数的单调性，易知函数的极小值即为函数的最小值，代入数值即可得解.
【详解】由题意，
令得，得，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是，
所以函数的最小值为.
故答案为：.
13．
【分析】利用导数以及二次函数的性质，可得函数的单调区间，并作图，根据方程与函数的关系，可得答案.
【详解】当时，，求导可得，
令，解得，
当时，；当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，
易知函数在上单调递增，在上单调递减，
可作图如下：
由方程存在三个根，等价于直线与函数的图象存在三个交点，
则.
故答案为：.
14．
【分析】已知导函数的图象，结合图象可识别导数值的正负，从而判断函数的单调情况，由变号零点的先负后正或先正后负判断极小或极大值点即可得解.
【详解】当时，，此时，函数单调递减，①错误；
时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，
则是的极小值点，②正确；
时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，
则是的极大值点，③正确，④错误.
故答案为：
15．(1)；
(2).
【分析】（1）利用赋值法求出，，即可得到函数解析式；
（2）设切点为，利用导函数求出切线的斜率，根据直线的点斜式方程写出切线方程，通过切线过坐标原点，求得，即可得到切线方程.
【详解】（1）令，得即，
由求导可得，
令，可得，即.
所以，则.
（2）设切点为，因为，所以，
所以切线方程为.
因为切线恰好经过坐标原点，所以，解得.
所以切线方程为，即.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义即可得解；
（2）利用导数求得的最小值，从而得到关于的不等式，解之即可得解.
【详解】（1）当时，，，
故，.
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2），
因为，所以由，得，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，
因为恒成立，所以，解得，
所以实数的取值范围为.
17．(1)证明见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）求导后构造函数，再求导分析单调性和极值可得；
（2）（i）求导后分析单调性可得；
（ii）令，由对数的运算结合（i）可得，再运用累加法可得.
【详解】（1）当时，，，
所以，
设，则，
当时，有，所以在区间上单调递减，
当时，有，所以在区间上单调递增，
所以，即对任意的恒成立，
所以在为增函数．
（2）（i）因为，所以，，
，有，所以，
所以在单调递增，故，得证;
（ii）由（i）可知，，即
令，则，，
，
，
，
累加得．
得证.
18．(1)，
(2)12
【分析】（1）通过曲线在某一点的切线的相关知识直接求解；
（2）设，将原表达式化为，构造函数，根据为上的减函数，参变分离求解函数的最值即可.
【详解】（1）因为，
所以，
因为曲线在处的切线的方程为，
所以，
解得，
（2）因为，所以，
所以函数在上单调递增，
因为，不妨设，则
因为，
所以，
即恒成立，
设，
若，则是上的常函数，显然不成立，
若，则是上的减函数，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
又函数在上是增函数，所以（当且仅当时等号成立）．
综上，，即的最小值为
19．(1)
(2)米.
【分析】（1）对求导，，由解得即可.
（2）求得的解析式，设飞机降落时间为，则，代入函数解析式，求导，结合题意求出的最小值即可.
【详解】（1）由．求导则，
由题意可知，，即
解得，．
则降落曲线
（2）由（1）可知，，，
设飞机降落时间为，则，
则，，
，
，，
当或时，取最大值，故，
可得．
所以飞机开始下降时距离着陆点水平距离的最小值为米．
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