第二十二章二次函数培优练习卷（含答案） 人教版九年级数学上册

第二十二章 二次函数 培优练习卷
选择题（每小题4分，共40分）
1、已知函数，其图象是抛物线， 则的取值是　　
A ． B ． C ． D ．
2、已知抛物线过，，，四点，则与的大小关系是　　
A． B． C． D．不能确定
3、如图，一次函数与二次函数图象相交于、两点，则函数的图象可能是　　
A． B． C． D．
4、若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )
A. B. C. D.
5、已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6、已知关于的方程，存在a，是方程的两个根，则实数，n，a，的大小关系可能是　　
A． B． C． D．
7、如图，抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是　　
A．﹣5＜t≤4 B．3＜t≤4 C．﹣5＜t＜3 D．t＞﹣5
8、当－2≤x≤l时，二次函数有最大值4，则实数m的值为（ ）
A. B. 或 C.2或 D.2或或
9、二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④，其中错误结论的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
如图1，在菱形ABCD中，∠B=60°，动点P以每秒1个单位长度的速度自点A出发沿线段AB运动到点B，同时动点Q以每秒2个单位长度的速度自点B出发沿折线B-C- D运动到点D.图2是点P，Q运动时，△BPQ的面积S随时间t变化关系图象，则a的值是（ ）
A.2 B.2.5 C.3 D.2
填空题（每小题5分，共30分）
11、抛物线y=ax2与直线x=1，x=2，y=1，y=2组成的正方形有公共点，则a的取值范围是 .
12、已知二次函数，（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当，，，时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是 .
13、定义符号的含义为：当a≥b时，=a；当a14、如图，一抛物线与x轴相交于A，B两点，其顶点P在折线段CD-DE上移动，已知点C，D，E的坐标分别为(一2，8)，(8，8)，(8，2)，若点B横坐标的最小值为0，则点A横坐标的最大值为____________.
15、在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示.已知A点坐标为(1,1),过点A作AA1//X轴交抛物线于点A1，过点A1，作A1A2 //OA交抛物线于点A2,过点A2作A2A3//x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4 //OA交抛物线于点A4...，
依次进行下去，则点A2019的坐标为_____________.
16、我们定义一种新函数:形如y=|ax2+bx+c | (a≠0，且b2-4ac>0)的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y= |x2-2x- - 3|的图象(如图所示),并写出下列五个结论:①图象与坐标轴的交点为(一1,0),(3,0)和(0,3)；②图象
具有对称性，对称轴是直线x=1；③当一1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x=-1或x=3时，函数的最小值是0；⑤当x=1时,函数的最大值是4.其中正确结论的个数是_________________.
三、解答题（共80分）
17、（8分）⑴已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
（2）如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．
点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．
18、（8分）已知二次函数（a为常数，）．
（1）当时，求该二次函数的图象与x轴的交点个数．
（2）设，是该函数图象上的两点，其中，当时，都有，求a的取值范围．
19、（8分）一座拱桥的桥拱轮廓可以看作抛物线的一部分（如图①所示），其中拱高为6 m，跨度为20 m，相邻两支柱间的距离均为5 m.
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），其函数解析式是的形式.请根据所给的数据求出a，c的值；
（2）求支柱MN的长度
（3）拱桥下面是一条双向行车道（正中间是一 条宽2 m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2 m、高3 m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由.
20、（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C.
（1）求证：△ABC为直角三角形；
（2）直线y=m（0F.求当m为何值时，EF= DF？
(3)连结CE和BE后，对于问题“是否存在这样的点E，使△BCE的面积最大？”小红同学
认为：“当E为抛物线的顶点时，△BCE的面积最大.”她的观点是否正确？提出你的见解，若△BCE的面积存在最大值，请求出点E的坐标和△BCE的最大面积.
21、（10分）二次函数与二次函数的图象称为友好抛物线．
（1）求证：无论取何值，友好抛物线与的顶点都在某一确定的直线上．（2）若，，当时，请比较，的大小．（3）已知，，友好抛物线：，交于点，且，与轴分别交于点、点，求的值．
22、（12分）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”万众瞩目，硅胶是生产“冰墩墩”外壳的主要原材料．某硅胶制品有限公司的两个车间负责生产“冰墩墩”硅胶外壳，已知每天生产的硅胶外壳数量甲车间是乙车间的两倍，甲车间生产8000个所用的时间比乙车间生产2000个所用的时间多一天．
(1)求出甲、乙两车间每天生产硅胶外壳个数．
(2)现有如下表所示的A，B两种型号硅胶外壳，该公司现有378千克的原材料用于生产外壳，并恰好全部用完．
型号 所需原材料 冰墩墩单价
A 99克 198元
B 90克 192元
①若生产的A，B两种型号的外壳共4000个，求出A，B两种型号的外壳个数．
②若生产的A，B两种型号的外壳若干个用于销售，且A型号的数量大于B型号的数量，则A型号外壳为多少个时，冰墩墩的销售金额最大．求出最大销售金额．
23、（12分）如图①，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B在抛物线L1上(点A与点B不重合)，我们把这样的两抛物线L1、L2称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条．
（1）抛物线L1：y＝－x2＋4x－3与抛物线L2是“伴随抛物线”，且抛物线L2的顶点B的横坐标为4，求抛物线L2的表达式；
（2）若抛物线y＝a1(x－m)2＋n的任意一条“伴随抛物线”的表达式为y＝a2(x－h)2＋k，请写出a1与a2的关系式，并说明理由；
（3）在图②中，已知抛物线L1：y＝mx2－2mx－3m(m>0)与y轴相交于点C，它的一条“伴随抛物线”为L2，抛物线L2与y轴相交于点D，若CD＝4m，求抛物线L2的对称轴．
24、（12分）如图，已知抛物线的图象经过点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，对称轴与轴相交于点，连接．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在抛物线上点和点之间是否存在一点使得四边形的面积最大，若存在求出四边形的最大面积，若不存在，请说明理由．
（3）直线上有一点，使得时，过作轴于，点为轴上一动点，为直线上一动点，为抛物线上一动点，当以点，，，四点为顶点的四边形为正方形时，求点的坐标．
答案解析
B．
C．
B．
B
D
A．
B．
C.
A．
D.
12、
13、6
14、7
（-1010,10102）
4
17、（1）当x=0时，．所以不论为何值，函数的图象经过轴上的一个定点（0，1）．
（2）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小。
解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E.
∵ED∥y轴, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM.
∴
∴，∴m =．
解法二：设直线C′D的解析式为y = kx + n ,
则，解得n = 2, .
∴ .
∴当y = 0时， ，
. ∴.
18、（1）无交点；（2）且
19、（1）根据题意，得A，B，C的坐标分别为（-10，0），（10，0），（0,6）.将点B，C的坐标代入，得解得
（2）可设点N的坐标为（5，yN），由（1）可得抛物线的函数解析式为，则.
∴支柱MN的长度为10-4.5=5.5（m）.
能并排行驶宽2 m、高3 m的三辆汽车.理由如下：
如解图，设DE是隔离带的宽，EG是三辆车的宽度和，则点G的坐标为（7，0）.过点G作GH⊥AB交抛物线于点H，则.
根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶三辆这样的汽车.
20、（1）证明：对于，当y=0时，，解得，；当x=0时，y=2.
∴A，B，C三点的坐标分别为A（-1,0），B（4,0），C（0，2），
∴OA=1，OB=4，OC=2，
∴AB=OA+OB=5，
∴AB2=25.在Rt△AOC中，AC2=OA2+OC2=5，在Rt△COB中，BC2=OC2+OB2=20，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形.
∵B（4,0），C（0,2），
∴直线BC：，∴F（m，），E（m，）,
DF=，DE=，当EF=DF时，则2DF=DE，
∴4-m=，解得m1=1，m2=4.
∵0∴当m=1时，EF=DF.
小红同学的观点是错误的.
∵OD=m，DE⊥OB，E点在抛物线上，
∴E点的坐标可表示为（m，）,∴DE=,
∵DF=，∴EF=DE-DF=.
∵
∴
∴当m=2时，有最大值，△BCE的面积最大为4，
∵当m=2时，=3，
∴E点的坐标为（2,3），而抛物线的顶点坐标为（），
∴小红同学的观点是错误的.
21、（1）证明：，的顶点为，
，的顶点为，设过，顶点的直线为，
把，代入得：，解得：，，
无论取何值，友好抛物线与的顶点都在直线上；
（2）解：，时，，，
令，则，解得：，，交点坐标为，
当时，，当时，，当时，；
（3），时，令，则，解得：，，
将代入，得，，，
，，．
22、(1)甲、乙车间每天生产的数量分别为4000个、2000个
(2)①生产A型号外壳2000个，B型号外壳2000个；②当A型号外壳2010个时，w有最大值，最大值为779868元
23、(1)由y＝－x2＋4x－3可得A的坐标为(2，1)，
将x＝4代入y＝－x2＋4x－3，得y＝－3，∴B的坐标为(4，－3)，
设抛物线L2的解析式为y＝a(x－4)2－3； 将(2，1)代入y＝a(x－4)2－3，
得1＝a(2－4)2－3，解得a＝1，
∴抛物线L2的表达式为y＝(x－4)2－3；
(2)a1＝－a2，理由如下：
∵抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B在抛物线L1上，
∴可列方程组： ，
整理，得(a1＋a2)(m－h)2＝0，
∵伴随抛物线的顶点不重合，∴m≠h，∴a1＝－a2；
(3)抛物线L1：y＝mx2－2mx－3m的顶点坐标为(1，－4m)，
设抛物线L2的顶点的横坐标为h，则其纵坐标为mh2－2mh－3m，
∴抛物线L2的表达式为y＝－m(x－h)2＋mh2－2mh－3m，
化简得，y＝－mx2＋2mhx－2mh－3m，
所以点D的坐标为(0，－2mh－3m)，
又点C的坐标为(0，－3m)，
可得|(－2mh－3m)－(－3m)|＝4m， 解得h＝±2，
∴抛物线L2的对称轴为x＝±2.
24、（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（﹣3，0），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）当x＝﹣1时，y＝﹣4，所以点D（﹣1，﹣4）
当x＝0时，y＝﹣3，所以点C（0．﹣3）
设点H（a，a2+2a﹣3）（﹣3＜a＜﹣1）
所以S四边形OBHC＝S△OBH+S△OCH
＝OB×|a2+2a﹣3|+OC×|a|
＝（3﹣2a﹣a2）﹣a
＝﹣a2﹣+
当a＝﹣＝﹣时，S四边形OBHC＝．
（3）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
∴C（0，﹣3），抛物线的顶点D（﹣1，﹣4），
∴E（﹣1，0），
设直线BD的解析式为y＝mx+n，
∴，
∴，
∴直线BD的解析式为y＝﹣2x﹣6，
设点P（m，﹣2m﹣6），
∵C（0，﹣3），E（﹣1，0），
根据勾股定理得，PE2＝（m+1）2+（﹣2m﹣6）2，PC2＝m2+（﹣2m﹣6+3）2，
∵PC＝PE，
∴（m+1）2+（﹣2m﹣6）2＝m2+（﹣2m﹣6+3）2，
∴m＝﹣2，
∴y＝﹣2×（﹣2）﹣6＝﹣2，
∴P（﹣2，﹣2），
如图，作PF⊥x轴于F，
∴F（﹣2，0），
设M（d，0），
∴G（d，d2+2d﹣3），N（﹣2，d2+2d﹣3），
∵以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形，必有FM＝MG，
∴|d+2|＝|d2+2d﹣3|，
∴d＝或d＝，
∴点M的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）．