2024-2025学年上海浦东新区高二下学期期中数学试卷（含答案）

浦东区2024-2025学年第二学期高二年级数学期中
2025.4
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.
1．经过点、的直线的斜率为 ．
2．椭圆的长轴的长为 .
3．抛物线的焦点坐标为 .
4．双曲线的渐近线方程为 ．
5. 过点且与直线垂直的直线的一般式方程为 .
6．直线与直线的距离为 .
7．若圆的方程为，则实数的取值范围为 .
8．椭圆与双曲线有相同的焦点，则正实数的值等于 .
9．若直线与直线的夹角为，则实数的值为 .
10．已知关于的方程组无解，则实数的值为 .
11. 若对任意的实数，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为 .
12．江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是 .
二、选择题(本大题共有4题，满分12分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.
13.直线的倾斜角的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
14. 圆和与圆的位置关系为（ ）.
A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离
15.双曲线的两焦点为，为上一点，若，则的值
为（ ）.
A. 1或13 B. 1 C. 13 D. 15
16.已知方程，（）所表示的曲线为，则下列四个结论中正确的个数是（ ）.
(1) 当时，曲线表示一条直线. (2) 当时，曲线表示椭圆.
(3) 存在实数，使得曲线为等轴双曲线. (4) 存在实数，使得曲线为抛物线.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．（本题满分10分，第（1）问5分，第（2）问5分）
已知在中，，，点是此三角形的重心.
（1）求边所在直线的一般式方程；
（2）若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程．
18．（本题满分10分，第（1）问5分，第（2）问5分）
过圆外一点任意作一条割线交圆于两点.
（1）若割线的方程为，求的值；
（2）求弦的中点的轨迹．
19．（本题满分10分，第（1）问4分，第（2）问6分）
已知抛物线的准线方程为.
（1）求抛物线的标准方程;
（2）过点的直线与抛物线交于两点，若,求的值．
20．（本题满分10分，第（1）问4分，第（2）问6分）
已知双曲线.
（1）若双曲线的离心率为，求的值；
（2）若直线:与圆相切，证明：直线与双曲线的左右两支各有一个公共点.
21．（本题满分12分，第（1）问4分，第（2）问8分）
已知椭圆的左右两个焦点分别为，，是该椭圆的短轴，且，三角形的面积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点是椭圆上任意一点，求的最值．
浦东区2024-2025学年第二学期高二年级数学期中
2025.4
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.
1．经过点、的直线的斜率为 ．
【答案】
2．椭圆的长轴的长为 .
【答案】
3．抛物线的焦点坐标为 .
【答案】
4．双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
5. 过点且与直线垂直的直线的一般式方程为 .
【答案】
6．直线与直线的距离为 .
【答案】
7．若圆的方程为，则实数的取值范围为 .
【答案】
8．椭圆与双曲线有相同的焦点，则正实数的值等于 .
【答案】
9．若直线与直线的夹角为，则实数的值为 .
【答案】
10．已知关于的方程组无解，则实数的值为 .
【答案】
11. 若对任意的实数，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为 .
【答案】
12．江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是 .
【答案】
二、选择题(本大题共有4题，满分12分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.
13.直线的倾斜角的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
14. 圆和与圆的位置关系为（ ）.
A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离
【答案】B
15.双曲线的两焦点为，为上一点，若，则的值
为（ ）.
A. 1或13 B. 1 C. 13 D. 15
【答案】C
16.已知方程，（）所表示的曲线为，则下列四个结论中正确的个数是（ ）.
(1) 当时，曲线表示一条直线. (2) 当时，曲线表示椭圆.
(3) 存在实数，使得曲线为等轴双曲线. (4) 存在实数，使得曲线为抛物线.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
注：其它解法相应得分.
17．（本题满分10分，第（1）问5分，第（2）问5分）
已知在中，，，点是此三角形的重心.
（1）求边所在直线的一般式方程；
（2）若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程．
【答案】（1） （2）或．
【解析】（1）设，则，解得，即
则边所在直线的方程为.
整理得边所在直线的一般式方程为.
（2）由已知得直线的斜率存在，设直线的方程为
当时，; 当时，.则，解得或.
则直线的方程为或．
整理得直线的斜截式方程为或．
18．（本题满分10分，第（1）问5分，第（2）问5分）
过圆外一点任意作一条割线交圆于两点.
（1）若割线的方程为，求的值；
（2）求弦的中点的轨迹．
【答案】（1）
（2）点的轨迹是以为圆心，以为半径，且位于圆内的一段圆弧.
【解析】（1）圆心到直线的距离
则.
（2）设，连接．可得,即,则.
因为，所以，
整理得.
所以，点的轨迹是以为圆心，以为半径，且位于圆内的一段圆弧.
19．（本题满分10分，第（1）问4分，第（2）问6分）
已知抛物线的准线方程为.
（1）求抛物线的标准方程;
（2）过点的直线与抛物线交于两点，若,求的值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由准线方程，得,则抛物线的标准方程为.
（2）设，, 由解得，所以点
由抛物线的对称性，不妨取，则直线的方程为
联立
所以，.
20．（本题满分10分，第（1）问4分，第（2）问6分）
已知双曲线.
（1）若双曲线的离心率为，求的值；
（2）若直线:与圆相切，证明：直线与双曲线的左右两支各有一个公共点.
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】（1）由题意，，解得，又，则.
（2）由直线与圆相切，得，即，
联立得， 即，
该一元二次方程的判别式，因此有两个不相等的实数根，
且两根之积为，因此两根一正一负，
即与双曲线的左右两支各有一个公共点.
21．（本题满分12分，第（1）问4分，第（2）问8分）
已知椭圆的左右两个焦点分别为，，是该椭圆的短轴，且，三角形的面积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点是椭圆上任意一点，求的最值．
【答案】（1）
（2）当或时，；当时，.
【解析】（1）由椭圆的性质和已知条件得，解得，，,
则椭圆的标准方程为.
（2）由椭圆的定义可知，
设，则
因为，所以当时，；当时，.
令，则则，
所以，当或时，；当时，.