浙江省杭州第四中学2024-2025学年高二下学期数学4月强化检测试卷（PDF版，含答案）

杭州第四中学高二年级数学强化试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题
卡上。用 2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答
案无效。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．
1. 已知集合A= x∈R∣2a-1( )
A. - 2 B. 0 C. 1 D. 1或-2
2. 已知 z1= 1+
z
i，z = a22 + 4ai，若 1z ∈R，则实数 a的值为 ( )2
A. - 4 B. 0 C. - 4或 0 D. 4
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 acosC，bcosB，cosA成等差数列，且 a+ c= 8，则
AC边上中线长的最小值是 ( )
A. 2 B. 4 C. 2 D. 4

4. 已知单位向量 e1与 e2的夹角为 60°，则 2e1+ e2与 e1- 3e2的夹角为 ( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
5.在四面体ABCD中，BC= 2,∠ABC=∠BCD= 90°，且AB与CD所成的角为 60°.若该四面体ABCD的
3 3
体积为 2 ，则它的外接球半径的最小值为 ( )
A. 3 B. 2 C. 3 D. 10
6.已知定义在 (0, +∞)上的函数 f(x)满足 f xy = yf(x) - xf(y)，且当 x> 1时，f(x)> 0，则 ( )
A. f(x2)≥ 2f(x) B. f(x3)f(x)≥ f2(x2) C. f(x2)≤ 2f(x) D. f(x3)f(x)≤ f2(x2)
7. f x = sin ωx+φ (ω> 0 φ∈R 5π , 2π f π + f 5π函数 且 在 18 3 上单调，且 3 9 = 0 f x
2π
，若 在 9 ,π
上恰有 2个零点，则ω的取值最准确的范围是 ( )
A. 27 , 63 13 26 B.
9
5 ,
9 C. 9 , 18 9 18 4 5 5 D. 4 , 7
8. 已知指数函数 f x = ax，若 f f x = x有且只有两个不等根，则 a的取值范围是 ( )
1 1
A. 0,e-e B. e-e,1 C. 1,e e D. e e ,+∞
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二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．
9. 已知点Q 4,2 ，直线 l:ax+ by+ c= 0，其中 b是 a,c的等差中项，过点P -5,6 作直线 l的垂线，垂足为
H，则 ( )
A. 直线 l过定点 B. PH的最大值为 10 C. QH的最小值为 2 D. QH的最大值为 11
10.下列说法正确的是 ( )
A. 一组样本数据 x1，x2， ，xn 平均数等于 x1+ 1，x2+ 1， ，xn+ 1的平均数
B. 样本数据 1，1，1，0，2的标准差大于方差
C. 若随机变量 ξ 2服从二项分布 ξ B 9, 3 ，则D ξ = 2
D. 若随机变量 ξ服从正态分布 ξ N 2,δ2 ，且P ξ≥4 = 0.21，则P ξ>0 = 0.79
11.如果一个人爬台阶的方式只有两种，在台阶底部 (第 0级)从下往上走，一次上一级台阶或一次上两级台
阶，设爬上n级台阶的方法数为 an，则下列结论正确的有 ( )
A. 若用 7步走完了 10级台阶，则不同的走法有 35种．
10
B. ai= 231
i=1
C. a2025是偶数
D. a2 21+ a2+ +a22024= a2024a2025- 1
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. 已知一组数据 233，144，89，55，34，21，13，8，5，3，2，1，则它们的上四分位数为 ． (用具体数
值作答)
x2 y213. 已知椭圆C: 2 + 2 = 1(a> b> 0)的右焦点为F,M是OF的中点，若椭圆C上到点M的距离最小的a b
点有且仅有一个，则椭圆C的离心率的取值范围为 .
14. 已知 f(x) = lnx- ax，g x = ex- ax，若对任意 x1∈ (0, +∞)，都存在 x2∈ (0, +∞)，使得 f(x1)g(x2) =
x1x2，则实数 a的取值范围为 .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.如图，已知在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，在四边形ABCD中，∠ABC= 90°,AB∥CD,AB
= 2,BC= 2,CD= 4，点A在平面PCD内的射影恰好是△PCD的重心G.
(1)证明：BC∥平面PAG；
(2)求直线DG与平面PBC所成角的正弦值.
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x2 y216.已知椭圆C1: 2 + 2 = 1(a> b> 0)的离心率 e=
3
2 ，且过点 2, 3 ，直线 l1:y= kx+m(m> 0)与圆a b
C2:(x- 1)2+ y2= 1相切且与椭圆C1交于A,B两点．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)过原点O作 l1 平行线 l2交椭圆于C,D两点，若 AB = λ CD ，求 λ的最小值．
17.某学校数学小组建立了如下的数学模型：将一个小盒里放入 6个小球，其中 4个黑球，2个红球.模型一
为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则放回小盒并再往小盒里加入 2个红球；模
型二为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中.
(1)分别计算在两种模型下，抽两次球，第二次取到的球是红球的概率；
(2)在模型二的前提下：
①求在第n n≥2 次抽球时，抽到的球恰好是第二个红球的概率 (结果用n表示).
②现规定当两个红球都被抽出来时停止抽球，且最多抽球 10次，第 10次抽球结束后无论盒中是否还有
红球均停止抽球，记抽球的次数为X，求X的数学期望.
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18.设函数 f x = cosx+ ax2- 1.
(1)当 a= 12 时，证明：f x ≥ 0； (2)若 f x 在 x∈ 0,+∞ 上为增函数，求 a的取值范围；
n
(3) 1 2n
2
> -n证明： .
i=1 itan 1 2n+1i
19. 对于正整数m，n，存在唯一的自然数 a，b，使得m= an+ b，其中 a∈N ,0≤ bM i,3n -M i,3n-1(m,n),b=M (m,n)．对任意正整数 i，定义 i的生成数列为 T(i) n ，其中T(i)n= n-1 ．3
(1)求D(2024,9)和M (2024,9)．
(2)求 T(100)n 的前 3项．
(3)存在n0，使得T(i)n ≠ 0，且对任意n>n0,T(i)n= 0成立．考虑T(i)n 的值：当T(i)n = 1时，定义数列0 0 0
T(i)n 的变换数列 T (i)n 的通项公式为T (i) = 2,n=n0,n ( ) , ≠ . 当T(i)n = 2时，定义数列 T(i)n 的变T i n n n 00
1,n=n0+1,
换数列 T (i)n 的通项公式为T i n= T i n-1,1n0+1.
义函数 f(i) = j，其中函数 f(i)的定义域为正整数集．
(ⅰ)求证：函数 f(i)是增函数．
(ⅱ)求证：f( f(i)) = 3i．
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参考答案
1. A 2. D 3. C． 4. C 5. B
x
6.已知定义在 (0, +∞)上的函数 f(x)满足 f y = yf(x) - xf(y)，且当x> 1时，f(x)> 0，则 ( )
A. f(x2)≥ 2f(x) B. f(x3)f(x)≥ f2(x2)
C . f(x2)≤ 2f(x) D. f(x3)f(x)≤ f2(x2)
【答案】D
【解析】
【分析】应用赋值法构造出 f(x),f(x2),f(x3)的等量关系，再结合不等式性质判断即可.
【详解】由题意，x> 0,y> 0 f x， y = yf(x) - xf(y).
1
赋值x= y= 1，得 f(1) = f 1 = 1 f(1) - 1 f(1) = 0；
赋值x= 1，得 f 1y = yf(1) - 1 f(y) =-f(y)，即 f
1
x =-f(x)，
当x> 1时，f(x)> 0，
当 0< x< 1 1时，则 x > 1，所以 f
1
x =-f(x)> 0，即 f(x)< 0；
y2
赋值x= y2 1，得 f y = f(y) = yf y2 - y2 f(y)，解得 f(y2) = y+ y f(y)，
即 f(x2) = x+ 1x f(x)；
1
AC项，由 f(x2) = x+ x f(x)，x> 0，
得 f x2 - 2f(x) = x+ 1x -2 f(x)，
1
其中由x> 0，可知x+ x - 2≥ 2 x
1
x - 2= 0，
当x> 1时，f(x)> 0, x+ 1x -2 f(x)≥ 0，即 f x2 ≥ 2f(x)；
当 0< x< 1时，f(x)< 0, x+ 1x -2 f(x)≤ 0，即 f x2 ≤ 2f(x)；故AC错误；
1 x2
BD项，x= x2,y= x ，得 f

1 = f(x
3) = 1 f(x2) - x2 f 1 1x x = x f(x2) + x2 f(x)；
x
又 f(x2) = x+ 1x f(x) f(x3) =
1 f(x2) + x2 f(x) = 1+ 1，所以 x 2 +x2 f(x)，x
则 f x3 f x - f2 x2 = 1+ 1 2 +x2 f2 x2 1 - x2+ 2 +2 f2 x =-f2 x ≤ 0，x x
故 f(x3)f(x)≤ f2(x2)，且 f(x)不恒为 0，故B错误，D正确.
故选：D.
7. B
8. C
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【解析】
【分析】由 f f x = x可得ax= logax，由互为反函数函数图象关系可得ax= x有两解，
即 lna= lnx lnxx 有两个根，最后由函数 y= x 图象与直线 y= a有两个交点可得答案.
【详解】由题意得 f f x = x aax = x，即方程ax= logax有两个不等根，
函数 y= ax与 y= logax图象有两个不同交点，
∵ y= ax与 y= logax互为反函数，则两函数图象关于 y= x对称，
则 y= ax与 y= logax图象的交点都分布在直线 y= x上，∴问题等价于 y= ax与 y= x有两个不同交
点，即ax= x xlna= lnx lna= lnxx 有两根，
y= lnx即函数 x 图象与直线 y= lna有两个交点.
设 g x lnx = ，则 g x = 1-lnx ，令 g x 2 x > 0 0< x< e；g
x 0 x e，
x
则 g x 在 0,e 上单调递增，在 e,+∞ 上单调递减，g 1 x max= g e = e .
又 g 1 = 0，x→ 0，g x →-∞，x→+∞，g x → 0，
g x y= lnx可得 大致图象如下，则要使 x 图象与直线 y= lna有两个交点，
1
需满足 0< lna< 1e a∈ 1,e
e .
故选：C
9. ABD 10. BCD
11. ABD
【解析】
【分析】A选项，分析得到用 7步走完了 10级台阶完成的方法，由组合数求得总的走法；通过对题意得分析得
到a1= 1,a2= 2，an+2= an+ an+1.从而可得写出ak,k≤ 0，然后计算后判断B选项；由数论可知这个数列
中连续三项中奇数和偶数的个数，由前三项得到其规律，然后判断C选项中的结论；由 an+1= an+2- an得
到a2n+1= an+1 an+2-an ，由此即可算出结果判断D选项.
【详解】A选项：∵ 10= 1+ 1+ 1+ 1+ 2+ 2+ 2，即要想用 7步走完了 10级台阶，其中有 4次选择一次上
7×6×5
一级台阶，3次选择一次上两级台阶，故共有C37= 3×2×1 = 35种走法，A选项正确；
根据题意，爬上第n+ 2个台阶有两种可能，
一种 从第n+ 1个台阶上一次上 1个台阶爬上来，有an+1种方式；
一种是从第n个台阶上一次上 2个台阶爬上来，有an种方式，
∴an+2= an+ an+1，且a1= 1,a2= 2，
∴a3= 3，a4= 5，a5= 8，a6= 13，a7= 21，a8= 34，a9= 55，a10= 89.
10
B选项： ai= 1+ 2+ 3+ 5+ 8+ 13+ 21+ 34+ 55+ 89= 231，B选项正确；
i=1
C选项：由数论可知an+2= an+ an+1中存在两个奇数一个偶数，由前三项可知a3k+1和a3k为奇数，a3k+2为
偶数 (k∈ Z )，∵ a2025= a3×675，∴ a2025是奇数，C选项错误；
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D选项：∵an+1= an+2- an，∴a2n+1= an+1 an+2-an ，
即a2 2 2 21+ a2+ +a2024= a1+ a2 a3-a1 + a3 a4-a2 + +a2024 a2025-a2023
= a21+ a2a3- a2a1+ a3a4- a3a2+ +a2024a2025- a2024a2023
= a21- a2a1+ a2024a2025= a2024a2025- 1，D选项正确.
故选：ABD.
12. 72
x2 y2
13.已知椭圆C: 2 +a b2
= 1(a> b> 0)的右焦点为F,M是OF的中点，若椭圆C上到点M的距离最
小的点有且仅有一个，则椭圆C的离心率的取值范围为 .
1
【答案】 0, 2
c
【分析】根据题意，结合椭圆的对称性得到右顶点 (a,0)到M 2 ,0 的距离最小，再利用两点距离公式与二
a2
次函数的性质得到a≤ 2c ，从而得解.
x2 y2
【详解】因为椭圆C: 2 + 2 = 1(a> b> 0)的右焦点 F(c,0)，a b
而M是OF c的中点，则M 2 ,0
因为椭圆C上到点M的距离最小的点有且仅有一个，
又无论该点是在轴上方还是下方，由于椭圆的对称性都会有 2个最小点，
而左右顶点中，右顶点更靠近点M，
c
所以右顶点 (a,0)到M 2 ,0 的距离最小，
设Q(x,y)是椭圆上的点，x∈ [-a,a]，
2 2 2 2 2
|MQ|2= x- c2 + y2= x2- cx+
c + b2- b x2= c x2- cx+ c4 2 2 4 + b
2，
a a
c2 c2 2
对于 y= x2- cx+ + b2 a2 4 ，其开口向上，对称轴为x=a 2c
，定义域为 x∈ [-a,a]，
c2 c2
要使 y= 2 x
2- cx+ 4 + b
2在x= a处取得最小值，
a
c2 c2
则 y= 2 x
2- cx+ 4 + b
2在 [-a,a]上单调递减，
a
a2 c 1
所以a≤ 2c ，即 2c≤ a，则 e= a ≤ 2 ，
1
又 e> 0，所以 e∈ 0, 2 .
故答案为： 0, 1 2 .
14.已知 f(x) = lnx- ax，g x = ex- ax，若对任意 x1∈ (0, +∞)，都存在x2∈ (0, +∞)，使得 f(x1)g(x2)
= x1x2，则实数 a的取值范围为________.
【答案】 e+
1
e ,+∞
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【解析】
f(x )
【分析】由 f(x1)g(x2) = x x 11 2得 x =
1
( ) .设F(x) =
f(x) g(x)
x ，G(x) = x ，求导，分析函数单调性，1 g x2
x2
求两个函数的值域，再根据函数值域的包含关系求a的取值范围.
【详解】由 f(x1)g( ) =
f(x1)x x x 12 1 2得 x =1 g(
，
x2)
x2
( ) = f(x)F x = lnx设 x x - a，x∈ (0, +∞)，则F
(x) = 1-lnx ，
x2
当 0< x< e时，F (x)> 0，则 F(x)在 (0,e)上单调递增；
当x> e时，F (x)< 0，则 F(x)在 (e, +∞)上单调递减；
所以F(x)max=F(e) = 1e - a.
且当x→ 0时，F(x) →-∞；当 x→+∞时，F x →-a，
1
故 F(x)的值域为 -∞, e -a ；
g(x) ex ex(x-1)
设G(x) = = - a，x∈ (0, +∞)，则G x x (x) = x2
，
当 0< x< 1时，G (x)< 0，则G(x)在 (0,1)上单调递减；
当x> 1时，G (x)> 0，则G(x)在 (1, +∞)上单调递增；
所以G(x)min=G(l) = e- a，
且当x→ 0时，G(x) →+∞；当 x→+∞时，G(x) →+∞，
故G(x)的值域为 [e- a, +∞)；
依题意，F(x)的值域是 1( ) 的值域的子集.G x
1
显然a≠ e，若a< e，则 1( ) 的值域为 0, G x e-a ，不合题意，舍去；
若a> e，则 1( ) 的值域 -∞,
1
e-a ∪ (0, +∞)，G x
1 1 a>e 1
则需 F(x)的值域 -∞, -a e -∞, e-a ∪ (0, +∞)，则 1e -a≤ 1 ，解得a≥ e+e-a e .
1
综上，实数 a的取值范围为 e+ e ,+∞ .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
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15．如图，已知在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，在四边形ABCD中，∠ABC= 90°,AB∥
CD,AB= 2,BC= 2,CD= 4，点A在平面PCD内的射影恰好是△PCD的重心G.
(1)证明：BC∥平面PAG；
(2)求直线DG与平面PBC所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
( ) 2 22 3 .
【解析】
【分析】(1)连接PG，延长交CD于点E，由重心性质易证BC AE，即可求证；
(2)建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解；
【小问 1详解】
证明：连接PG，延长交CD于点E，如图，
∵G为△PCD的重心，则E为边CD的中点，
又∵AB CD,AB= 2,CD= 4，
故AB∥CE,AB=CE，
则四边形ABCE为平行四边形，
则BC∥AE，
∵BC 平面PAG,AE 平面PAG，
∴BC∥平面PAG
【小问 2详解】
解：∵∠ABC= 90°，则AB⊥BC，
又∵BC∥AE,PA⊥平面ABCD，
则PA,AB,AE两量垂直，
如图建立空间直角坐标系A- xyz，
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则A 0,0,0 ,B 2,0,0 ,C 2,2,0 ,D -2,2,0 ,E 0,2,0 ,P 0,0,m m>0 ，
2
∵G为△PCD的重心，则PG= 3 PE，
故G 0, 43 ,
m
3 ，

DG= 2,- 2 m

则 3 , 3 ,AG= 0,
4 m
3 , 3 ,PB= 2,0,-m ,BC = 0,2,0 ，
∵A在平面PCD内的射影恰好是△PCD的重心G，则AG⊥平面PCD，
8 m2∴AG DG= 0- 9 + 9 = 0，则m= 2 2，
∴PB= 2,0,-2 2 ,BC = 0,2,0 ，
设平面PBC 的法向量为n= x,y,z ，

P

B n=0, 2y=0,即 令 z= 1，得n = 2,0,1 ，
BC n =0, 2x-2 2z=0,
设直线DG与平面PBC所成角为θ，

8 2 n DG
则 sinθ= cos n,DG = =
3 = 2 2 ，
n DG 33× 489
∴直线DG 2 2与平面PBC所成角的正弦值为 3 .
x2 y2 3
16．已知椭圆C1: 2 + 2 = 1(a> b> 0)的离心率 e= 2 ，且过点 2, 3 ，直线 l1:y= kx+m(ma b
> 0)与圆C2:(x- 1)2+ y2= 1相切且与椭圆C1交于A,B两点．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)过原点O作 l1 平行线 l2交椭圆于C,D两点，若 AB = λ CD ，求 λ的最小值．
2 y2
【答案】( x1) 16 + 4 = 1
(2) 63
【解析】
【分析】(1)由题意列出关于a，b，c的方程组，求解出a，b，即可求解.
( ) 1-m
2
2 先根据直线 l1与圆C2相切得出k= 2m ；再根据直线 l1与椭圆C1交于A,B两点，联立方程组，利用韦
AB = 1+k2 4 16k
2-m2+4
达定理和弦长公式得出 2 ；最后根据题意分析得出 l2:y= kx，代入椭圆1+4k
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C CD = 1+k2 81方程求出 ，进一步化简变形即可求解出 λ的最小值.
1+4k2
【小问 1详解】
x2 y2
因为椭圆C1: 2 + 2 = 1(a> b> 0)
3
的离心率 e= 2 ，且过点 2, 3 ，a b
e= c = 3
a 2
a2=b2+c2 a=4所以 ，解得 = ， 2 3 2 b 2
2 2 + =1a b2
2 y2
故C x1的方程为 16 + 4 = 1．
【小问 2详解】
由圆C :(x- 1)2+ y22 = 1可得：圆心C2 1,0 ，半径 r= 1.
因为直线 l1:y= kx+m(m> 0)与圆C2:(x- 1)2+ y2= 1相切，
k+m = 1 1-m
2
所以 ，解得k= .
k2+1 2m
设A x1,y1 ，B x2,y2 ，
y=kx+m
联立直线 l1与椭圆C1的方程 x2 y2 ，整理得： 1+4k2 x2+ 8kmx+ 4m2- 16= 0.16 + 4 =1
Δ= 8km 2 -4 1+4k2 4m
2-16 >0
x +x =- 8km
由题意得： 1 2 1+4k2 ，
2
x x
4m -16
1 2= 1+4k2
2 2
则 x -x = x 2 4 16k -m +41 2 1+x2 -4x1x2= ，1+4k2
2 2
所以 AB = 1+k2 x1-x2 = 1+k2 4 16k -m +42 .1+4k
因为 AB = λ CD ，
所以要使 λ取最小值，须 CD 最大，此时直线 l2过坐标原点，直线 l2的方程为 y= kx.
2 y2
把 l2:y= kx C : x代入 + = 1，得：x2= 161 16 4 1+4k2
，
所以 CD = 1+k2 2x = 1+k2 8 ，
1+4k2
AB 2 2
所以 λ= = 16k -m +4
CD 2 1+4k2
= 1
2
2 4-
m .
1+4k2
1-m2
将k= 2m 代入上式得：
数学试题 第 11 页 共 16 页
λ= 1
2
2 4-
m
2 2
1+4 1-m2m
= 1
4
2 4-
m
m4-m2+1
= 12 4-
1 ≥ 62 ，
1 - 1 + 3 3m2 2 4
1 1
当且仅当 2 - 2 = 0，即m= 2时等号成立，此时 λ取最小值
6
3 .m
17．某学校数学小组建立了如下的数学模型：将一个小盒里放入 6个小球，其中 4个黑球，2个红球.模型一
为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则放回小盒并再往小盒里加入 2个红球；模型二
为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中.
(1)分别计算在两种模型下，抽两次球，第二次取到的球是红球的概率；
(2)在模型二的前提下：
①求在第n n≥2 次抽球时，抽到的球恰好是第二个红球的概率 (结果用n表示).
②现规定当两个红球都被抽出来时停止抽球，且最多抽球 10次，第 10次抽球结束后无论盒中是否还有红球
均停止抽球，记抽球的次数为X，求X的数学期望.
【答案】(1) 7 518 , 18 ；
( ) 1
n-1 n-1 9 9
2 ① 3
5
6 -
2
3 9- 10×
5
；② 6 + 2×
2
3
【解析】
【分析】(1)分为取到“黑红”和“红红”两种情况，分别对两种模型第二次取到的球是红球的概率进行计算即
可；
(2)①先算出第k k则第n次恰好抽到第二个红球的概率为Pk中k从 1到n- 1取值累加求和；
②利用数学期望的定义和①中的概率公式可得到E X 的表达式，再利用错位相减法计算得出期望值.
【详解】(1)记在模型一下，第二次取到红球的概率为P1，则分为取到“黑红”和“红红”两种情况，
4 1 2 4
则P1= 6 × 3 + 6 × 8 =
7
18 ；
记在模型二下，取到红球的概率为P2，同样分为取到“黑红”和“红红”两种情况，
P 4 1 2 1 5则 2= 6 × 3 + 6 × 6 = 18 ；
(2)①设第k kP = 2
k-1
× 1
n-k-1
则 k 3 3 ×
5
6 ×
1
6 ，
则第n次恰好抽到第二个红球的概率P为Pk中k从 1到n- 1取值累加求和，即
2 0 1 5 n-2 1 n-3 2 n-4P= 3 × 3 × 6 ×
1
6 +
2 1 5 1 2 1 5 1
3 × 3 × 6 × 6 + 3 × 3 × 6 × 6 +
+ 2
n-2
3 ×
1
3 ×
1
6 ，
利用等比数列求和公式即可得
数学试题 第 12 页 共 16 页
1 1 2 0 5 n-2 2 1 5 n-3 2 n-4 n-2 0P= 3 × 6 × 3 × 6 + 3 × 6 +
2
3 ×
5 2
6 + + 3 ×
5
6
5 n-2 2 6 n-1
1 1 6 1- 3 × = × × 5
5 5 n-2 n-1 n-2
3 6 2 6 = 18 × 6 × 1-
4 = 1 × 5 × 5 ×
1- 5 3 6 63 × 5

n-1
1- 45
1 5 n-1 4 n-1= × × 1- = 1 5
n-1 2 n-1
3 6 5 3 6 - 3 ；
②由题可知，X的取值依次为 2,3 ,9,10，
当X= 10时，P X=10 = 1- P X=2 +P X=3 + +P X=9 ，
由数学期望的定义和①中的概率公式可知，
E X = 2×P X=2 + 3×P X=3 + +9×P X=9 + 10×
1- P X=2 +P X=3 + +P X=9
= 10- 8×P X=2 +7×P X=3 + +1×P X=9
1 2 8 1 2 8
= 10- 1 × 3 8×
5 +7× 5 + +1× 5 1 2 2 2 6 6 6 + 3 × 8× 3 +7× 3 + +1× 3 ，
1 5 n 1 2 n
设an= 3 × -n+9 × 6 ,bn= 3 × -n+9 × 3 ,n= 1,2, ,8，
5 9 2 9
由错位相减法可得a1+ a2+ +a8= 5+ 10× 6 ,b1+ b2+ +b8= 4+ 2× 3 ，
5 9 2 9 5 9 2 9
所以E X = 10- 5+10× 6 + 4+2× 3 = 9- 10× 6 + 2× 3 .
18．设函数 f x = cosx+ ax2- 1.
(1)当a= 12 时，证明：f x ≥ 0；
(2)若 f x 在x∈ 0,+∞ 上为增函数，求 a的取值范围；
n
( ) 1 2n
2-n
3 证明： > .
i=1 itan 1 2n+1i
【小问 1详解】
a= 1当 2 时，f x = cosx+
1
2 x
2- 1.
因为 f x 是偶函数，先证当x∈ 0,+∞ 时，f x ≥ 0.
由 f x =-sinx+ x，设m x = f x =-sinx+ x，所以m x =-cosx+ 1≥ 0，
所以 f x 在 0,+∞ 上单调递增，所以 f x ≥ f 0 = 0，
所以 f x 在 0,+∞ 上单调递增，所以 f x ≥ f 0 = 0.
因为 f x 是偶函数，所以当x∈ -∞,0 时，-x∈ 0,+∞ ，f x = f -x ≥ 0.
综上，f x ≥ 0.
【小问 2详解】
由 f x = cosx+ ax2- 1，得 f x =-sinx+ 2ax.
因为 f x 在 0,+∞ 上为增函数，所以 f x ≥ 0对x∈ 0,+∞ 恒成立.
数学试题 第 13 页 共 16 页
①当x= 0时，f x ≥ 0恒成立，此时a∈R；
②当x> 0 sinx时，即 2a≥ x 对x∈ 0,+∞ 恒成立.
令 g x = x- sinx，x> 0.
( sinx由 1)知 g x 在 0,+∞ 单调递增，所以 g x > g 0 = 0，即x- sinx> 0，所以 x < 1，
所以 2a≥ 1 1 1，解得a≥ 2 ，即 a的取值范围为

2 ,+∞ .
【小问 3详解】
由 ( ) 1 1 11 可知，当a= 2 ，x∈ 0,+∞ 时，cosx+ x
2
2 - 1≥ 0，即 cosx≥ 1-
2
2 x ，
当且仅当x= 0时，等号成立.
令x= 1 * 1n ，n∈N ，则 cos n > 1-
1
2n2
，
即 cos 1 1 2 2 1 1n > 1- 2n2
= 1- 2 > 1- = 1- - .4n 4n2-1 2n-1 2n+1
由 (2)可得，当x> 0时，x> sinx.
因 为 0 < 1 1 1n ≤ 1 ，所 以 n > sin n = cos
1
n tan
1 1 1
n ，即 > cos > 1 -n tan 1 nn
12n-1 -
1
2n+1 .
n
1 > 1- 1 1 1 1 1 1所以
i=1 itan 1 1
- 3 + 1- 3 - 5 + +1- 2n-1 - 2n+1
i
=n- 11 -
1 1 1 1 1 2n
3 + 3 - 5 + + 2n-1 - 2n+1 =n- 2n+1 .
n 1 2n2-n
所以
i=1 itan 1
> 2n+1 .
i
19.对于正整数m，n，存在唯一的自然数 a，b，使得m= an+ b，其中a∈N ,0≤ bM i,3n -M i,3n-1
=D(m,n),b=M (m,n)．对任意正整数 i，定义 i的生成数列为 T(i)n ，其中T(i)n= n-1 ．3
(1)求D(2024,9)和M (2024,9)．
(2)求 T(100)n 的前 3项．
(3)存在n0，使得T(i)n ≠ 0，且对任意 n>n0,T(i)n= 0成立．考虑T(i)n 的值：当 T(i)n = 1时，定义数列 T(i)0 0 0 n
的变换数列 T (i) 的通项公式为T 2,n=n0,n (i)n= ( ) , ≠ 当T(i)n = 2时，定义数列 T(i)n 的变换数T i n n n0. 0
1,n=n0+1,
列 T (i)n 的通项公式为T i n= T i n-1,1n0+1.
义函数 f(i) = j，其中函数 f(i)的定义域为正整数集．
(ⅰ)求证：函数 f(i)是增函数．
(ⅱ)求证：f( f(i)) = 3i．
数学试题 第 14 页 共 16 页
【小问 1详解】
2024= 224× 9+ 8，所以D(2024,9) = 224,M (2024,9) = 8．
【小问 2详解】
( ) = M (100,3)-M (100,1)T 100 1 1 = 1，
( ) = M (100,9)-M (100,3)T 100 2 3 = 0，
( ) = M (100,3)-M (100,1) = , ( M (100,9)-M (100,3) M (100,27)-M (100,9)T 100 1 1 1 T 100)2= 3 = 0,T(100)3= 9 = 2．
【小问 3详解】
(ⅰ)对任意正整数 i，总有M (i,1) = 0，且一定存 n n0-10，使得 3 > i，
此时有M i,3n0 =M i,3n0-1 = i，即当n>n0时，T(i)n= 0．
因为 0≤M i,3n < 3n，所以D M i,3n ,3n-1 又M M i,3n ,3n-1 =M i,3n-1 ，所以M i,3n = 3n-1D M i,3n ,3n-1 +M i,3n-1 ，
所以T(i) =D M i,3n ,3n-1n ∈{0,1,2}．
因为 i=M i,3n0 = M i,3n0 -M i,3n0-1 + M i,3n0-1 -M i,3n0-2 + +(M (i,9)
-M (i,3)) + (M (i,3) -M (i,1)) = 3n0-1T(i) + 3n0-2n T(i)n -1+ +3T(i)2+T(i)1．0 0
若 T i1 n 和 T i2 n 的变换数列分别为 T j1 n 和 T j2 n ，且 i1< i2，
数列 T i1 n 满足T i1 n ≠ 0，且当n>n1时，T i1 1 n= 0，
数列 T i2 n 满足T i2 n ≠ 0，且当n>n 时，T i2 2 2 n= 0．
当 n1则 j < 3n1+ 2 3n1-1+ +9+3+1 = 2× 3n1- 1< 2× 3n11 ≤ 2× 3n2-1< j2．
当 n1=n2时，若T i1 n =T i1 2 n = 1，2
i =3n1-1+3n1-21 T i1 n -1+ +3T i1 1 2+T i1 1,
i2=3n2-1+3n2-2T i2 n -1+ +3T i2 2+T i2 1,2
j1=2×3n1-1+3n1-2T i1 n -1+ +3T i1 2+T i1 1 1,
j =2×3n2-1+3n2-22 T i2 n -1+ +3T i2 2 2+T i2 1,
i2= 3n2-1+ 3n2-2T i2 n -1+ +3T i2 2 2+T i2 1,
j = 2× 3n1-1+ 3n1-21 T i1 n + +3T i +T i ,1-1 1 2 1 1
j2= 2× 3n2-1+ 3n2-2T i2 n -1+ +3T i2 2 2+T i2 1,
则 j2- j1= i2- i1> 0．
若T i1 n =T i = 2，1 2 n2
i =2×3n1-1+3n1-21 T i1 n1-1+ +3T i1 2+T i1 1,
i =2×3n2-1+3n2-22 T i2 n -1+ +3T i2 2+T i2 1,2
j =3n1+3n1-11 T i1 n -1+ +32T1 i1 2+3T i1 1+0,
j =3n2+3n2-12 T i 22 n -1+ +3 T i2 2+3T i2 1+0,2
i2= 2× 3n2-1+ 3n2-2T i2 n2-1+ +3T i2 2+T i2 1,
j n11= 3 + 3n1-1T i1 2n -1+ +3 T i1 2+ 3T i1 1+ 0,1
j n2 n2-12= 3 + 3 T i2 2n -1+ +3 T i2 2+ 3T i2 2 1+ 0,
则 j2- j1= 3 i2- i1 > 0，所以 f(i)是增函数．
若T i1 n = 2,T i1 2 n = 1，2
则 i1≥ 2× 3n1> 3n1-1+ 2× 3n1-1+ +2× 31+ 2≥ i2，与 i1< i2矛盾，所以这种情况不存在．
数学试题 第 15 页 共 16 页
若T i
n
1 n = 1,T i2 n = 2，则 ji≤ 2× 3 1= 2× 3n2< 3n2+1≤ j1 2 2，
所以 f(i)是增函数．
(ⅱ)若数列 T(i)n 的变换数列为 T( j)n ，数列 T( j)n 的变换数列为 T(k)n ，
即证 k= 3i．
数列 T(i)n 满足T(i)n ≠ 0，且当n>n0时，T(i)n= 0．0
若T(i)n = 1，0
则 i= 3n0-1+ 3n0-2T(i)n0-1+ +3T(i)2+T(i)1，
j=2×3n0-1+3n0-2T(i)n -1+ +3T(i)2+T(i)1,0
k=3n0+3n0-1T(i) 2n -1+ +3 T(i)2+3T(i)1+0=3i.0
k= 3n0+ 3n0-1T(i)n -1+ +32T(i)0 2+ 3T(i)1+ 0= 3i.
若T(i)n = 2，0
则 i= 2× 3n0-1+ 3n0-2T(i)n -1+ +3T(i)2+T(i)1，0
j= 3n0+ 3n0-1T(i)n -1+ +32T(i)2+ 3T(i)1+ 0，0
k= 2× 3n0+ 3n0-1T(i) + +32n -1 T(i)2+ 3T(i)1+ 0= 3i．0
综上，f( f(i)) = 3i.
数学试题 第 16 页 共 16 页
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