2024-2025学年北师大版八年级数学下册期中测试卷（考试范围：第1~3章）（含详解）

2024-2025学年八年级数学下册期中测试卷（考试范围：第1~3章）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，的平分线，与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为（ ）
A．4 B．2.5 C．2 D．1.5
3．如图，，把绕点B顺时针旋转一个角度得到，点在边上，若的度数为，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，，沿过点的直线折叠，再次折叠，使点与点重合，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点的坐标为.将先绕点顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点的对应点坐标是( )
A． B． C．(3,2) D．(2,2)
6．对于正整数数x，符号表示不大于x的最大整数．若有正整数解，则正数a的取值范围是（ ）．
A．或 B．或
C．或 D．或
7．如图，在中，，，为的角平分线，为边上的中点，为边上一点，将沿翻折，使点的对应点恰好落在角平分线上，连接并延长交于点，若，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．已知非负数 x，y，z 满足..，设 ，则 W 的最大值与最小值的和为（ ）
A． B． C． D．
9．如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形).若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠,且组成的图形既是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有 ( )
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
10．如图，在和中，，点C，D，E在同一条直线上，连接B、D和B，E，下列四个结论：①；②；③④，其中，正确的个数是（　 　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，，，将绕点B逆时针旋转，得到，设与交于点F，连接，当为等腰三角形时， ．
12．已知直线与直线相交于点A，两直线分别与x轴交于B，C两点，若点D落在内部（不含边界），则：
（1）点A的坐标是 ；
（2）a的取值范围是 ．
13．如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点F，平分，已知，，的面积，求的面积 ．
14．如图，，，，，，则 ．
15．一个四位正整数M，如果千位数字与十位数字之和的两倍等于百位数字与个位数字之和，则称M为“共进退数”，并规定等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之和，等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之差，如果，那么M各数位上的数字之和为 ；有一个四位正整数（，且为整数）是一个“共进退数”，且是一个平方数，是一个整数，则满足条件的数N是 ．
16．如图，在中，，，F为的中点，C为延长线上一点，D为延长线上一点，且．则 ，四边形的面积是 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）如图所示，点，的坐标分别为，，直线与坐标轴交于，两点．
(1)求直线与交点的坐标．
(2)请直接写出当时，的取值范围．
(3)求四边形的面积．
18．（6分）图1，图2均为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上．
（1）画一个边长均为整数的等腰三角形，且面积等于12；
（2）画一个直角三角形，且三边长为，，5，并直接写出这个三角形的面积．
19．【综合与实践】根据以下信息，探索完成设计购买方案的任务．
信息1：某校初一举办了科技比赛，学校为获奖的40名同学每人购买一份奖品，奖品分为，，三类．
信息2：若购买2份A奖品和3份B奖品共需220元；购买3份A奖品和2份B奖品共需230元．单独购买一份C奖品需要15元．
信息3：计划获A奖品的人数要少于获B奖品的人数．购买时有优惠活动：每购买1份A奖品就赠送一份C奖品．
任务1：求A奖品和B奖品的单价；
任务2：若获A奖品的人数等于获C奖品的人数，且获得A奖品的人数超过10人，求此次购买A奖品有几种方案；
任务3：若购买奖品的总预算不超过1150元，要让获A奖品的人数尽量多，请你直接写出符合条件的购买方案．
20．（8分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，A、B两点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
(1)在图1中，为格点．
①先将线段绕点逆时针旋转得到线段；
②再画线段，使线段与线段关于点成中心对称（其中点对应点，点对应点）；
(2)在图2中，以格点为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点坐标为．
①先画格点，使，且；
②已知线段绕平面内的点旋转一个特定的度数可与线段重合，请在图中画出旋转中心；
③请直接写出点的坐标为_____________．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点．
(1)求m和b的值；
(2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．
①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值；
②当为等腰三角形时，直接写出t的值．
22．（10分）（1）如图①．在中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（2）如图②，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）联想：如图③，在四边形中，，若，，则的长为______．
23．（10分）如图1，已知长方形，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形．
(1)当点Q落在边上时， _____；
(2)当直线经过点D时，求的长；
(3)如图2，点M是的中点，连接．
①的最小值为_____；
②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长．
24．（12分）【概念引入】对于给定的一次函数（其中，为常数，且），则称函数为一次函数的伴随函数．
例如：一次函数，它的伴随函数为
【理解运用】（1）对于一次函数，写出它的伴随函数的表达式．
（2）为了研究函数的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格：
x … 0 1 2 …
y … _________ 2 0 _________ …
①补全表格中横线部分的数据并根据表中的结果在图所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象；
②已知直线与的伴随函数的图象交于，两点（点在点的下方），点在轴上，当的面积为时，求的值．
【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，连接，当一次函数的伴随函数的图象与线段的交点有且只有个时，直接写出的取值范围．
25．（12分）若和均为等腰三角形，且，当和互余时，称与互为“底余等腰三角形”， 的边上的高叫做的“余高”．
(1)如图1，与互为“底余等腰三角形”．若连接，，判断与是否互为“底余等腰三角形”： （填“是”或“否”）；
(2)如图1，与互为“底余等腰三角形”．当时，若的“余高”是．
①请用直尺和圆规作出（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
②求证：．
(3)如图2，当时，与互为“底余等腰三角形”，连接、，若，，请直接写出的长．
参考答案
一．选择题
1．C
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤．
先求解不等式，结合原不等式组的解集是，得出关于的不等式，求解即可．
【详解】解：解不等式，
可得：，
∵原不等式组的解集是，
∴，
解得：，
故答案为：C．
2．C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，根据已知条件，、分别平分、，且，可得，，根据等角对等边得出，，根据即可求得．利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的特点．
【详解】解：∵、分别平分、，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于确定角度之间的数量关系．
由旋转性质得，，在中由三角形内角和求得，便可求得结果．
【详解】解：∵，
∴
∵绕点B顺时针旋转一个角度得到，
∴，，
∴，
∴，
∴ ．
故选：B．
4．B
【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、轴对称的性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．由折叠得，，，，则，所以，由勾股定理得，求得的长度即可．
【详解】解：∵，，
∴，
由折叠得，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
故选：B．
5．D
【分析】先求出A点绕点顺时针旋转90°后所得到的坐标，再求出向右平移3个单位长度后得到的坐标，即为变换后点的对应点坐标.
【详解】将先绕点顺时针旋转90°，得到点坐标为(-1,2),再向右平移3个单位长度，则点的纵坐标不变，横坐标加上3个单位长度，故变换后点的对应点坐标是(2,2).
6．（3分）（24-25八年级·浙江·期中）对于正整数数x，符号表示不大于x的最大整数．若有正整数解，则正数a的取值范围是（ ）．
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据所表示的含义，结合题意可得出，继而可解出的正整数解，分别代入所得不等式，可得出的范围．
【详解】解：有正整数解，
，
即，，
，
是正整数，为正数，
，即可取1、2；
①当取1时，
，，
；
②当取2时，
，，
；
综上可得的范围是：或．
故选：D．
7．B
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征等. 掌握这些判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线是解题的关键．
解法一：过作于，连接；由折叠的性质及等腰三角形的性质证明 ，再由可判定，由全等三角形的性质得，是的垂直平分线，进而得和是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得，，在中由直角三角形性质求出，由即可求解；
解法二：过作于，过作于，连接，在上截取，由等边三角形的定义得是等边三角形，从而可得，由由折叠的性质及等腰三角形的判定方法得和是等腰三角形，由可判定，由全等三角形的性质得，由等腰三角形的性质得，即可求解.
【详解】解：解法一：如图，过作交于，连接，
，
，
为的角平分线，
，
由翻折得：，
，
，
是的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是的垂直平分线，
∴，
∵ ，
，，
∴，，，
和是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
，
∵，，
，
，
故选B；
解法二：如图，过作于，过作于，连接，在上截取，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
为的角平分线，
，
由翻折得：，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，，
和是等腰直角三角形，
，，
在和中
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
故选：B．
8．C
【分析】首先设，求得，，，又由，，均为非负实数，即可求得的取值范围，则可求得的取值范围．
【详解】解：设，
则，，，
，，均为非负实数，
，
解得，
于是，
，
即．
的最大值是，最小值是，
的最大值与最小值的和为，
故选：C．
9．C
【详解】试题分析：利用轴对称图形的性质以及中心对称图形的性质分析得出符合题意的图形即可．
解：如图所示：组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，
则这个格点正方形的作法共有4种．
故选C．
10．C
【分析】根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，即可判断结论②；再根据全等三角形的性质，得出，再根据等腰直角三角形的性质，得出，进而得出，再根据等量代换，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，即可判断结论①；再根据等腰直角三角形的性质，得出，再根据，得出，即可判断结论③；根据勾股定理，得出，再根据等腰直角三角形的性质，得出，再根据等量代换，得出，同理得出，然后把代入，得出，即可判断结论④，综合即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，即．
∵在和中，
，
，
∴．故结论②正确；
，
，
∵为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，故结论①正确．
∵为等腰直角三角形，
，
，
，
∴，故结论③错误．
∵，即，
∴在中，利用勾股定理得：．
∵为等腰直角三角形，
，
，
，
∴在中，利用勾股定理得：．
∵为等腰直角三角形，
∴，
，
∴，故结论④正确．
综上所述，正确的结论为①②④．
故选：C．
二．填空题
11．或
【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的两底角相等求出，再表示出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，然后分①，②，③三种情况讨论求解．
【详解】解：∵将绕点逆时针旋转 ，得到，
，
，
，
根据三角形的外角性质，，
是等腰三角形，分三种情况讨论，
①时，，无解，
②时，，
解得：，
③时，，
解得：，
综上所述，旋转角度数为或．
故答案为：或．
12．
【分析】本题是考查一次函数图象的性质，一次函数图象交点，利用图象求解的问题，根据题意得出图形示意图对于解题有帮助，能将其转化为不等式组来解是本题的关键．
联立两函数解析式，求出方程组的解，即可得到两函数图象交点坐标；利用一次函数函数图象的性质可以得两个函数的图象示意图，从而得到的位置，若点落在内，则点在两条直线的下方同时在轴上方，可列出不等式组求解．
【详解】解：联立得，
解得：，
∴．
一次函数图象的性质，可以得到示意图，如图．
对于直线，令，则，解得，
∴
对于直线，令，则，解得，
∴，
点落在内部（不含边界）
列不等式组
解得：
故答案为：；．
13．4
【分析】本题主要考查了三角形面积计算，三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．过点F作于点N，于点M，证明，得出，同理可得，得出，求出，得出，根据的面积，得出，求出，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点F作于点N，于点M，
，，分别为的角平分线，
，，
∴，
，
∵平分，
，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵的面积，
，
∴，
∴，
，
∴的面积，
故答案为：4．
14．30
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角与内角，在上取一点，使，连接，得到，再由垂直得到，推出，再结合得到是等边三角形，则，，由外角及等边对等角得到，最后根据求解即可．
【详解】解：在上取一点，使，连接，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15． 15 3105
【分析】由四位正整数M为“共进退数”推出，由推出，从而解得，，继而得解；由推出N的各位数字，继而表示出与，由N是一个“共进退数”推出，利用是一个平方数推出，从而得到z的值和，从而利用是整数求出x，从而得解．
【详解】解：设M的千位数字是a，百位数字是b，十位数字是c，个位数字是d，则，
∵四位正整数M为“共进退数”，
∴，
又∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，即M各数位上的数字之和为15．
∵，
即N的千位数字是，百位数字是1，十位数字是y，个位数字是，
∴，
，
又∵N是一个“共进退数”，
∴，
化简得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
又∵是一个平方数，，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，，
解得：，
∴，
∴，
又∵是整数，
∴是13的倍数，
∴，，
∴．
故答案为：15；3105
16．
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，构造全等三角形是解题关键．过A作，由，，得，由，F为的中点，得为的垂直平分线，设，换算得，由，换算出，故为等边三角形，证明，得它们面积相等.故四边形的面积=四边形的面积面积面积，再计算即可．
【详解】解：过A作，交延长线于，
∵，，
∴，.
∵，F为的中点，
∴为的垂直平分线，
∴.
∵，
∴，
∴设，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴面积面积，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形的面积面积+四边形的面积
面积+四边形的面积
=四边形的面积
面积面积
，
故答案为：，．
三．解答题
17．（1）解：∵直线：过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式是，
解方程组，
得：，
∴点的坐标是；
（2）由图象可知：当时，的图象在的图象的上方，
∴不等式的解集；
（3）对于直线，
当时，；当时，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，点到轴的距离为，
∴，
∴四边形的面积为．
18．解：（1）如图1所示，即为所求：
（2）如图2所示，即为所求：
∵，
∴△DEF是直角三角形，
∴.
19．任务1：设A奖品单价为x元，B奖品单价为y元，得：
解得：
答：A奖品单价为50元，B奖品单价为40元．
任务2：设购买A奖品a份，则购买B奖品份，得
解得：，
a为正整数，
a可取的值有11，12，13．
答：此次购买A奖品共有3种购买方案．
任务3： 设购买A奖品m份，C奖品n份，
则B奖品份数为：，依题意得：
，
解得：，即，
m、n均为正整数，
可以取的值有：，，，，，，，，，，，
当时，，即，无解
当时，，即，所以
，，此时奖品人数最多
方案为：购买A奖品11份，C奖品6份，B奖品12份，此时预算为（元），符合题意．
故答案为：购买11份A奖品，12份B奖品，6份C奖品．
20．（1）解：所求图形，如图所示；
（2）解：①如图，点G为所求，
将线段绕点B顺时针旋转得到线段，则，，
作平行四边形，则，，
∴，且，
即点G为所求．
②如图，点P为所求．
作线段的垂直平分线，作线段的垂直平分线，与交于点P，则，，
∴点P为所求的旋转中心．
③由题可得，点P的坐标为．
故答案为：
21．（1）解：在中，当时，；
当时，；
∴；
∵点在直线上，
，
又∵点也在直线上，
，
解得：；
（2）解：①在中，当时，，
，
，
，
，
，
设，则，过C作于E，如图1所示：
则，
∵的面积为10，
，
解得：；
②存在，理由如下：
过作于，如图1所示：
则，
，
；
当时，，
，
；
当时，如图2所示：
则，
，
或；
当时，如图3所示：
设，则，
，
解得：，
∴与重合，，
，
；
综上，的值为或或或．
22．解：（1），
理由如下：连接，
由题意得：
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
（2），
理由如下：连接，
由（1）得，，
∴，
∴，
∴，
在中，，又，
∴；
（3）过点A作，使，连接，
∵，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
23．（1）解：当点Q落在边上时，如图所示，
∵长方形，，，
∴，，
∵翻折，
∴，
∴，
在中，；
故答案为：；
（2）当直线经过点D时，分两种情况：
当点在线段上时，如图：
∵翻折，
∴，，，
∴，
∴，
设，则：，，
在中，，即：，
∴；
∴；
②当在线段的延长线上时：
∵翻折，
∴，，
∴，
设，则：，，
在中，，即：，
∴；
∴；
综上：或；
（3）①连接，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵翻折，
∴，
∵，
∴当三点共线时，的值最小，
即：；
故答案为：；
②当时，如图：
∵翻折，
∴，
设，则：，
在中，，即：，
解得：，
即：；
当，点在线段上时，如图：
∵，，
∴，
∴，点在上，
由（1）知：，
∴，
∴；
当点在的延长线上时：如图：此时点在上，连接，
∵翻折，
∴，
∵，
∴；
综上：或或．
24．解：（1）∵函数为一次函数的伴随函数．
的伴随函数为；
故答案为：；
（2）①当时，，当时，，
∴补全表格如下：
x … 0 1 2 …
y … 0 2 0 …
作图如下，
②联立和得
，解得，
∴
联立和得，
解得，
∴
当时，，
∴与轴的交点为，
∵点
∴，
∵的面积为
∴，即，
解得或
（3）如图，
设直线为，
∵点、的坐标分别为，，
∴，
解得，
∴直线为，
令，则，
∴直线:与轴的交点为，
由题意得，一次函数的伴随函数为．
当轴右侧部分与有交点时，把和代入，得，
当轴左侧部分与有交点时，把和，代入，得，
当时，，
∴或者，
∴伴随函数与有个交点时，的取值范围为：或者，
故答案为：或者．
25．（1）解： 与互为“底余等腰三角形”，
，
，
，
，
四边形内角和是，
，
，
与互为“底余等腰三角形”；
故答案为：是；
（2）①解：用直尺和圆规作出，如图1.1，
；
②证明：过点作，如图2，
，
，
，
又，，
，
，
又，
；
（3）解：过点作，如图2，
根据等腰三角形的性质可得：，
根据（2）可知，
根据勾股定理可得．