8.5.2 直线与平面平行 课件(共27张PPT)-2024-2025学年高一数学（人教A版2019必修第二册）

(共27张PPT)
第八章立体几何初步
人教A版2019必修第二册
8.5.2 直线与平面平行
了解直线与平面平行的判定定理与性质定理，培养直观想 象、逻辑推理的核心素养.
通过直观感知归纳直线与平面平行的判定定理
学习目标
通过动手实践直观感知直线与平面平行的特点
1
位置关系 直线a在平面α内 直线a与平面α平行
直线a与平面α相交
公 共 点 有无数个公共点 没有公共点
有且只有一个公共点
符号表示 a Cα a //α
aNα=A
图形表示
y 复习回顾
直线与平面的位置关系有几种 以什么作为划分的标准
在直线与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，它不仅应 用广泛，而且是学习平面与平面平行的基础。
怎样判定直线与平面平行呢
根据定义，只需判定直线与平面有没有公共点.
a
但是，直线是无限延伸的，平面是无限延展的，如何保证直线与平面
没有公共点呢
你能想到更简单的判断方法吗
y 新课导入
在门扇的旋转过程中：
· 直线a在门框所在的平面α外
· 直线b在门框所在的平面α内
· 直线a与b始终是平行的
推出：直线a与平面α平行
追问若将门扇再次关上，门扇转动的一边与墙面平行吗
察1门扇的两边是平行的.当门扇绕着一边转动时，另一边与墙面有公共点
没有公共点，因此平行
此时门扇转动的一边与墙面平行吗
y 新 知 探 究
不平行
硬纸板的边AB与CD平行，只要DC紧贴着桌面，边AB转动时就不可能
与桌面有公共点，所以它与桌面平行.
两个实验告诉我们一个现象，就是平面外的一条直线不管怎么移动，
只要保证直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线就不会与平面有公 共点，即直线与平面平行，这就是直线与平面平行的判定定理.
观察2 将一块矩形硬纸板ABCD平放在桌面上，
把这块纸板绕边DC 转动，在转动的过程中(AB
离开桌面),DC的对边AB与桌面有公共点吗
边AB 与桌面平行吗
y 新知探究
直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平 面 平 行。
注意：使用定理时， 必须具备三个条件：
①a在平面α外，即a≠ α(面外)
② b在平面α内，即ba (面内)
③a与b平行，即a//b (平行)
简述为：线线平行→线面平行
空间问题 平面问题
y 概念生成
用符号表示：
直线与平面平行的判定定理是证明直线与平面平行的依据.
定理告诉我们，可以通过直线间的平行，可以得到直线与平面平行. 这
是处理空间位置关系的一种常用方法.定理的实质就是将直线与平面的平 行关系(空间问题)转化为直线间的平行关系(平面问题).即
这一定理在现实生活中有许多应用.
例如，安装矩形镜子时，为了使镜子上的上边
框与天花板平行，只需镜子的上边框与天花板
和墙面的交线平行，就是应用了这个判定定理
你还能举出其它一些应用实例吗
y
线线平行
线面平行
新知探究
因为α//b, 所 以AEb
因为bc 平面α,所以在平面α内可以过点A作直线c,
使c//b,又因为a//b, 由基本事实4知a//c,
与a∩c=A矛盾，所以a//α
y
证 明 ：假设直线a 与平面α不平行，因为直线α在平面α外
所以直线a与平面α相交，设aNα=A
问题1 你能否证明直线与平面平行的判定定理
已知：atα,bcα,a//b.
求 证 ：a//α.
新知探究
反证法
1. 如图，在长方体 ABCD-A'B'C'D '中，
(1)与AB平行的平面是 平面A'B'C'D'
(2)与AA '平行的平面是_平面BCC'B'
(3)与AD平行的平面是 平面A'B'C'D'
学以致用 教材P138
平面CDD'C' ;
平面CDD'C ';
平面BCC'B'
例2 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.
已知：空间四边形ABCD 中 ，E,F 分别是AB,AD 的中点.
求证：EFI/平面BCD.
证 明 ：注 BD.
AE●EB,AFOFD
品EF//BD.
又EF BCD,BDGuBCD。
品EFI 元 BCD.
今后要证明一条直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一条与 此直线平行的直线就可以了.
典例分析
面AEC 的位置关系，并说明理由. 解 ：BD // 平面AEC. 理由如下： 连接BD, 交AC于点0,连接EO. ∵点E,0 分别是DD ,DB 的中点， ∴BD //EO,
A
又BD + 平面AEC,BD C 平面AEC, ∴BD // 平面AEC.
学以致用
2. 如图，在正方体ABCD-A B C D 中 ，E 为DD 的中点，判断BD 与平
教材P138
刚才，我们利用平面内的直线与平面外的直线平行，得到了判定平面
外的直线与此平面平行的方法，即得到了一条直线与平面平行的充分条件.
反过来，如果一条直线与一个平面平行，能推出哪些结论呢
这就是要研究直线与平面平行的性质，也就是研究直线与平面平行的
必要条件.
接下来我们就来研究在直线a平行于平面α的条件下，直线a与平面α
内的直线有何位置关系.
y 新知探究
问题2 (1)如果一条直线和一个平面平行，那么这
条直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系
(2)什么条件下，平面α内的直线与直线a平行呢
假设a与α内的直线b平行，那么由基本事实的
推论3,过直线a 、b 有唯一的平面β.
过直线a的平面β与平面α相交于b, 则allb.
下面，我们来证明这一结论.
y
a
平行 异面
新知探究
如图示，已知alla,acβ,aNβ=b. 求证：allb.
证 明 ： ∵aNβ=b,
∴bCa.
又alla,
∴a与b没有公共点.
又 acβ,bcβ,
∴a//b.
这样，我们就得到了直线与平面平行的性质定理：
y 新知探究
直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该
直线与交线平行.
作用：判定直线与直线平行的重要依据。
关键： 寻找平面与平面的交线。
三个条件缺一不可
该定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行.即
线面平 行
线线平行
概念生成
符号号 语 言 ：
例3如右图的一块木料中，棱BC 平行面A'C'
(1)要经过面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线
(2)所画的线与平面AC 是什么位置关系
分析：经过木料表面A'C'内的一点P和棱BC 将木料锯开，实际上是经过BC 及BC 外一 点P 作截面，也就是找出平面与平面的交线。我们可以由直线与平面平行的性质定理、
基本事实4和推论1作出。
解 ：(1)如图，在平面A'℃'内，
过点P作直线EF, 使EFlIB'C', 分别交棱A'B' 、C'D'于点E 、F, 连结BE 、CF,
则EF 、BE 、CF为应画的线.
典例分析
例3如右图的一块木料中，棱BC 平行面A'C'.
(1)要经过面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线
(2)所画的线与平面AC 是什么位置关系
(2)因为棱BC// 平面A'C',
面BCN 面A'C'=B'C', 所以 BC//B'C'.
由(1)知，EF//B'C', 所以 EF//BC,
EF//BC
EFa 平面ACl→EF// 平面AC.
BCc平面AC
BE,CF 显然都与平面AC相交.
线面平行 线线平行 线面平行
典例分析
3.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“ √ ”,错误的画“×”.
(1)如果直线allb, 那么a 平行于经过b的任何平面。 ( × )
(2)如果直线a和平面α满足alla,那么a与α内的任何直线平行. (×)
(3)如果直线a,b 和平面α满足alla,blla, 那么allb. ( × )
(4)如果直线a,b 和平面α满足allb,alla,bta, 那么blla. ( √ )
4.如图，aNβ=a,bca,cCβ,bllc, 求证：allbllc.
证明：由b//c,ccβ,b 女β,可得b//β .
又bcα,α∩β=a,
∴b/la.
∴a//b//c.
y 学以致用 教材P138
求证：直线EE // 平面FCC .
证明 如图，取A B 的中点F , 连接 FF ,C F ,
在四棱柱ABCD-A B C D 中 ，BB //CC ,
因为F为棱AB 的中点，所以 FF //BB , 所 以 FF //CC , 所以F ∈ 平面FCC , 因此，平面FCC 即为平面C CFF . 连接A ,F C, 易得A F //D C //DC, 且A F =D C =DC,
所以四边形A DCF 为平行四边形，所以 A D//F C,
因为E,E 分别为棱AD,AA 的中点，所以EE //A D, 所以EE //F C, 又EE 女平面FCC ,F Cc 平面 FCC , 所以 EE // 平面 FCC .
y 能力提升
题型一 线面平行的判定定理
例题 1.如图，在四棱柱ABCD-A B C D
AB=4,BC=CD=2,AA =2,E,E ,F
中，底面ABCD 是等腰梯形，AB//CD,
分别为棱AD,AA ,AB 的中点，
(1)定义法：证明直线与平面无公共点；
(2)判定定理法： a α ,bcα ,且(a//b=a//α) ;
(3)反证法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内.
y 能力提升
判断或证明线面平行的常用方法
方法总结
证明 因为四边形AA B B,ABCD 均为正方形，
所以A B //AB//DC, 且 A B =AB=DC ,
所以四边形 A B CD 为平行四边形，
则B C//A D,
又B C女平面 A EFD,A Dc 平面A EFD, 所以B C// 平面A EFD,
而平面A EFD ∩平面B CD =EF,B Cc 平面B CD ,
所以 EF//B C.
y
2. 如图所示，在多面体A B D DCBA 中，四边形AA B B,ADD A ,ABCD 均为 正方形， E为B D 的中点，过A ,D,E 的平面交CD 于点F, 证 明 ：EF//B C.
线面平行的性质定理
能力提升
题型二
例题
方法总结 利用线面平行的性质定理证明线线平行的步骤
(1)在已知图形中确定(或寻找)一条直线平行于一个平面.
(2)作出(或寻找)过这条直线且与这个平面相交的平面.
(3)得出交线.
(4)根据线面平行的性质定理得出结论 .
y 能力提升
证明 如图，连接AC,A C .
在长方体ABCD-A B C D 中 ，
所以四边形ACC A 是平行四边形，所以AC//A C ,
因为ACd 平面A BC ,A C c 平面A BC ,
所以AC// 平面A BC ,
因为ACc 平面PAC, 平 面A BC n 平面PAC=MN, 所以 AC//MN.
又MN 丈 平 面 ABCD,ACc 平面ABCD, 所以 MN// 平面 ABCD.
y
例题 3.如图，在长方体ABCD-A B C D 中，点P∈BB (P 不与B,B 重合),
PA∩A B=M,PC∩BC =N, 求证：MN// 平面ABCD.
线面平行的判定、性质定理的综合应用
能力提升
题型三
关键：过已知平面内的一条直线作平面与另一已知平面相交.
思考方向：若条件中含有线线平行，则考虑线面平行的判定定理；
若条件中含有线面平行，则考虑线面平行的性质定理.
线面平行的判定定理和性质定理的关键与思考方向
y 能力提升
方法总结
1、直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此
平面平行.
线线平行 线面平行
2、直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该 直线与交线平行.
线线平行 线面平行
y课堂小结
人教A 版2019必修第二册
感谢聆听
主 讲 ：