2024-2025学年上海浦东新区高一下学期期中数学试卷（含答案）

浦东新区2024-2025学年第二学期高一年级数学期中
2025.4
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）
1． 弧度.
2．已知，则角属于第 象限．
3．半径为1，圆心角为的扇形的面积为 ．
4．已知，则的值为 ．
5．已知，则的值为 ．
6．已知函数是R上的偶函数，则的值为 ．
7．已知函数．则函数所有零点组成的集合为 ．
8．代数式可化为的形式，则的值为 ．
9．函数的最小值为 ．
10．已知，且，则的值为 ．
11．一根长为的材料（材料粗细忽略不计）欲水平通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽，则能够通过这个直角走廊的材料的最大长度（即求的最小值）为 ．
12．已知，且函数的图像关于点对称．若（其中，则的最小值为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分．
13．下列函数中，最小正周期为的是（ ）.
A． B． C． D．
14．下列诱导公式中错误的是（ ）.
A． B．
C． D．
15．在中，角所对的边分别为．若，则该三角形一定是（ ）.
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
16．关于的方程在区间上解的情况，下列说法不正确的是（ ）.
A．存在实数使得方程无解 B．存在实数使得方程有无数个解
C．存在唯一的实数使得方程只有1个解 D．存在唯一的实数使得方程只有2个解
三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤。
17．（本题满分8分．第（1）问4分，第（2）问4分）
如图，在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边恰好与单位圆相交于点．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．（本题满分10分．第（1）问4分，第（2）问6分）
在中，已知．
（1）求；
（2）求的面积及外接圆半径．
19．（本题满分10分．第（1）问5分，第（2）问5分）
已知．
（1）求函数的最小正周期和单调减区间；
（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．
20．（本题满分12分．第（1）问3分，第（2）问4分，第（3）问5分）
在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某天在某港口记录的水面深度与时间的关系表：
（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
（1）请从这3个函数中选择一个函数近似描述某天这个港口的水面深度与时间的函数关系，不需要说明理由；
（2）请根据你对（1）的判断以及所给信息，写出你选择的函数模型的解析式；
（3）依照（2）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？
21．（本题满分12分．第（1）问3分，第（2）问5分，第（3）问4分）
已知函数的定义域.若实数，且满足，则称和是＂相关＂的．
（1）若，求所有满足和是＂相关＂的实数；
（2）若，求所有满足和是＂相关＂的实数；
（3）若，求所有满足和是＂相关＂的实数的取值范围．
浦东新区2024-2025学年第二学期高一年级数学期中
2025.4
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）
1． 弧度.
【答案】
2．已知，则角属于第 象限．
【答案】二
3．半径为1，圆心角为的扇形的面积为 ．
【答案】
4．已知，则的值为 ．
【答案】
5．已知，则的值为 ．
【答案】
6．已知函数是R上的偶函数，则的值为 ．
【答案】
7．已知函数．则函数所有零点组成的集合为 ．
【答案】
8．代数式可化为的形式，则的值为 ．
【答案】（或或）；
9．函数的最小值为 ．
【答案】-1
10．已知，且，则的值为 ．
【答案】
11．一根长为的材料（材料粗细忽略不计）欲水平通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽，则能够通过这个直角走廊的材料的最大长度（即求的最小值）为 ．
【答案】
12．已知，且函数的图像关于点对称．若（其中，则的最小值为 ．
【答案】
二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分．
13．下列函数中，最小正周期为的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
14．下列诱导公式中错误的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
15．在中，角所对的边分别为．若，则该三角形一定是（ ）.
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
16．关于的方程在区间上解的情况，下列说法不正确的是（ ）.
A．存在实数使得方程无解 B．存在实数使得方程有无数个解
C．存在唯一的实数使得方程只有1个解 D．存在唯一的实数使得方程只有2个解
【答案】C
三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤。
17．（本题满分8分．第（1）问4分，第（2）问4分）
如图，在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边恰好与单位圆相交于点．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1）由题，
（2）
18．（本题满分10分．第（1）问4分，第（2）问6分）
在中，已知．
（1）求；
（2）求的面积及外接圆半径．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由题
（2）则
又因此
19．（本题满分10分．第（1）问5分，第（2）问5分）
已知．
（1）求函数的最小正周期和单调减区间；
（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）最小正周期为，单调减区间为 （2）
【解析】（1）由题，
由得
因此函数的最小正周期为，单调减区间为
（2）由题得，原题可转化为关于的函数的值域
当时，
因此，，即实数的取值范围为
20．（本题满分12分．第（1）问3分，第（2）问4分，第（3）问5分）
在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某天在某港口记录的水面深度与时间的关系表：
（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
（1）请从这3个函数中选择一个函数近似描述某天这个港口的水面深度与时间的函数关系，不需要说明理由；
（2）请根据你对（1）的判断以及所给信息，写出你选择的函数模型的解析式；
（3）依照（2）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？【答案】（1）应选 （2）
（3）在某天时，时能安全进出港口；卸货最多只能用16小时．
【解析】（1）由本题文字材料和图表可知，应选择函数模型
（2）由题，
将代入，得，故．
因此，选择的函数模型的解析式为
（3）由题意可得，，
即即
故该货船在某天时，时能安全进出港口．要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用16小时．
21．（本题满分12分．第（1）问3分，第（2）问5分，第（3）问4分）
已知函数的定义域.若实数，且满足，则称和是＂相关＂的．
（1）若，求所有满足和是＂相关＂的实数；
（2）若，求所有满足和是＂相关＂的实数；
（3）若，求所有满足和是＂相关＂的实数的取值范围．
【答案】（1） （2）或
（3）
【解析】（1）由题，即，即
故
（2）由题，即
整理得即故或
因此，或
（3）由题，整理得
转化为即
由正弦函数的有界性，可知即
因此，的取值范围为