2025年中考数学二轮复习-专题14二次函数与面积【课件】（共29张PPT）

(共29张PPT)
专题十四　二次函数与面积
第二篇 专题拓展·提能力
类型一 平行线等积转化
　
　平行线间的距离处处相等，从而可以利用平行线进行面积的等量
转化，来解决与抛物线有关的面积问题.在等积转化时，常常将抛物线
上点通过平行线平移至坐标轴上，便于数量表示和计算.
（1）如图①，a∥b→S△PAB＝ ＝ ＝ .
（2）如图②，a∥b→延长PA至点M，使得AM＝AP，过点M
作c∥b→由平行线等分线段可得a，b，c为等距平行线→S△PAB＝
S△MAB＝ ＝ .
1. 如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.
P是x轴上方抛物线上一点，且△PAC的面积为15，求点P的坐标.
解：如图，过点P作PE∥AC，交x轴于点E，连接CE，则S△EAC＝S△PAC＝15.
易得A（－1，0），B（3，0），C（0，－3），
∴S△EAC＝ AE·OC＝ ×AE×3＝15，∴AE＝10，
∴OE＝AE－OA＝9，∴点E的坐标为（9，0），易得直线AC的解析式为y＝－3x－3.
设直线PE的解析式为y＝－3x＋b.将E（9，0）代入可得b＝27，∴y＝－3x＋27.
由 解得 ∴点P的坐标为（－
6，45）或（5，12）.
2. 如图，直线y＝－ x＋3与抛物线y＝ x2交于A，B两点，与y轴交
于点F. P是直线AB下方抛物线上一动点，且△PAB的面积等于5，求点
P的坐标.
解：如图，过点P作PE∥AB，交y轴于点E，连接AE，BE，则S△EAB＝S△PAB＝5.
易得A（－3， ），B（2，2），F（0，3），
∴S△EAB＝ EF·｜xB－xA｜＝ ×EF×（2＋3）＝5，
∴EF＝2，OE＝OF－EF＝1，∴点E的坐标为（0，1），∴直线PE的解析式为y＝－ x＋1.
由 解得 ∴点P的坐标为（－2，
2）或（1， ）.
类型二 二次函数中三角形的面积最值
　
　 在解决抛物线上动态三角形面积最值问题时，一般思路：设动点
坐标→建立动态三角形面积与动点坐标参量的函数解析式→利用函数
的增减性确定面积的最值.
建立动态三角形面积与动点坐标参量函数解析式常有如下方法：
1. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点
C，点B的坐标为（1，0），对称轴是直线x＝－1.
（1）求抛物线的解析式；
解：（1）抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.
（2）P是直线AC下方抛物线上一个动点，连接PA，PC，BC，求四
边形PABC面积的最大值，并求出此时点P的坐标.
解：（2）如图，过点P作PM⊥x轴于点M，交直线AC
于点N. 易得A（－3，0），B（1，0），C（0，－3），
∴S△ABC＝ ×4×3＝6.易得直线AC的解析式为y＝－x－3.
设P（m，m2＋2m－3），－3＜m＜0，则N（m，－m－3），
∴PN＝－m－3－（m2＋2m－3）＝－m2－3m，
∴S△PAC＝ PN· ＝ ×（－m2－3m）×3＝－ m2－ m，
∴S四边形PABC＝S△PAC＋S△ABC＝－ m2－ m＋6＝－ ＋ ，
∴当m＝－ 时，四边形PABC的面积最大，最大值为 ，此时点P坐标为（－ ，－ ）.
2. [2024·成都节选]如图，在平面直角坐标系中，抛物线
y＝ax2－2ax－3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点.
（1）求线段AB的长；
解：（1）由ax2－2ax－3a＝0，解得x1＝3，x2＝－1，
∴A（－1，0），B（3，0），∴AB＝4.
（2）当a＝1时，若△ACD的面积与△ABD的面积相等，求tan∠ABD
的值.
解：（2）当a＝1时，y＝x2－2x－3＝（x－1）2－4，
∴顶点C（1，－4），
设D（m，m2－2m－3），其中0＜m＜3.
如图，连接AC，CD，DB，AD，过点D作DM⊥x轴于点M，作对称轴交AD于点N，
∴S△ABD＝ ×4×（－m2＋2m＋3）＝－2m2＋4m＋6.设直线AD的解析式为y＝kx＋b，将A（－1，0），D（m，m2－2m－3）代入，
得 解得
∴y＝（m－3）x＋m－3.
当x＝1时，y＝2m－6，∴N（1，2m－6），∴CN＝2m－6－
（－4）＝2m－2，
∴S△ACD＝ CN·｜xD－xA｜＝ ×（2m－2）×（m＋1）＝m2－1.
∵S△ABD＝S△ACD，∴－2m2＋4m＋6＝m2－1，解得m1＝ ，m2＝－1
（舍去），
∴D（ ，－ ），∴DM＝ ，BM＝3－ ＝ ，
∴tan∠ABD＝tan∠DBM＝ ＝ ＝ .
3. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx经过A（4，
0），B（1，4）两点.P是抛物线上一点，且在直线AB的上方.
（1）求抛物线的解析式.
解：（1）抛物线的解析式为y＝－ x2＋ x.
（2）如图①，若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标.
解：（2）如图①，过点P作PM∥y轴，交AB于点M.
易得直线AB的解析式为y＝－ x＋ .
设P（m，－ m2＋ m），1＜m＜4，则M（m，－ m＋ ），
∴PM＝－ m2＋ m－（－ m＋ ）＝－ m2＋ m－ ，
∴S△PAB＝ PM· ＝ ×（－ m2＋ m－ ）×3＝
－2m2＋10m－8.
∵S△OAB＝ ×4×4＝8，2S△PAB＝S△OAB，∴2×（－2m2＋10m－8）＝8，解得m1＝2，m2＝3，
∴点P的坐标为（2， ）或（3，4）.
（3）如图②，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D. 记△CDP，
△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3，判断 ＋ 是否存在最大
值.若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.
（3）如图②，过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点
G，延长AB交y轴于点F，则F（0， ）.
∵PD∥BO，∴ ＝ ＝ ，∴ ＋ ＝ ＋ ＝ .
∵PD∥BO，∴∠PDC＝∠OBC，∴∠PDG＝∠OBF. ∵PG∥OF，
∴∠PGD＝∠OFB，
∴△PDG∽△OBF，∴ ＝ ，∴ ＋ ＝ ＝ ＝ PG.
设P（n，－ n2＋ n），1＜n＜4，则G（n，－ n＋ ），∴PG
＝－ n2＋ n－ ，
∴ ＋ ＝ PG＝ ×（－ n2＋ n－ ）＝－ ＋ .
又∵1＜n＜4，∴当n＝ 时， ＋ 存在最大值，最大值为 .
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