《几何证明举例》习题
一、选择题.
1、如图，△ABC△FED，那么下列结论正确的是( ).
A、FC=BD B、EF∥AB
C、DE=BD D、AC∥ED
2、等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为( ).
A、17 B、22 C、13 D、17或22
3、有两个角和其中一个角的对边对应相等的饿两个三角形( ).
A、必定全等 B、必定不全等 C、不一定全等 D、以上答案都不对
4、以下命题中，真命题的是( ).
A、两条线只有一个交点
B、同位角相等
C、两边和一角对应相等的两个三角形全等
D、等腰三角形底边中点到两腰相等
5、面积相等的两个三角形( ).
A、必定全等 B、必定不全等 C、不一定全等 D、以上答案都不对
二、填空题.
1、在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是( ).
2、已知△ABC中，∠A=90°，角平分线BE、CF交于点O，则∠BOC=( ).
三、解答题.
1、已知：如图，△ABC中，AB=AC.
(1)按照下列要求画出图形：
①作∠BAC的平分线交BC于点D；
②过D作DE⊥AB，垂足为点E；
③过D作DF⊥AC，垂足为点F.
(2)根据上面所画的图形，求证：EB=FC.
2、已知，如图△ABC中，∠ACB的平分线交AB于E，∠ACB的补角∠ACD的平分线为CG，EG∥BC交AC于F，EF会与FG相等吗？为什么？
3、等边三角形ABC中，D是三角形内一点，DA=DB，BE=AB，∠CBD=∠EBD，求∠E的度数.
《几何证明举例》教案
学习目标：
1.会证明下列定理：SAS ASA SSS HL
2.能根据上述定理证明有关的命题
3.养成善于思考，善于探究，善于推理，言必有据的好习惯
学习过程：
一、自主预习课本P175——186的内容，独立完成课后练习1、2、3、4、5后，
与小组同学交流(课前完成)
二、回顾课本，思考下列问题：
1.SAS定理的内容
2.ASA定理的内容
3.SSS定理的内容
4.几何证明的过程的步骤
三、巩固练习
1、在ΔABC和ΔDEF中，按照下列给出的条件，能用“SAS”公理判断ΔABC≌ΔDEF的是()
A、AB=DE ∠A=∠D BC=EF B、AB=EF ∠A=∠D AC=DF
C、AB=BC ∠B=∠E DE=EF D、BC=EF ∠C=∠F AC=DF
2、如图，△ABC≌△CDA，并且BC＝DA，那么下列结论错误的是()
A．∠1＝∠2 B．AC＝CA C．AB＝AD D．∠B＝∠D
3．如图，点B在AE上，∠CAB=∠DAB，要使ΔABC≌ΔABD，可补充的一个条件是
四、学习小结
回顾这一节所学的，看看你学会了吗？
五、布置作业
课件13张PPT。几何证明举例《青岛版》初中数学八年级上学习目标1、理解并会证明全等三角形的性质定理，
理解“含30°角的直角三角形”的性质定理，
能运用该定理解决简单的问题；
2、进一步体会证明线段相等、角相等的
方法，体会类比、转化的数学思想；
3、提高分析问题、解决问题的能力.
自学课本解答下列问题：
1、下列命题是真命题吗？与同学交流.
全等三角形对应边上的中线相等
全等三角形对应角的平分线相等
2、求证：两个全等三角形的对应高相等已知：如图， △ABC ≌ △A′B′C ′， AD、A′D′分别是边BC、 B′C ′上的高
求证： AD=A′D′全等三角形对应边上的中线相等
中线△ABD≌ △A′B′D′（ ） 全等三角形对应角的平分线相等ASA
总结：全等三角形有哪些性质全等三角形的
对应边、对应角相等面积 全等可以证明线段、角相等读懂读透D3、求证：在直角三角形中，如果有一个锐角等
于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.已知:如图， △ABC中，∠ABC=90°， ∠ACB=30°.这个定理用数学语言怎么叙述？这个命题的逆命题怎么叙述？AC=AD∠ACD=∠ADC出现了哪些证明线段相等的方法？定理 在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°
那么它所对的直角边等于斜边的一半.在Rt△ABC中逆定理 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.BC= AB∠A=30°1、如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°CD⊥AB，AB=4，则BC=
∠BCD= BD=
2、如图，∠Ｃ＝９０°，Ｄ是ＣＡ的延长线上一点， ∠ＢＤＣ＝１５ °，
且ＡＤ＝ＡＢ，则ＢＣ AD230°13、等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是（ ）
（A）30° （B）150°
（C）30°或 150° （D）60°或120° C拓展练习4、已知:如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的 垂直平分线分别交BC、AB于点M、N.
求证:CM=2BM总结收获证明线段、角
相等的方法在不同的三角形中在同一个三角形中 含30°角的直角三角形的性质全等三角形的性质分层作业必做题：
1、求证：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2、求证：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.
选做题：
1、要把一块三角形的土地均匀分给甲 、 乙、丙三家农户去种植，如果∠C＝90°∠A＝30°，要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同，请你试着分一分，在图上画出来.
2、总结证明垂直的方法.祝同学们天天进步！课件1张PPT。例.已知：如图： ∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC .
求证：AB =AC .证明：（ 已知 ）（角平分线定义）（ 已知 ）（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，内错角相等）（ 等量代换 ）（ 等角对等边 ）课件1张PPT。1.全等三角形的判定方法有哪些？它有什么性质？其中哪些是基本事实？2.几何证明的步骤是什么？SAS ASA SSS AAS 课件1张PPT。1.如图，在△ABC中，
（1）如果AB=AC，可得 ，
（2）如果∠B=∠C，可得 ，∠B=∠CAB=AC2.等腰三角形的一边长为3cm，另一边长为4cm，则它的周长是 ；
3.等腰三角形的一边长为3cm，另一边长为8cm，则它的周长是 .
4.等腰三角形一个角为110°，它的另外两个角为____ ___.
10 cm 或 11 cm19 cm35°，35°课件5张PPT。练习：1.已知：如图，AB=AC，∠B=∠C.
求证：BD=CE.证明：
△ACE和△ABD中，
∠B=∠C，（已知）
AB=AC，（已知）
∠A=∠A.（公共角）
∴△ACE≌△ABD（ASA）.
∴BD=CE.2.（1）如图①，已知A，C，D，F四点在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，AF=DC，求证：AB∥DE.
（2）如果AB=DE，BC=EF，AF=DC不变，将图①分别变化成图②③后，（1）中的结论是否发生变化？如果有，有什么变化？（1）证明：∵AF=DC，∴AF-CF=DC-CD.
即AC=DF.
在△ABC和△DEF中：
AB=DE，BC=EF，（已知）
AC=DF（已证）.
∴ △ABC≌△DEF.（SSS）
∴∠A=∠D.（全等三角形对应角相等）
∴ AB∥DE.（内错角相等，两直线平行）
（2）结论不变，证明过程发生变化.
对于图②：
证明：∵AF=DC，∴AF+CF=DC+CD.
即AC=DF.
在△ABC和△DEF中：
AB=DE，BC=EF，（已知）
AC=DF（已证）.
∴ △ABC≌△DEF.（SSS）
∴∠A=∠D.（全等三角形对应角相等）
∴ AB∥DE.（内错角相等，两直线平行）
对于图③：
证明：∵AF=DC，∴AF+AD=DC+AD.
即AC=DF.
在△ABC和△DEF中：
AB=DE，BC=EF，（已知）
AC=DF（已证）.
∴ △ABC≌△DEF.（SSS）
∴∠BAC=∠EDF.（全等三角形对应角相等）
∴ AB∥DE.（内错角相等，两直线平行）
课件3张PPT。练习：1.证明：等腰三角形两底角的平分线相等.已知：△ABC中，AB＝AC，BD、CE是三角形的角平线，分别交AC、AB于点D、E. 求证：BD＝CE. 证明：在△ABC中，∵AB＝AC（已知） ∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）即∠EBC＝∠DCB 又∵BD、CE别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB. 在△DBC和△ECB中， ∠DCB＝∠EBC（已证） BC＝CB（公共边）
∠DBC＝∠ECB（已证） ∴△DBC≌△ECB（ASA） ∴BD＝CE（全等三角形应边相等）ABCDE2.阅读下面的一道题目及小亮的证明过程.
已知：如图，D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上的一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE.
求证：∠BAE=∠CAE.证明：在△AEB和△AEC中，
∵EB=EC， ∠ABE=∠ACE，AE=AE.
∴△AEB≌△AEC.……第一步
∴∠BAE=∠CAE.……第二步
小亮的证明过程是否正确？如果正确，请写出第一步和第二步的推理依据；如果不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程.解：小亮的证明过程不正确，错在第一步.证明：
∵EB=EC， ∠ABE=∠ACE.
∴AD⊥BC，∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.
又∵AD=AD.（公共边）
∴△ADB≌△ADC.（HL）
∴ ∠BAD=∠CAD.（全等三角形对应角相等）
∴∠BAE=∠CAE.
课件2张PPT。练习：1.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高.AC的垂直平分线交DC于点E，且BD=DE.
求证：AB+BD=DC.证明：在△ABD和△AED中，
AD=AD，（公共边）
∠ADB=∠ADE=90°，（已知）
BD=DE.（已知）
∴△ABD≌△AED.（SAS）
∴AB=AE.（全等三角形对应边相等）
又∵图中过点E的直线是AC的垂直平分线.
∴AE=AC.（线段垂直平分线上的点到其两端距离相等）
∴AB+BD=CE+DE-DC.（等量替换）2.如图，已知在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P.
求证：点P在AC的垂直平分线上.解：如图，连接PA，PB，PC.
∵由已知知：PA=PB，PB=PC.
∴PA=PC.（等量代换）
∴点P在AC的垂直平分线上.（到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）
课件2张PPT。练习：1.如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，点E，F为垂足，D是BE与CF的交点，AD平分∠BAC.求证：BD=CD.证明：∵ AD平分∠BAC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）.
又∵AD=AD（公共边），
∴△ADE≌△ADE（HL）.
∴AE=AF.
△ABE和△ACF中，
∠AFC=∠AEB，（垂直定义）
∴AE=AF，（已证）
∠BAE=∠CAF.（公共角）
∴△ABE≌△ACF.（ASA）∴BE=CF.
又∵ DE=DF.∴ BD=CD.2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC.AD是∠A的平分线.求证：AB=AC+CD.证明：
如图，过点D作DE⊥AB，交AB于点E.
∵AD是∠A的平分线.
∴DC=DE.
又∵AD=AD（公共边）.
∴△ACD≌△AED（HL）.
∴AC=AE.
又AB=AC.∴∠B=45°，∴DE=BE.
∴AB=AE+BE=AE+DE=AC+CD.（等量替换）
课件2张PPT。练习：1.如图，BD，CE是△ABC的高，且BD=CE，求证：△ABC是等腰三角形.证明：
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
∵BD=CE，（已知）
BC=CB.（公共边）
∴ Rt△BEC≌Rt△CDB.（HL）
∴∠EBC=∠DCB，
即∠ABC=∠ACB.（等量替换）
∴ △ABC是等腰三角形.2.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，EC与FB相交于点O，AE=DF，EC=FB.求证：OB=OC.证明：
在Rt△EAC和Rt△FDB中，
AE=DF，EC=FB.（已知）
∴ Rt△EAC≌Rt△FDB.（HL）
∴∠ECA=∠FBD.（全等三角形对应角相等）
即∠OBC=∠OCB.
∴OB=OC.（等角对等边）
